余数（转载）

hippe

余数 定义 在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。 取余数运算： a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c 如 7 除3 = 2 .。。。。。。1
余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：

　　（1）余数小于除数。
# B7 U) l# v# w3 R3 J$ Z- b
, Q, s4 P8 |" n7 F( f　　（2）被除数=除数×商+余数；

　　除数=（被除数-余数）÷商；
- |% z1 ?# ]( j, L! D& C( y( v6 z
　　商=（被除数-余数）÷除数。

　　（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
! K( ^! R$ X. n
　　（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。

# ?. L9 C9 w" {+ m" |　　（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。

　　性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。
; f3 V* e& h2 Q0 n
6 {0 G, `* a7 z9 y* D9 W　　而当被除数小于除数的情况下，商为零，余数就是被除数！

: e4 V! i- v" B5 p/ ~# S
, M' H' b; o7 W% D# G例题例1　　5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。

" X6 ?9 o& ?+ E　　分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
+ f" |$ E. B, T- F# c$ t6 D0 d: C
2 F) }  m& i/ ^4 y* s' P" l, k2 g　　5122-66=5056，
0 k- V$ V! f4 g
　　5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到
- J) j4 Q' w% k9 T( a
" S# }; R7 J- A0 \* m7 l　　5056=64×79。

　　由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
例2　　被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
) U( N- {4 m' X1 r. G% R" _
" b: G0 O7 h6 A% K! s4 ]$ ^2 d. D　　解：因为被除数=除数×商+余数
: R8 [- }  Y+ f4 r
　　=除数×33+52，
; v5 f1 C  T2 i3 ]' Y
　　被除数=2143-除数-商-余数
. m! u9 {0 b* N, ?0 m" P  M
  U9 w! D2 V. F; [　　=2143-除数-33-52

( v$ N3 l7 i4 ?& h2 `+ ^, p　　=2058-除数，
% J4 F/ |$ k& U$ t& r
- y7 m; e0 `+ p4 t: `9 A" }' e; K　　所以 除数×33+52=2058-除数，

　　所以 除数=（2058-52）÷34=59，

' I% [. ]% l9 F6 z) L1 B　　被除数=2058-59=1999。
9 w- v7 _7 g1 O' h' {4 f
5 n3 |  j& T/ R5 d6 p6 `　　答：被除数是1999，除数是59。
& t4 K5 b# }" U2 q+ ]; _7 i例3　　甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
; c7 _2 n4 t$ M, m. r6 s; p* h
8 r' z% z; X# A! `% U! B　　解：因为 甲=乙×11+32，

! c! ^4 Q; R" p: f3 q　　所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，
+ H: I5 ^& x6 n; k- s: P. _3 a
  E) L+ H8 L( H$ I: o$ U- d9 [0 X　　所以 乙=（1088-32）÷12=88，

　　甲=1088-乙=1000。
' ]8 I8 k) Q, v0 h* c
　　答：甲数是1000，乙数是88。
# H: t) |) G2 c  F' P# n8 Y例4　　有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。

　　分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。

　　由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。
  p5 B: r1 N5 l3 ~2 Y
　　因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。
5 G7 u" r0 ^* T" X" V
　　例5 求478×296×351除以17的余数。

　　分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。

* c! ^% H, [0 X0 i9 v/ x　　478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。

2 q" a$ t$ d+ o/ ~4 z- x　　所求余数是1。

　　例6 甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？

+ w5 S4 N, u/ k( u: j2 W+ j- W　　分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。
$ D+ v+ @8 y7 O+ h1 }
　　因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。

　　（11×25）÷36=7……23，
8 b8 f: N( Y, Q, C  T
: \3 Y# s( h6 D4 t　　即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。

　　由例6看出，将实际问题转化为我们熟悉的数学问题，有助于我们思考解题。

xyzabc

新注册的人能够转这样的帖子是大师来点化大家的吗？

hippe

我就是新人啊。一直用的方法是八分线和等周期线。因为只能看到短线。看不到时间和级别
于是开始学习江恩。在网上搜索相关信息。就来到了论坛。从注册的那天到现在一直在看各位学长的帖子。发觉之前的理解。不是江恩或者和江恩有很大的偏差。
& b1 U; s) d: {并受到论坛先辈的指点和启发。
7 ?' ?  W) Z8 o3 W6 b8 W) }/ ~觉得应该从基础来学习。然后加以扩展。
& ~  `* F! {4 K5 @. y  f& M于是在网上寻找资料。
+ J; m- q) u9 X% G找到这些觉得好像很有用。
发出来成贴
1.希望和大家共同学习。也希望已经通其理的人给指点迷津
7 |9 Y% @+ c1 w( H2.希望这是个起点。能给比我还新的新人一些信息。
如果有打扰到各位坛友。或者不符合论坛的规则和要求。
请原谅
0 d/ t. s' x$ H: m, F  p因之前没有在论坛中进行交流（不知者不怪嘛！！ ）
) h8 L, r6 N& M
" `8 b" d) j! W$ X$ Hxyzabc  谢谢您的关注。还谢谢你加的好多好多的分。

wuyin2025

axcqy

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