余数 定义 在整数的除法中,只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时,就产生余数,所以余数问题在小学数学中非常重要。 取余数运算: a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c 如 7 除3 = 2 .。。。。。。1
$ n. w: s: R, s& t0 J7 P余数有如下一些重要性质(a,b,c均为自然数): : t* H" l6 X' W3 w5 u& U9 c- g2 v/ I
) J) C* R9 Z" ^2 f( S, O l (1)余数小于除数。 / [+ s$ i( O8 r, ^9 Q
% ^" [* g5 K% ^ (2)被除数=除数×商+余数;
$ p1 T. g+ A" @8 B2 u9 t( z- {
# W2 B$ s) [1 y+ [: e 除数=(被除数-余数)÷商;
) `: T. p& W' [3 n6 R$ b) U% u# `2 Y/ u
商=(被除数-余数)÷除数。
' i: N) P& z: @+ V- U$ f
" W( c" G+ W5 ~+ G. n- o, k& q (3)如果a,b除以c的余数相同,那么a与b的差能被c整除。例如,17与11除以3的余数都是2,所以17-11能被3整除。
" H. l" R6 u4 f# }3 @! a; m) q: l. T& `
(4)a与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和(或这个和除以c的余数)。例如,23,16除以5的余数分别是3和1,所以(23+16)除以5的余数等于3+1=4。注意:当余数之和大于除数时,所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如,23,19除以5的余数分别是3和4,所以(23+19)除以5的余数等于(3+4)除以5的余数。
4 q1 j* \4 q/ u9 q+ A& j- F# k% m; ~: C, V
(5)a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之积(或这个积除以c的余数)。例如,23,16除以5的余数分别是3和1,所以(23×16)除以5的余数等于3×1=3。注意:当余数之积大于除数时,所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如,23,19除以5的余数分别是3和4,所以(23×19)除以5的余数等于(3×4)除以5的余数。
; w5 c7 x2 a: _) J3 p' R) X- s' j8 z( t0 F% o
性质(4)(5)都可以推广到多个自然数的情形。
5 D! i) O. Y& k, r8 R( Y( `; b/ \ l
而当被除数小于除数的情况下,商为零,余数就是被除数! 7 n% A c- E2 Z1 k7 b) I
! w* y+ e$ n& {9 N
+ z3 L# B7 o8 ?) J
例题例1 5122除以一个两位数得到的余数是66,求这个两位数。 & a4 G5 V! g% W5 F
0 p. H' P1 |9 [' O2 i- |& @) z; H
分析与解:由性质(2)知,除数×商=被除数-余数。 , M8 ^7 |/ F% h" v/ T [" a
; z& K: J \/ y6 d0 M0 E: z 5122-66=5056,
0 y( @- I" u% f; \, E5 s2 R* ~* b; O) v, \" x" F9 d
5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数,得到
" g5 F, O: K/ W; J
. @1 V- c- Z ]* p 5056=64×79。 5 D" B! ^% J# K! ^- ^$ v% I
( y* D8 N: |4 E# L7 ?& [- A9 N- N1 P
由性质(1)知,除数应大于66,再由除数是两位数,得到除数在67~99之间,符合题意的5056的约数只有79,所以这个两位数是79。
% a7 |) i( J7 ^$ a; W/ t例2 被除数、除数、商与余数之和是2143,已知商是33,余数是52,求被除数和除数。 6 ~# l1 z5 [0 G9 X
+ X9 ]0 D8 R" {8 w
解:因为被除数=除数×商+余数 ) Q( b" {* l* E8 k
; N4 I6 t. C8 j& v/ W' v# N4 \1 Z
=除数×33+52,
. V) p" ] I0 f
2 Z7 s- R3 Z8 u- B* w% ~ n/ M/ L D" Y 被除数=2143-除数-商-余数
+ m$ c0 `: d" d0 Y4 k9 M/ B; h& W3 _8 ?2 T$ X
=2143-除数-33-52
! _8 \ x1 }* m% U! v/ }$ ], k
+ ?& W. P+ z7 q( S- t1 C7 H) n, P =2058-除数, ' h& n9 O! R3 h# D# r0 d
7 X& X- t% w1 l5 i 所以 除数×33+52=2058-除数, ( E3 n0 k2 n8 c) D
$ T8 N, i p- F3 ]( `: q1 e" k# D
所以 除数=(2058-52)÷34=59,
8 H, {" c, W% H' ?# i( Q4 o4 `
8 T. k: M+ f5 G2 F' D 被除数=2058-59=1999。
7 _7 Q" `+ s" d; J* h. C7 J
; ~6 }, z" v# A& t# t Q5 t 答:被除数是1999,除数是59。
& X( {! q8 x' z3 f+ h- m! x/ f例3 甲、乙两数的和是1088,甲数除以乙数商11余32,求甲、乙两数。
" H, F+ d& [- x1 T7 X w
% @: S2 K" ~! X: {( b* ^3 m 解:因为 甲=乙×11+32, ! w% Z5 O* g; N+ ?
