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原帖由 catlet 于 2008-10-8 09:32 发表 ![]()
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4 x% z2 w4 z. d M D多面体群
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) P- A# }( q4 k 保持正多面体在空间占有位置不变的一切运动所成的群。一多面体在空间运动,其运动前后占有同一个空间位置,一切这样的运动的集合[151-01] ,对于以两个这样的运动相继施行作为乘法构成群,称为多面体群。由几何学可知,正多面体只有5种,即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。于是有正四面体群、正六(八)面体群、正十二(二十)面体群等三种群。: C9 }* o, @1 ~0 X! y; E0 d
在正四面体A-BCD中,以其正三角形BCD的中心![]() 与A点连结的直线AO 为轴,如图1[正四面体] ,将正四面体A-BCD 按反时针方向绕 AO 轴作角度为2 /3与4 /3的旋转 显然,这两个旋转运动分别对应于置换(BCD)与(BDC),且使正四面体在其运动前后占有同一空间位置 仿此,连结 点与正三角形ACD的中心![]() 的直线BO 为轴作角度为2 /3 与 4 /3的旋转,这两个旋转运动分别对应于置换(ACD)与(ADC),并使正四面体在运动前后占有同一空间位置。同理,与置换(ABD)及(ADB),(ABC)及(ACB)所对应的旋转,也使正四面体在运动前后占有同一空间位置。综上所述共有8个三项循环:(BCD),(BDC),(ACD),(ADC),(ABD),(ADB),(ABC),(ACB)。它们分别对应的旋转都是使正四面体占有同一空间位置的运动。再以正四面体A-BCD的3对对边之中点联线为旋转轴, 作角度为 的3个旋转,它们分别对应于置换(AB)(CD),(AC)(BD),(AD)(BC),并使正四面体占有同一空间位置。以 表示旋转角为0的旋转即不动旋转,显然, 是使正四面体占有同一空间位置的运动。总计共得12个旋转运动。除此之外再没有其他运动可保持正四面体占有空间位置不变。这样的12个运动构成群,称为正四面体群。它与4个文字A、 、 、 上的四次交错群[151-02]![]() 同构,因此,四次交错群[151-02]![]() 又称为正四面体群。
h' M$ j- R. y 正八面体A-BCDE- ,如图2a[正八面体] ,其各个面都是正三角形,顺次联结各面的中心 , , , , , , , 即得一个正六面体![]() ![]() ![]() -![]() ![]() ![]() ,如图2b[正六面体] 。对于正八面体A-BCDE- 分别以其 3条对角线AF,BD,CE为旋转轴,作 /2, ,3 /2的旋转,共有9个旋转运动。它们都能使正八面体占有同一空间位置,同时使正六面体也占有同一空间位置。" c7 c* H+ Y) c' Y' ^
以正八面体的4对对面的中心连线为旋转轴,分别作 /3、2 /3的旋转,共有8个这样的运动。它们使正八面体,也使正六面体不变更所占的空间位置。再以正八面体的6对两平行棱的中点联线为轴作角度为 的旋转,共有6个旋转运动。它们使正八面体,并因之使正六面体不变更占有的空间位置。加上不动旋转 ,于是,使正八面体或正六面体不变更占有的空间位置的旋转运动,总计有24个,且只有这24个。这样的24个运动构成群,称为正八面体群或正六面体群。它与四次对称群[151-01]![]() 同构,所以正八面体群与正六面体群是一致的,都是 4次对称群[151-01]![]() 。 有时把四次对称群称为正八面体群或正六面体群。( Q& h1 J# M v& e
由于正十二面体的各面之中心的连线,可勾画出正二十面体(图3[正二十面体] )。因此,正十二面体群与正二十面体群是一致的。以正十二面体的 6对相对面的中心连线为轴作2 /5,4 /5,6 /5,8 /5的旋转,这样的旋转共有24个。以10对相对顶点的连线为轴作 2 /3、4 /3的旋转,这样的旋转共有20个。以15对相对对边的中心连线为轴作 的旋转, 这样的旋转共有15个 不动旋转 一个。于是,使正十二面体或正二十面体不变更占有的空间位置的旋转共有60个,且只有这60个。这样的60个旋转构成群,称为正十二面体群或正二十面体群。它与5次交错群[151-02]![]() 同构。) g. {- y5 H+ S- ~
详细见http://www.chinabaike.com/article/316/shuxue/2008/200801011121875.html
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# v+ j+ o: j& U: q$ i. T+ _( ^[本帖最后由 catlet 于 2008-10-8 09:52 编辑 ] |
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