余数（转载）

hippe

余数 定义 在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。 取余数运算： a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c 如 7 除3 = 2 .。。。。。。1
余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：

' S( [6 |3 Z. X2 Y& z' L　　（1）余数小于除数。

$ m" [) p$ B2 _! _* V　　（2）被除数=除数×商+余数；
, D4 R/ W4 C' y9 U3 w
　　除数=（被除数-余数）÷商；

　　商=（被除数-余数）÷除数。

　　（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
8 w: u' D+ X! a
　　（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
& l% ~8 O1 t% T8 `
( K6 h, I1 S+ q) L" ?+ N　　（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。

　　性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。

" M4 B6 ]5 I+ e" F　　而当被除数小于除数的情况下，商为零，余数就是被除数！


例题例1　　5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。

* t* o0 w+ n" h1 h0 j　　分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
+ E# P  w' E! `- V
　　5122-66=5056，
3 ]5 H8 m. S/ y5 K
1 A/ u/ ~1 f% S7 A' Y* L. P. N  m　　5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到
* f, d  ~) l( V  c$ S
　　5056=64×79。

　　由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
例2　　被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。

　　解：因为被除数=除数×商+余数

　　=除数×33+52，

　　被除数=2143-除数-商-余数

　　=2143-除数-33-52
+ y" z; _* A) r1 j! f2 E
　　=2058-除数，

　　所以 除数×33+52=2058-除数，

　　所以 除数=（2058-52）÷34=59，

　　被除数=2058-59=1999。
5 S6 C! U/ {: q7 l+ M" @. [8 g% Y; o
$ k+ N. N, H$ b- G　　答：被除数是1999，除数是59。
! _$ W4 i( j  o* k2 f; `例3　　甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

　　解：因为 甲=乙×11+32，
5 E# @; h- k1 V6 C! n
9 e+ Q' f/ y. y4 b3 q　　所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，
+ p" ?2 x0 {8 H& `( i
# C8 x: ~2 J% u* @( Q　　所以 乙=（1088-32）÷12=88，

　　甲=1088-乙=1000。
7 w+ f$ U: B- i# {, S/ _. T8 m
$ n8 w% D4 c& n9 \) q6 e( P. o% I4 k　　答：甲数是1000，乙数是88。
( H: m" Z3 f( j3 t$ ]; r! m" e例4　　有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。
% U" H/ N" x/ P0 x$ k) v
/ K: K0 R, c! G1 S* t　　分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。

' H. q6 o& Z1 N　　由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。
) u. a4 r5 l: l! U. ~6 o
% [4 x. E6 d# }3 y! X　　因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。
; a/ y" ~8 o; U& M& j. J
　　例5 求478×296×351除以17的余数。

　　分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。
. c! _9 S" X0 c5 |
　　478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。

% h% s+ P6 w7 C　　所求余数是1。

　　例6 甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？

6 h. S$ Q# T) j8 X　　分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。

　　因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。

' @3 J0 i- o: r$ d　　（11×25）÷36=7……23，

　　即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。

　　由例6看出，将实际问题转化为我们熟悉的数学问题，有助于我们思考解题。

xyzabc

新注册的人能够转这样的帖子是大师来点化大家的吗？

hippe

我就是新人啊。一直用的方法是八分线和等周期线。因为只能看到短线。看不到时间和级别
2 `; y- t5 p5 n- x( M  H' B于是开始学习江恩。在网上搜索相关信息。就来到了论坛。从注册的那天到现在一直在看各位学长的帖子。发觉之前的理解。不是江恩或者和江恩有很大的偏差。
: g. i4 f. Q9 T% s/ \/ }并受到论坛先辈的指点和启发。
: ^- E3 \9 e9 z7 m* G觉得应该从基础来学习。然后加以扩展。
6 f0 B3 K. f! f; P+ M) T于是在网上寻找资料。
: l: O" A5 g) ~% c! b4 O找到这些觉得好像很有用。
/ a: k5 R6 _/ l7 k7 i- T9 |发出来成贴
1.希望和大家共同学习。也希望已经通其理的人给指点迷津
2.希望这是个起点。能给比我还新的新人一些信息。
如果有打扰到各位坛友。或者不符合论坛的规则和要求。
6 n( _& A. q- y& \/ B  c$ N请原谅
4 A% }/ u3 O8 x/ k( \1 q% w因之前没有在论坛中进行交流（不知者不怪嘛！！ ）

0 L0 F' M: ^( m! j' lxyzabc  谢谢您的关注。还谢谢你加的好多好多的分。

wuyin2025

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