余数（转载）

hippe

余数 定义 在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。 取余数运算： a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c 如 7 除3 = 2 .。。。。。。1
  z$ L5 D  F: [& m0 w1 C余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：
0 a, m4 N% @: @- s
　　（1）余数小于除数。
; E: e6 A7 p4 J8 a
" [+ q; l2 `/ Y0 F　　（2）被除数=除数×商+余数；
7 e' s. T& s3 j1 j9 k
　　除数=（被除数-余数）÷商；

: w% O7 H" p+ u) `　　商=（被除数-余数）÷除数。
5 E/ h" V* b( J5 h& ~* M5 ^- C
　　（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。

9 v& N* R/ A$ l; e* Z! W　　（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
) \. [$ V% g: p3 L- u! G. Y8 O
5 Z5 d8 P0 j; s* _$ O7 _　　（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
& `" X, Z5 G: l% \: i, i& M& q
3 U& }" S5 C6 m' @　　性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。

　　而当被除数小于除数的情况下，商为零，余数就是被除数！
: x  [9 s+ t3 i% l

* d9 e$ v7 ]+ P例题例1　　5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
, l: [+ [, l: L' {5 c( l* r( p
　　分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
8 p9 H+ @9 }1 S/ ]1 ?8 e# p
　　5122-66=5056，

　　5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到
' m( \2 c- |+ ~: H
　　5056=64×79。

　　由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
" z3 x. C$ I2 D/ c, T例2　　被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
# V% Q& V6 l4 i  r
　　解：因为被除数=除数×商+余数

　　=除数×33+52，
% Q- j1 {9 a1 [' O
　　被除数=2143-除数-商-余数

　　=2143-除数-33-52
8 I- f. l% _7 F4 s
　　=2058-除数，

) d* c& ]/ M# d1 v: ], |3 F6 t　　所以 除数×33+52=2058-除数，
) ~# g3 s, k! B8 n8 p0 b1 \
　　所以 除数=（2058-52）÷34=59，
0 t4 `. i8 \; G7 V9 _
1 c8 Z& w. x6 X% @% g1 H: ^* e! i8 [　　被除数=2058-59=1999。
0 v4 o& \+ U% x2 }
+ u8 O: W% P4 w8 U　　答：被除数是1999，除数是59。
例3　　甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

　　解：因为 甲=乙×11+32，
3 M0 X; w+ ?% h8 o( A9 q
　　所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，

) d( F1 s: q/ h" J/ A2 K! U* K9 T1 r　　所以 乙=（1088-32）÷12=88，

/ |( r/ x5 f) K6 B/ U' [　　甲=1088-乙=1000。

: Y4 ~, d# r1 r8 m: A' W4 Z　　答：甲数是1000，乙数是88。
例4　　有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。
; R7 v7 g& Z$ k* ^7 l  C/ w
$ Q# Y- h% o1 M' j+ T( `　　分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。

. F! _* \2 M2 i　　由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。
, b/ ]7 g) ?- n  E! S; M
0 d3 n' [$ o" Y) m& _5 U　　因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。
5 `  j( V& z. T8 C6 f$ \; J* I4 v7 H
& L2 O0 X. L; O& Y　　例5 求478×296×351除以17的余数。
; o5 ^2 p! h+ T' S2 ], Z# q
　　分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。
3 C3 {6 P8 {* B* k# Y
8 s2 J+ g5 i' Y5 l3 m　　478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。

　　所求余数是1。
3 |0 L7 p0 b' H8 `
　　例6 甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？
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% D. b% w( N. o: a0 w8 ~1 b+ Z　　分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。

　　因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。
8 {, |' y: m6 |5 J. M  s
  H3 t/ `) {% k3 r　　（11×25）÷36=7……23，

　　即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。

　　由例6看出，将实际问题转化为我们熟悉的数学问题，有助于我们思考解题。

xyzabc

新注册的人能够转这样的帖子是大师来点化大家的吗？

hippe

我就是新人啊。一直用的方法是八分线和等周期线。因为只能看到短线。看不到时间和级别
于是开始学习江恩。在网上搜索相关信息。就来到了论坛。从注册的那天到现在一直在看各位学长的帖子。发觉之前的理解。不是江恩或者和江恩有很大的偏差。
* p! l# h4 r0 G( j并受到论坛先辈的指点和启发。
觉得应该从基础来学习。然后加以扩展。
) p- j& n9 t5 D; S于是在网上寻找资料。
找到这些觉得好像很有用。
# j3 i7 O* s+ d" i2 l发出来成贴
2 v) \. q5 K6 W  n1.希望和大家共同学习。也希望已经通其理的人给指点迷津
  O* ?8 l1 t1 ^- Z8 U2.希望这是个起点。能给比我还新的新人一些信息。
如果有打扰到各位坛友。或者不符合论坛的规则和要求。
( Y- ~; b5 x- o6 g; a9 i: G请原谅
$ e: x8 G1 _# u' }; _. \& r$ Q1 L; S因之前没有在论坛中进行交流（不知者不怪嘛！！ ）

; J) Q1 h9 {) I0 @) [3 ?0 w+ m0 Kxyzabc  谢谢您的关注。还谢谢你加的好多好多的分。

wuyin2025

axcqy

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