余数（转载）

hippe

余数 定义 在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。 取余数运算： a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c 如 7 除3 = 2 .。。。。。。1
* s7 Y; V5 Y7 S+ m余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：

　　（1）余数小于除数。

. q0 G9 N* ^0 F  z4 b　　（2）被除数=除数×商+余数；
# L6 \# t% K$ D" \0 K, {9 e
　　除数=（被除数-余数）÷商；
& \5 ]- g8 K; E- a7 R
& j+ w7 Y: c" W8 ^' H: q# p& m　　商=（被除数-余数）÷除数。

& T2 G8 O# D4 k% C　　（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。

　　（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。

　　（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。

* ~9 `4 y- k. z- Y+ j: `" \　　性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。
2 S5 @2 b% B7 X: A+ M9 {- D- s
1 w  L+ r3 Z9 v' n$ t5 A3 I$ W　　而当被除数小于除数的情况下，商为零，余数就是被除数！

0 u: w$ T/ n$ e! h( J/ ~5 H
+ G" o8 O2 P9 l' M5 X& w2 x" U例题例1　　5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。

　　分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。

　　5122-66=5056，

$ v' O* F& c% \, h# o7 z$ i6 X7 K　　5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到
& N5 H3 Z" D! S5 [! d
# L0 x5 C+ I# |　　5056=64×79。
, g5 C7 W: T/ {2 I0 o4 i& G
7 B9 {5 Q! G  f7 B- s　　由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
例2　　被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
2 U: {9 Q( ~: ?: J
; j4 j3 f4 F( [( k$ x　　解：因为被除数=除数×商+余数

　　=除数×33+52，
) T+ L; S. ~% j" D
　　被除数=2143-除数-商-余数
0 R/ o' J. o0 s4 \# Q9 h, J6 I
　　=2143-除数-33-52

8 U2 f* {0 X" ]6 u7 f. ?　　=2058-除数，

- i( ?  \. C/ l5 Q　　所以 除数×33+52=2058-除数，
) [& F4 P' N2 P) B1 k6 {4 J
　　所以 除数=（2058-52）÷34=59，

　　被除数=2058-59=1999。
- {0 k) o- |; z) X; A) Z
2 X( a% i  ~2 B3 T9 Q4 \$ a5 \3 s　　答：被除数是1999，除数是59。
2 e7 ^. _+ _  q  R" V* H0 W6 i$ _) N例3　　甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
* @0 D2 E! T3 ^3 @. K
7 d- x$ _. z5 y, k9 s. C4 P　　解：因为 甲=乙×11+32，
" d4 R' \, ~5 N( {
　　所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，

　　所以 乙=（1088-32）÷12=88，
8 [5 y: @' s/ c" Y4 v. K; N1 E0 g
/ k% w4 _; e* j  J5 e　　甲=1088-乙=1000。

　　答：甲数是1000，乙数是88。
例4　　有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。
2 [1 g; P- u4 l- c* ^9 Z$ [/ e0 S
　　分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。

1 k9 I4 S* b& H9 \　　由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。

0 r" t; c9 ^6 v# e0 Z1 i　　因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。
; m3 @1 T7 R( \
　　例5 求478×296×351除以17的余数。

　　分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。
5 I' y) l8 {. ~$ U6 K
; ?( O% ?! v9 B' i2 u6 d0 h$ c　　478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。
; g# i* `0 F9 S9 Y' z) Y# \9 T
, ^3 K. ^4 U9 f+ e; ^. d　　所求余数是1。
; P. x% w: ^% F7 T0 Q
; J: z- c# i: m　　例6 甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？

　　分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。
( L7 b% }/ F% b" V6 k1 y% W& ]
　　因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。

  k# T3 [' F+ Z　　（11×25）÷36=7……23，
, B& f- {! m. @+ Q( H
" @  G( N2 k6 X　　即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。
6 X8 W8 f& G5 S+ I6 z* H' b4 S
　　由例6看出，将实际问题转化为我们熟悉的数学问题，有助于我们思考解题。

xyzabc

新注册的人能够转这样的帖子是大师来点化大家的吗？

hippe

我就是新人啊。一直用的方法是八分线和等周期线。因为只能看到短线。看不到时间和级别
于是开始学习江恩。在网上搜索相关信息。就来到了论坛。从注册的那天到现在一直在看各位学长的帖子。发觉之前的理解。不是江恩或者和江恩有很大的偏差。
并受到论坛先辈的指点和启发。
觉得应该从基础来学习。然后加以扩展。
于是在网上寻找资料。
3 y( m" Z' H( S1 ^7 N1 S找到这些觉得好像很有用。
发出来成贴
, b& H# t; o! Q: e1.希望和大家共同学习。也希望已经通其理的人给指点迷津
2.希望这是个起点。能给比我还新的新人一些信息。
如果有打扰到各位坛友。或者不符合论坛的规则和要求。
4 d# P; U# T& G请原谅
; |& F  d% b" {; Y因之前没有在论坛中进行交流（不知者不怪嘛！！ ）
) f2 L" e5 v2 i9 i4 \
xyzabc  谢谢您的关注。还谢谢你加的好多好多的分。

wuyin2025

axcqy

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