余数 定义 在整数的除法中,只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时,就产生余数,所以余数问题在小学数学中非常重要。 取余数运算: a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c 如 7 除3 = 2 .。。。。。。1
4 Y: q' S: s, _$ t余数有如下一些重要性质(a,b,c均为自然数):
" A1 X3 r. x- H _, w2 z: n; B% ? `- t
(1)余数小于除数。
- n6 V- b/ u2 |& p; o7 w% \) y) U) g. @' F0 Y" q" ]
(2)被除数=除数×商+余数;
# `: t& F4 t! J I; U
) ^0 Z( F, Z; T9 w4 j t 除数=(被除数-余数)÷商; ) U3 }' P6 [- s; D9 O7 y
1 t; @, S8 _7 D" g' k+ @ 商=(被除数-余数)÷除数。 ' ?8 B! o' R+ _
{% l2 ? _: |1 D) }: f H
(3)如果a,b除以c的余数相同,那么a与b的差能被c整除。例如,17与11除以3的余数都是2,所以17-11能被3整除。
3 T) _( `+ ?1 m
" N# P9 {. i# P (4)a与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和(或这个和除以c的余数)。例如,23,16除以5的余数分别是3和1,所以(23+16)除以5的余数等于3+1=4。注意:当余数之和大于除数时,所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如,23,19除以5的余数分别是3和4,所以(23+19)除以5的余数等于(3+4)除以5的余数。 3 J' M: w7 E5 a3 b4 F
: Z, }! D$ ]: o$ L; P7 P
(5)a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之积(或这个积除以c的余数)。例如,23,16除以5的余数分别是3和1,所以(23×16)除以5的余数等于3×1=3。注意:当余数之积大于除数时,所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如,23,19除以5的余数分别是3和4,所以(23×19)除以5的余数等于(3×4)除以5的余数。 5 I1 t- @& w% j' V. x9 V& r/ R
5 z& k* k6 t, q. o2 T
性质(4)(5)都可以推广到多个自然数的情形。 8 c: s4 D7 n4 N% |1 M
, ?8 G5 w1 [# P6 N i 而当被除数小于除数的情况下,商为零,余数就是被除数!
8 f/ F$ ^1 {) h
g+ G e; |+ f; _3 v. D4 V7 q4 {9 k/ \
例题例1 5122除以一个两位数得到的余数是66,求这个两位数。
: r4 f- p& h- s6 l6 U8 N" V& N2 A# b6 Y0 F! q
分析与解:由性质(2)知,除数×商=被除数-余数。 ( g" W- q8 N" R5 ^( j- D) H
: \! u+ Z$ K0 z. X# K1 t
5122-66=5056, 1 ~% S, G; z5 a7 [3 L/ A. v
5 C8 K- G7 E& J+ E$ [6 e6 U 5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数,得到
/ c# ~- A0 d4 Y0 @( x4 s6 D. ~( Y- n& \6 v& W y! C
5056=64×79。
/ e) H# X% j/ ~ A) t b- Z8 y9 k( q j0 w" X
由性质(1)知,除数应大于66,再由除数是两位数,得到除数在67~99之间,符合题意的5056的约数只有79,所以这个两位数是79。
+ C' q" m4 _5 ~例2 被除数、除数、商与余数之和是2143,已知商是33,余数是52,求被除数和除数。
( R( j# c+ u6 @; h8 R. P- B/ ~
3 D- c" ~1 u3 O0 w3 g 解:因为被除数=除数×商+余数 ) E* V8 ]0 j) T" A1 `3 |
) l. j0 l9 C7 O
=除数×33+52, # ]8 k9 {3 p: t+ t9 j( S1 Y
4 |" M. k4 U2 X1 x; q5 T+ d& l
被除数=2143-除数-商-余数 : w. r# W: ]- m' O0 u1 ]' D* S# \
1 t. d$ E; t$ R. \5 K& E' g/ L- a
=2143-除数-33-52
% H, M0 P/ a# p+ [- I# a9 V4 w/ B+ a) Z& |# k; \
=2058-除数, ! d7 a9 T1 r0 O3 [; `6 ^- Q1 L
% r1 y* m1 h; J" R
所以 除数×33+52=2058-除数, / a) r) l, J! X5 i8 O
+ |3 Z* T& ?; l) P' S' z 所以 除数=(2058-52)÷34=59, % i3 H( l% v+ A7 o$ g5 e3 E) R
0 |8 `" E& o: {0 t0 d( X 被除数=2058-59=1999。
4 ?: I \8 B6 H4 `/ t! t+ s" f) p ?
