余数（转载）

hippe

余数 定义 在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。 取余数运算： a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c 如 7 除3 = 2 .。。。。。。1
余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：

; A; T. u/ `% s* a3 p; [% t　　（1）余数小于除数。
9 u1 Z, U; K/ X$ Y
　　（2）被除数=除数×商+余数；
  ^$ d- g' V) w
　　除数=（被除数-余数）÷商；

　　商=（被除数-余数）÷除数。

　　（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。

　　（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。

% C9 Q; l; C* J% E　　（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。

2 D( i1 t, m& n! _0 n$ |" B/ L　　性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。
2 c5 a# f8 m) t8 V' l; e
# B1 P0 y) ~- l. I　　而当被除数小于除数的情况下，商为零，余数就是被除数！
1 r, J6 [+ T  d- y& M
  L) w. d4 P+ |6 \2 _6 t
例题例1　　5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
1 B6 Y$ p& w) J, \7 B
　　分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。

　　5122-66=5056，

% V' m6 M0 j3 \　　5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到
5 V0 L9 q6 U$ y2 z' C! G
& V2 V8 [* F4 i" J. ~. j! I2 `　　5056=64×79。

　　由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
例2　　被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。

　　解：因为被除数=除数×商+余数

　　=除数×33+52，
0 d# Z4 _+ M5 D& w/ j
　　被除数=2143-除数-商-余数

) q1 \" j; u$ R8 a0 O1 B　　=2143-除数-33-52

3 n4 b( U7 k: \4 r7 O! b  r; k　　=2058-除数，

　　所以 除数×33+52=2058-除数，
" U- B+ V2 h1 f3 T, B1 p1 e
  B% V; Q4 W) z" G　　所以 除数=（2058-52）÷34=59，
: H- c3 W- v" S" ]& j
　　被除数=2058-59=1999。
6 a  g& L/ g9 M1 h0 z' j6 Q
& B5 W# `. B  J6 O5 u　　答：被除数是1999，除数是59。
( l5 S$ O3 `3 _5 |! Q例3　　甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

　　解：因为 甲=乙×11+32，
; R# g: p0 ~. W- `5 T2 f
8 A' q9 F- G& ]# a0 A" i　　所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，
( Y- P+ ~1 ?' Z# a+ D9 f8 ~- K1 ~
　　所以 乙=（1088-32）÷12=88，
$ d( u  H2 e6 N% i, B6 n2 T
　　甲=1088-乙=1000。
0 [5 v7 g# J5 z* n) O% j0 f  t
　　答：甲数是1000，乙数是88。
例4　　有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。
* D. v4 }6 e+ n% X- C, K! ^- k7 B  `
* N3 O, s: `/ E4 V! g7 J+ C　　分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。
7 ^/ G2 P5 P" ]
% B; A: {8 d3 K5 i! c1 r/ e  k" I　　由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。

% \$ `* n2 p4 ~  [5 n5 A　　因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。

2 A1 w! K  A% I& l　　例5 求478×296×351除以17的余数。

　　分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。
2 I# ]) e6 M7 G) W& e9 D
+ Y; _! B4 T# |" t' |　　478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。
/ B2 s6 f, S" _/ p
& ?  R( b5 G! O; P5 W　　所求余数是1。

! {6 b. }$ X2 K9 I% n# R　　例6 甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？

5 J3 s( I) H, q' F3 M　　分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。
0 K; b% o9 L. T; j, r( g
$ B% O$ p9 d/ P1 F7 g　　因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。
! w8 J1 H5 {! x1 C6 Y" {, v
5 U/ W9 |5 _+ ^+ w& v$ N8 W　　（11×25）÷36=7……23，

　　即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。
9 a) D8 S4 `4 e+ v7 \5 a4 h7 D
7 z) s! ^8 P/ w. k( l" [　　由例6看出，将实际问题转化为我们熟悉的数学问题，有助于我们思考解题。

xyzabc

新注册的人能够转这样的帖子是大师来点化大家的吗？

hippe

我就是新人啊。一直用的方法是八分线和等周期线。因为只能看到短线。看不到时间和级别
于是开始学习江恩。在网上搜索相关信息。就来到了论坛。从注册的那天到现在一直在看各位学长的帖子。发觉之前的理解。不是江恩或者和江恩有很大的偏差。
并受到论坛先辈的指点和启发。
觉得应该从基础来学习。然后加以扩展。
于是在网上寻找资料。
找到这些觉得好像很有用。
发出来成贴
# ^* a* F- _3 n1.希望和大家共同学习。也希望已经通其理的人给指点迷津
2.希望这是个起点。能给比我还新的新人一些信息。
如果有打扰到各位坛友。或者不符合论坛的规则和要求。
5 M) g0 H' |3 p% F: ]9 g请原谅
4 y$ w% p1 r$ W3 F* {2 @( ]因之前没有在论坛中进行交流（不知者不怪嘛！！ ）

xyzabc  谢谢您的关注。还谢谢你加的好多好多的分。

wuyin2025

axcqy

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