余数（转载）

hippe

余数 定义 在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。 取余数运算： a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c 如 7 除3 = 2 .。。。。。。1
余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：
" O  M+ G. Q: I' M
5 s' |. h/ f, \2 v　　（1）余数小于除数。
+ l) Z5 Y/ c) p9 `- S
" Q  k2 h" q8 s& a- [: S  @1 M, B　　（2）被除数=除数×商+余数；

* J- D/ ?: B/ J7 `9 W/ Q　　除数=（被除数-余数）÷商；

4 X! C0 q% s1 E# e$ T2 W+ ~' g& B　　商=（被除数-余数）÷除数。
: q0 I. i3 ]( D3 |8 M4 f& I
　　（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。

　　（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。

　　（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。

0 ^/ e9 E- }! S0 z- T　　性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。

6 }) I6 }. q" T# f4 e　　而当被除数小于除数的情况下，商为零，余数就是被除数！
2 h9 g2 W/ C9 H8 {2 h# |
1 H3 V$ r5 n5 B
例题例1　　5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
0 X* o$ q# ^0 ?) \
　　分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
) A* B' `4 n0 m
& S$ _1 l" {) J! z  z8 p. ?9 a　　5122-66=5056，
6 R2 p) V. r6 [# {( {
$ U1 q1 f  {: x　　5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到
7 S/ g3 p% Z( ~: z
8 H/ q/ F% f! p, }　　5056=64×79。

　　由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
3 I' K/ E/ y0 v8 Q  ^例2　　被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
, j4 H- j" M4 j! y/ _7 i; R2 z6 L
　　解：因为被除数=除数×商+余数
* T) u. n  ?  z+ I1 w9 o. B$ p
* q/ v2 c' _( z1 S　　=除数×33+52，

8 `/ A6 C8 V: _" q　　被除数=2143-除数-商-余数
( w7 V, u8 y8 x( y0 v& p8 n- }9 l
6 H& J5 t! M& S; C" S　　=2143-除数-33-52
8 F+ d$ `! O3 Y; ~' }3 ~
　　=2058-除数，
3 D& F6 y7 z: Z. l1 c% w# y
　　所以 除数×33+52=2058-除数，

　　所以 除数=（2058-52）÷34=59，

　　被除数=2058-59=1999。
; e) C- y: c8 g2 r$ |
! h0 l5 P* F, G1 t6 _7 l: h2 A+ R　　答：被除数是1999，除数是59。
/ r0 R, ?( d) \2 p例3　　甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
( v/ y, a$ ]# w: U  e! G# n
　　解：因为 甲=乙×11+32，
" J, F1 p/ `0 ?; L) ^  g0 c  D7 z( N
　　所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，

　　所以 乙=（1088-32）÷12=88，

* D3 [9 E+ D0 n+ |# L　　甲=1088-乙=1000。
* b+ o2 ~& r. v" U1 h
　　答：甲数是1000，乙数是88。
例4　　有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。

7 F; I2 k8 {+ D, K1 k2 D& [5 n　　分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。

5 W! L8 o  P- Q3 q　　由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。
) t- V" `5 D% D3 }( p- i7 W' r+ t
0 P4 A; @) n( i% g) H　　因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。
5 R1 g) k) e( a
& ~/ N# V7 \" z% u0 A　　例5 求478×296×351除以17的余数。
4 i8 t, N9 K7 j3 N( m  T
　　分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。
4 j' b5 `2 p. l; I5 ?$ B
/ O; n$ V1 v# v; N( t; H: @, M　　478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。
8 B+ w1 u, l; T( g
　　所求余数是1。

3 e1 C" ^+ B, t) q2 ]% `　　例6 甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？

　　分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。

　　因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。

　　（11×25）÷36=7……23，
0 }2 v, y6 u( \, x2 k
" _, _$ `, M4 d　　即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。

0 j/ U+ p* v+ y+ |3 `/ M. y4 q　　由例6看出，将实际问题转化为我们熟悉的数学问题，有助于我们思考解题。

xyzabc

新注册的人能够转这样的帖子是大师来点化大家的吗？

hippe

我就是新人啊。一直用的方法是八分线和等周期线。因为只能看到短线。看不到时间和级别
于是开始学习江恩。在网上搜索相关信息。就来到了论坛。从注册的那天到现在一直在看各位学长的帖子。发觉之前的理解。不是江恩或者和江恩有很大的偏差。
并受到论坛先辈的指点和启发。
觉得应该从基础来学习。然后加以扩展。
8 v" M" O: U; V- @  Q3 n3 M于是在网上寻找资料。
找到这些觉得好像很有用。
. e1 A% s. H2 j2 V' p发出来成贴
) R5 Y1 x1 `! F& F( Y. E2 J+ M1.希望和大家共同学习。也希望已经通其理的人给指点迷津
" Q7 F, Q5 C9 ]4 ~! s$ Y2.希望这是个起点。能给比我还新的新人一些信息。
如果有打扰到各位坛友。或者不符合论坛的规则和要求。
请原谅
# y+ H6 x; ~3 x& O* R4 f" O因之前没有在论坛中进行交流（不知者不怪嘛！！ ）
* `6 }# N& J- l& Z' C+ l
xyzabc  谢谢您的关注。还谢谢你加的好多好多的分。

wuyin2025

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