余数（转载）

hippe

余数 定义 在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。 取余数运算： a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c 如 7 除3 = 2 .。。。。。。1
余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：
* ~0 _, y$ A* D5 c" ]
　　（1）余数小于除数。
+ o5 C- A0 B0 }
0 b6 p+ R4 F- T　　（2）被除数=除数×商+余数；

7 J; u2 T1 G. @; i" T9 N　　除数=（被除数-余数）÷商；
- A& _& _9 I: V
　　商=（被除数-余数）÷除数。
% D2 t- \  q; c# |( y; g
+ |# o; \2 ]: x) [. F　　（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
) a9 z% C% F3 {& q& Z) F" `
　　（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
% t5 q' l8 O! J
　　（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
' U# \% i' @! k& n& e9 X- f3 B
8 x  n- i+ r$ l　　性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。
4 k# g5 I' F# J6 t% _9 \
　　而当被除数小于除数的情况下，商为零，余数就是被除数！


) a# A$ ?/ e& Q6 m; ]例题例1　　5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
$ r8 X( `3 u1 z# D6 P% k
2 c1 f3 {' [; C' |, j; A　　分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
* b% {) `1 r7 F
　　5122-66=5056，
& [, h7 M& \* x  C
　　5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到
& a* \: s- Q5 d9 k- u9 u, V* A
& d. z) S) @' k% j6 R　　5056=64×79。
6 J8 y2 w% }) H
9 v5 y8 n8 I8 |　　由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
* Q) S( v0 h+ X: y, D例2　　被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。

　　解：因为被除数=除数×商+余数
4 [  D3 g" W, Z5 G" h; o
* y5 i* w5 W/ e3 q　　=除数×33+52，

　　被除数=2143-除数-商-余数

' t5 v) g& k5 f　　=2143-除数-33-52

　　=2058-除数，
$ i2 _: `2 i6 o+ Y& ]" i+ R( }
　　所以 除数×33+52=2058-除数，

　　所以 除数=（2058-52）÷34=59，
/ w) J; {5 ?+ k/ D* k; H
7 }3 y- n8 O$ X' x9 u　　被除数=2058-59=1999。

　　答：被除数是1999，除数是59。
例3　　甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

　　解：因为 甲=乙×11+32，
) ]' s6 g6 `  {2 K% ~+ J7 w6 {
　　所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，
# m) o; Y# k, u
　　所以 乙=（1088-32）÷12=88，
7 u+ p) {' c+ `( V0 p0 K
7 _2 w, [/ m2 q) ?+ z! j4 v　　甲=1088-乙=1000。

　　答：甲数是1000，乙数是88。
4 h! Z) L4 M( B2 u例4　　有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。
' I0 o" A( F( _8 T6 o- ^; o7 i
　　分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。
8 k- {( L# E0 r3 p: E
　　由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。
6 q* d/ t* g  g/ W; z
+ N1 C5 e4 L, L3 o. y3 ~　　因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。
" V7 e) \* F6 d0 s' l- s
　　例5 求478×296×351除以17的余数。

　　分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。
' L' T; K; h$ r  _
　　478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。
7 u; O: x+ O4 R
" S; U3 V2 Y+ [  R1 \0 N! X7 |　　所求余数是1。
9 n1 t% m  s7 b( H( L
6 I4 i  U5 Z: S  n1 M　　例6 甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？
" k0 f% s8 `2 x0 u5 {
　　分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。

( s) F8 y( y, Y: G" D　　因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。

+ S" F& c, w' b5 J" Q3 w8 d　　（11×25）÷36=7……23，
; r' ?* [# o) f' {! D: `
　　即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。
) ~) O" e8 M, W' G0 R
0 O) [8 v0 R! Z, _/ i0 p) _　　由例6看出，将实际问题转化为我们熟悉的数学问题，有助于我们思考解题。

xyzabc

新注册的人能够转这样的帖子是大师来点化大家的吗？

hippe

我就是新人啊。一直用的方法是八分线和等周期线。因为只能看到短线。看不到时间和级别
于是开始学习江恩。在网上搜索相关信息。就来到了论坛。从注册的那天到现在一直在看各位学长的帖子。发觉之前的理解。不是江恩或者和江恩有很大的偏差。
并受到论坛先辈的指点和启发。
觉得应该从基础来学习。然后加以扩展。
于是在网上寻找资料。
; F7 E7 i) c/ b8 ^; ]找到这些觉得好像很有用。
2 V7 g: B1 ^- @: t8 {发出来成贴
1.希望和大家共同学习。也希望已经通其理的人给指点迷津
2.希望这是个起点。能给比我还新的新人一些信息。
8 c! z  n" S! u' x3 B如果有打扰到各位坛友。或者不符合论坛的规则和要求。
4 c! F+ m6 ?2 ?# F请原谅
, j+ C$ a0 \7 U因之前没有在论坛中进行交流（不知者不怪嘛！！ ）
% D2 W1 g' C7 j% m. G( E$ x" [
xyzabc  谢谢您的关注。还谢谢你加的好多好多的分。

wuyin2025

axcqy

学习