余数（转载）

hippe

余数 定义 在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。 取余数运算： a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c 如 7 除3 = 2 .。。。。。。1
: H& ~; _* w# O+ B, Z余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：

! d7 ~* L* i/ x2 b& {　　（1）余数小于除数。

0 ?4 {2 v2 Q% X& @$ O, ]$ S- _　　（2）被除数=除数×商+余数；

　　除数=（被除数-余数）÷商；

　　商=（被除数-余数）÷除数。

　　（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
8 t7 B% z# A! t5 Z! E' J
　　（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。

) }% {2 a6 g" y* ]# v. ?$ f　　（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。

4 v1 S( P8 a! ]　　性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。

　　而当被除数小于除数的情况下，商为零，余数就是被除数！
' |5 f$ F8 \* w: ~0 n
3 G0 B( o- o( r" X
例题例1　　5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。

' A! ?6 s6 g$ f, {' [3 O, B　　分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。

　　5122-66=5056，

　　5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到
$ r2 `, Y+ `2 u! k" ]/ W4 g) G, {
4 h, o% N" H0 k" d: M1 Z　　5056=64×79。
* h' V: i# q9 i6 K. _
　　由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
例2　　被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
4 _; a* Z: x4 [: L
% r- q+ j  b. Y8 s. _　　解：因为被除数=除数×商+余数

　　=除数×33+52，

　　被除数=2143-除数-商-余数
6 s6 u. n! N/ b5 ]* |9 J
/ m) J$ q7 F; t* E/ K　　=2143-除数-33-52

& T+ A, j) ?( n, O3 x6 ~7 k　　=2058-除数，

3 z* l. ]$ B3 |  w　　所以 除数×33+52=2058-除数，

6 d. t( v  `9 ~8 b( b; X/ L. A　　所以 除数=（2058-52）÷34=59，
8 S" x  G1 n0 a' R7 E) d. |
2 r9 N: E( K! l$ z: v) C# D　　被除数=2058-59=1999。

　　答：被除数是1999，除数是59。
例3　　甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

　　解：因为 甲=乙×11+32，

　　所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，
' L, G0 F2 a# D7 J9 X. Y6 P: d
　　所以 乙=（1088-32）÷12=88，

' {1 d% {5 @0 L0 `　　甲=1088-乙=1000。

　　答：甲数是1000，乙数是88。
% B. i' A- H. m+ B/ b例4　　有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。
" Q0 i6 j4 Z) Y8 f" A) _- {# ^0 [/ b
　　分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。

　　由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。

) c9 C7 |. V, v1 M5 j　　因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。

　　例5 求478×296×351除以17的余数。
% k( p' M% i; \
　　分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。
+ M% N- u3 v7 U5 d. X
4 i: x0 v+ O# \+ q　　478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。
& p1 j/ C& J- c3 W0 W* @; {) l
+ X1 w! ~' d" G6 |  B+ N- |　　所求余数是1。
1 [9 v+ B6 e9 j/ j
　　例6 甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？
+ {3 |) h( c& ~. }, {7 j
6 v# a# b* O4 k  D& V# T# ^# P! E8 A　　分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。
+ Y8 d( K" @& Z# t( I
　　因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。

4 }: p' |8 E6 m3 g! U　　（11×25）÷36=7……23，

; E  {8 k& r( c% k% ^　　即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。
# @" d7 j2 r8 R
# O9 r) s* B6 h" b　　由例6看出，将实际问题转化为我们熟悉的数学问题，有助于我们思考解题。

xyzabc

新注册的人能够转这样的帖子是大师来点化大家的吗？

hippe

我就是新人啊。一直用的方法是八分线和等周期线。因为只能看到短线。看不到时间和级别
5 f4 R; Y6 i( q& s6 o, X4 j$ \于是开始学习江恩。在网上搜索相关信息。就来到了论坛。从注册的那天到现在一直在看各位学长的帖子。发觉之前的理解。不是江恩或者和江恩有很大的偏差。
并受到论坛先辈的指点和启发。
2 O& v8 J! ^0 N觉得应该从基础来学习。然后加以扩展。
) Y- c5 v6 x- p, l于是在网上寻找资料。
找到这些觉得好像很有用。
发出来成贴
4 T" v/ P- }  [$ i" J1.希望和大家共同学习。也希望已经通其理的人给指点迷津
2.希望这是个起点。能给比我还新的新人一些信息。
: o5 ~: A" S9 M) X7 c如果有打扰到各位坛友。或者不符合论坛的规则和要求。
+ U$ Z6 {+ C# ]/ W$ v/ U/ A. X- D: v% \1 C请原谅
  g" i5 Y' _/ [3 b& j0 h9 c因之前没有在论坛中进行交流（不知者不怪嘛！！ ）
) v  Q! }8 E4 x7 x8 M+ M
3 [6 y& g/ x* D8 |" ixyzabc  谢谢您的关注。还谢谢你加的好多好多的分。

wuyin2025

axcqy

学习