答:被除数是1999,除数是59。 4 A) e5 u4 U/ `
例3 甲、乙两数的和是1088,甲数除以乙数商11余32,求甲、乙两数。
; D. ?3 q3 z/ g2 |$ a5 F4 Q4 q
$ A0 _, V4 j' }5 f 解:因为 甲=乙×11+32,
8 Q- j* {' ^9 |3 k
% k( U k5 O8 l( D 所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088, ! y. B/ M+ d3 u: q$ i
. A- l' k+ T# d" ~: l& B 所以 乙=(1088-32)÷12=88, ; M+ g6 D# y% c6 T H; ^
# [& J+ b/ [* F" ?3 F: a
甲=1088-乙=1000。 + o$ `5 a; F+ w# L$ m2 `
* y7 _6 k( ]) S4 G4 S# }
答:甲数是1000,乙数是88。
3 Y+ L$ O& t$ z6 @例4 有一个整数,用它去除70,110,160得到的三个余数之和是50。求这个数。 9 A" s: ]$ l' Q4 T
* Z# {& Z5 h7 k7 a' ?+ g3 @
分析与解:先由题目条件,求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2,所以三个余数中至少有一个大于16,推知除数大于16。由三个余数之和是50知,除数不应大于70,所以除数在17~70之间。 : W7 |1 I, w0 D
) q8 U- [/ t5 t# ?5 r
由题意知(7+110+160)-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数,得到290=2×5×29,290在17~70之间的约数有29和58。
: E! H- s3 ?2 G! M" w) c1 y/ B
5 K/ N# R' J* i 因为110÷58=1……52>50,所以58不合题意。所求整数是29。
! {# R, O3 O" \4 a# l# O. x; p6 P0 d
) [ p6 t. O* }3 B7 e 例5 求478×296×351除以17的余数。 / o$ R2 V0 q8 q& v- c2 g! r
$ K* J1 q5 ^* C$ l' Q! t 分析与解:先求出乘积再求余数,计算量较大。根据性质(5),可先分别计算出各因数除以17的余数,再求余数之积除以17的余数。 & w! o+ `) U/ ^ a% F
b+ g X5 B; j0 p: u5 a 478,296,351除以17的余数分别为2,7和11,(2×7×11)÷17=9……1。
: v; N) ~* |! m2 a) L! Q
! `% \7 R$ }& I, c0 g3 k+ T* S5 U) A9 \ 所求余数是1。 * w5 M- D4 M0 ]3 h' J" q: `$ w' a
) } S; w8 X& \, f 例6 甲、乙两个代表团乘车去参观,每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后,甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完,甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片,那么拍完最后一张照片后,相机里的胶卷还可拍几张照片? * c& n, Y0 w! Z, r
. j& E+ O! A' S# o4 C+ ?! d3 e
分析与解:甲代表团坐满若干辆车后余11人,说明甲代表团的人数(简称甲数)除以36余11;两代表团余下的人正好坐满一辆车,说明乙代表团余36-11=25(人),即乙代表团的人数(简称乙数)除以36余25;甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片,共要拍“甲数×乙数”张照片,因为每个胶卷拍36张,所以最后一个胶卷拍的张数,等于“甲数×乙数”除以36的余数。 % }8 R' K, Y" g J; k+ z
+ V7 e( _8 B. P& }$ ?; `' ^
因为甲数除以36余11,乙数除以36余25,所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。
8 Y3 y1 p7 C. v, P7 s: Y) M
4 \" Z5 h* _7 ?+ g7 K (11×25)÷36=7……23, 7 L z9 ~/ D- o# r( b& X
4 P/ ~2 f# o/ E% |1 y. ] 即最后一个胶卷拍了23张,还可拍36-23=13(张)。 9 I, x, _. q6 e6 i% X" w
. B$ J# l/ n: M/ g! _
由例6看出,将实际问题转化为我们熟悉的数学问题,有助于我们思考解题。 |