1 e8 C& \( v1 k 所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088,
0 c4 Q. D& G$ W0 c" t, L% u: X) U# s5 |) ~ X, i8 J
所以 乙=(1088-32)÷12=88,
J# A2 L9 [: _( u$ q7 A& h& D% I: j; z; _9 `0 x
甲=1088-乙=1000。
6 p9 u% N% X# H/ h9 ?" d% l3 |7 B' r- g0 R! B) V( {
答:甲数是1000,乙数是88。 / r* X' W0 V% K1 G% J4 E4 o! ]4 ^. j
例4 有一个整数,用它去除70,110,160得到的三个余数之和是50。求这个数。 : j; K" e$ M2 Z; R% Q
# w$ T+ D _" s9 u! {" G: a
分析与解:先由题目条件,求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2,所以三个余数中至少有一个大于16,推知除数大于16。由三个余数之和是50知,除数不应大于70,所以除数在17~70之间。 8 v6 U, ~0 }7 {- u% q
# D7 ?9 o8 Z2 x5 E$ N4 P9 z 由题意知(7+110+160)-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数,得到290=2×5×29,290在17~70之间的约数有29和58。 3 d! ^0 r2 O1 i9 a s
" m7 W7 P' N5 p, h! ^$ q
因为110÷58=1……52>50,所以58不合题意。所求整数是29。 % m8 @, ^. o" r% F0 W W+ d
: t/ i$ G) ~0 K/ y 例5 求478×296×351除以17的余数。 : p* v2 x3 v" \: J6 v7 L
+ {! @$ U8 v5 r, L# t, a5 K, O9 N
分析与解:先求出乘积再求余数,计算量较大。根据性质(5),可先分别计算出各因数除以17的余数,再求余数之积除以17的余数。
& S- Z3 [- x. F U* {, T! E
4 M( ^3 Y. F* d5 w& M* S9 Y1 U. A 478,296,351除以17的余数分别为2,7和11,(2×7×11)÷17=9……1。
8 r4 f1 E# H" _- [1 v4 A. {/ } b9 W6 w6 j
所求余数是1。 ; Q a0 c+ o9 V( E! O8 o
8 a3 _7 \% E' G; q5 \; ~
例6 甲、乙两个代表团乘车去参观,每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后,甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完,甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片,那么拍完最后一张照片后,相机里的胶卷还可拍几张照片? * k, {5 ]+ s! s v$ a8 _; u# b/ N
' ]* h8 R2 j; v, M2 [% b
分析与解:甲代表团坐满若干辆车后余11人,说明甲代表团的人数(简称甲数)除以36余11;两代表团余下的人正好坐满一辆车,说明乙代表团余36-11=25(人),即乙代表团的人数(简称乙数)除以36余25;甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片,共要拍“甲数×乙数”张照片,因为每个胶卷拍36张,所以最后一个胶卷拍的张数,等于“甲数×乙数”除以36的余数。
/ c b4 A0 Z0 h% E% P. F/ X$ v" j. ]7 I7 E7 @% b6 H3 t
因为甲数除以36余11,乙数除以36余25,所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。
' d7 }( x. I6 _/ b- Z; D: u, s9 z# m/ Z) P/ D* p9 V: c
(11×25)÷36=7……23,
, R# s, O5 S0 ?
* g. d) n# w; n Q) x( | 即最后一个胶卷拍了23张,还可拍36-23=13(张)。
+ E& L, U) m, }5 r& W1 J2 e
/ U3 [, g# D# j5 z$ i8 u" z 由例6看出,将实际问题转化为我们熟悉的数学问题,有助于我们思考解题。 |