余数（转载）

hippe

余数 定义 在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。 取余数运算： a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c 如 7 除3 = 2 .。。。。。。1
4 U+ o4 M9 ?; }9 A余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：
% X( E( I  M+ d& v2 }
　　（1）余数小于除数。
/ s: s) S# a1 h% b* N
　　（2）被除数=除数×商+余数；
8 l5 F: ^* h3 }1 H- C5 K8 `* G
　　除数=（被除数-余数）÷商；

7 V9 j8 r+ Q* G" @4 P　　商=（被除数-余数）÷除数。
4 N6 B' n; |" o5 B9 [
+ Z% h' F$ R, l. ~* O　　（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。

　　（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
& O0 M+ b9 Y. C8 x. m# @
　　（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。

　　性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。
* D4 d- W  h* _2 V$ q8 x
% F  n' h( v+ I  [/ V6 H　　而当被除数小于除数的情况下，商为零，余数就是被除数！
" y) \; V: E2 x4 z* \) A/ R

) R9 h6 m- l* ?9 Q2 c7 _$ V4 I  ~例题例1　　5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
# e# t- \: S  Z9 f( M8 N2 `
　　分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。

　　5122-66=5056，

　　5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到

; l$ R! z8 m& @: S　　5056=64×79。

　　由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
例2　　被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
" H: Y" W9 a: _' O- f6 H9 \2 o
　　解：因为被除数=除数×商+余数
' l6 N  v9 w# y, X3 w
　　=除数×33+52，
* z& w4 N, M; C3 e& s- y
; W4 [3 z2 Z9 v/ g  O1 ]　　被除数=2143-除数-商-余数
  d* `$ w  ?0 z* J' J3 M' j+ U
　　=2143-除数-33-52

　　=2058-除数，
; a0 z! Y3 W) O; t4 M- F
　　所以 除数×33+52=2058-除数，
- B4 m: ]7 [" M4 \8 l
　　所以 除数=（2058-52）÷34=59，
: B+ b, N% Q3 H8 u8 t9 }
4 {" U1 _" A" D6 q9 I! V1 I! M1 x' w- w　　被除数=2058-59=1999。
8 t2 ?3 s  q" t% R5 J
* s7 ]$ d" w" S! Y6 o+ |6 H　　答：被除数是1999，除数是59。
例3　　甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

% T& y0 p' H; [5 |) Y' T% _5 W　　解：因为 甲=乙×11+32，

9 d* i( ^3 T  \　　所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，
/ v1 C7 Z6 p, V7 q5 R
　　所以 乙=（1088-32）÷12=88，

　　甲=1088-乙=1000。

$ Z7 c0 s7 ~. x　　答：甲数是1000，乙数是88。
! C8 A- F+ B1 R* P# F! R例4　　有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。
. [( ?* X# s% d4 Q  A) D
　　分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。

% l7 C' U0 j& a5 o　　由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。

　　因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。
# R# ]( X" d& H8 C8 d, l
: V8 n) W" P1 v6 P8 `　　例5 求478×296×351除以17的余数。

　　分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。
2 f6 E# M' d& _- g
( [4 W9 j1 V! V+ G$ A* C$ K+ x! c0 p　　478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。
9 O0 r2 F4 f9 P! x6 e
　　所求余数是1。
" r3 q! G$ C& t
　　例6 甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？
8 O4 f" c$ a8 P2 B
4 V6 B* f) L) G+ E( b: x　　分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。
7 v5 c  T6 `# V6 l8 d
' b& A& h: v, B' O　　因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。

: s: b3 j' L  @* R# ]　　（11×25）÷36=7……23，
4 @, `; z& A1 ?! |( M, L, x
# R- T+ I( x& h5 I/ Y　　即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。
4 t' q( r0 U' x5 Y
　　由例6看出，将实际问题转化为我们熟悉的数学问题，有助于我们思考解题。

xyzabc

新注册的人能够转这样的帖子是大师来点化大家的吗？

hippe

我就是新人啊。一直用的方法是八分线和等周期线。因为只能看到短线。看不到时间和级别
于是开始学习江恩。在网上搜索相关信息。就来到了论坛。从注册的那天到现在一直在看各位学长的帖子。发觉之前的理解。不是江恩或者和江恩有很大的偏差。
并受到论坛先辈的指点和启发。
9 \) E2 i/ o- ^+ M% [2 q觉得应该从基础来学习。然后加以扩展。
$ D/ u8 F2 ^! e2 R. E% |于是在网上寻找资料。
找到这些觉得好像很有用。
* P+ n0 b6 }. v; t% v& F发出来成贴
1.希望和大家共同学习。也希望已经通其理的人给指点迷津
5 a2 ?! v) V( l8 q9 G" b2.希望这是个起点。能给比我还新的新人一些信息。
7 l9 a3 x* W/ F5 Q. }如果有打扰到各位坛友。或者不符合论坛的规则和要求。
7 r$ c8 j9 x. i) u5 W8 Q请原谅
因之前没有在论坛中进行交流（不知者不怪嘛！！ ）
5 `. A: \) L' L2 H  r. \! h2 P# p. h
' J4 d+ @" f2 P6 o2 Y/ Qxyzabc  谢谢您的关注。还谢谢你加的好多好多的分。

wuyin2025

axcqy

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