余数（转载）

hippe

余数 定义 在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。 取余数运算： a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c 如 7 除3 = 2 .。。。。。。1
余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：
' `2 U$ N: r$ g% _) m( O
　　（1）余数小于除数。
& N' M6 D+ x# T& [' n$ R$ c
; z0 @: b3 O& V/ g4 C) E+ P　　（2）被除数=除数×商+余数；

　　除数=（被除数-余数）÷商；

2 o! T( J5 I; v3 B, u1 x& H6 }! {　　商=（被除数-余数）÷除数。
' V7 p5 h2 o6 O% n- B# J
% }6 ?. N# \5 I　　（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
: M; E: ^. G+ E# [- Y8 n7 J
　　（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
$ g! a8 A$ }( [; R; ^" z6 o6 l
　　（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。

, s( ~  ^& a; m9 ?; L　　性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。

　　而当被除数小于除数的情况下，商为零，余数就是被除数！
- ^. H  F$ i1 K8 _

& k7 u" ?$ ~4 J- ?3 G# a% z/ B* B例题例1　　5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
0 P& i: q/ A0 e; C& c% F
　　分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
: T1 o) H3 v1 |+ c
　　5122-66=5056，

  i/ x  C" A5 d　　5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到

+ C7 j/ {4 I* z# N- |' r: K+ g% v　　5056=64×79。
! w! C# g  u- k4 w2 f4 I8 u; d
　　由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
例2　　被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。

　　解：因为被除数=除数×商+余数
: r3 ]* h) J4 a. P' C8 Y5 C
2 `! v5 c* h* g1 a　　=除数×33+52，

8 `. S, D5 P$ i; J" J! U　　被除数=2143-除数-商-余数

　　=2143-除数-33-52
9 g& Z3 w' V+ g# C- S& X
" a+ Y( `: z7 ]4 P: {　　=2058-除数，
& ?/ W; ]" B# [
　　所以 除数×33+52=2058-除数，

　　所以 除数=（2058-52）÷34=59，
$ Y: X( b8 ?# Y. h; z( x
　　被除数=2058-59=1999。

0 u+ a# A1 w' l. u　　答：被除数是1999，除数是59。
例3　　甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
: H4 F/ n! l; h0 \& u
　　解：因为 甲=乙×11+32，
0 Z  x5 A. L$ ^  x+ k+ ~" Z7 t
　　所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，
$ h* j: F& _# X* o
3 c! f# E# W! t1 I　　所以 乙=（1088-32）÷12=88，
4 C' i. b( x8 O
! h, b7 f; X% y& S　　甲=1088-乙=1000。
% t0 y4 s9 f5 s9 w$ p$ {/ f
6 E& X4 b5 ]1 X1 b　　答：甲数是1000，乙数是88。
例4　　有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。

9 W- }; P. h- J9 k/ K% C7 e5 R　　分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。
% }1 r) Y7 y2 U; j: H
　　由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。
7 g) \* L- _$ y" b. ?+ p3 T8 z. p
8 Q+ |5 e; W7 D5 P　　因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。

! M$ Q# F) S' j6 R% i0 ^　　例5 求478×296×351除以17的余数。
, E: R, H: ], X7 A- Z% }
　　分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。
* w4 Q, P3 P* T; G
: R$ \  S$ z& D+ z0 A9 w  X　　478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。
4 v7 {& l7 S) C; y; M
　　所求余数是1。

" w! N3 E0 }+ {; \　　例6 甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？
8 C8 s+ E; ~' E8 a5 r4 d
1 }" U9 T$ I: l. \0 H4 j　　分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。
8 u4 W8 O$ g; u7 U; S* P
　　因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。
: l9 v1 u, ]+ c3 v
　　（11×25）÷36=7……23，
  B8 q! n9 o- @# u4 _, T9 K
　　即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。
" C( n# k) y! x* v7 L% p2 r, g
　　由例6看出，将实际问题转化为我们熟悉的数学问题，有助于我们思考解题。

xyzabc

新注册的人能够转这样的帖子是大师来点化大家的吗？

hippe

我就是新人啊。一直用的方法是八分线和等周期线。因为只能看到短线。看不到时间和级别
于是开始学习江恩。在网上搜索相关信息。就来到了论坛。从注册的那天到现在一直在看各位学长的帖子。发觉之前的理解。不是江恩或者和江恩有很大的偏差。
并受到论坛先辈的指点和启发。
觉得应该从基础来学习。然后加以扩展。
于是在网上寻找资料。
找到这些觉得好像很有用。
8 Y2 y7 g6 r, L5 r+ E8 T/ h/ N; ~3 P发出来成贴
* a/ H$ P: u: N- H1.希望和大家共同学习。也希望已经通其理的人给指点迷津
2.希望这是个起点。能给比我还新的新人一些信息。
3 E' n3 H+ e5 t. O' e. u如果有打扰到各位坛友。或者不符合论坛的规则和要求。
. @! m$ \* j0 Z7 Y请原谅
* k: Y! x9 o1 g& v6 c1 d3 F7 L  W) V1 B因之前没有在论坛中进行交流（不知者不怪嘛！！ ）
- K. l5 E+ G+ y/ w' P7 a
# b9 m* e/ S( H4 D1 U% ~9 n0 Mxyzabc  谢谢您的关注。还谢谢你加的好多好多的分。

wuyin2025

axcqy

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