余数 定义 在整数的除法中,只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时,就产生余数,所以余数问题在小学数学中非常重要。 取余数运算: a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c 如 7 除3 = 2 .。。。。。。1
3 P0 x; `# h/ s0 e: e$ n* B余数有如下一些重要性质(a,b,c均为自然数):
) ?" s. r% w: `; D5 U1 w7 s
1 d' |, ], Z" ? (1)余数小于除数。 & D }9 `! x/ i2 T% Q
1 [: l. o7 ^* j* f8 b) H (2)被除数=除数×商+余数; 6 w+ y3 _$ f& [- B8 Z4 y+ X
: x; y# X* x1 j3 q) B# W/ X 除数=(被除数-余数)÷商; 5 {. i2 E+ N/ Y6 a
9 ]' j9 \7 p4 c8 l% x 商=(被除数-余数)÷除数。 & p( g u5 n/ D, q: Q4 m0 i0 {
9 W/ B o5 E1 O" _" P
(3)如果a,b除以c的余数相同,那么a与b的差能被c整除。例如,17与11除以3的余数都是2,所以17-11能被3整除。
( b: }# Y; A* k9 R3 ]% X' c- O; Q" R* E* E7 S6 I
(4)a与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和(或这个和除以c的余数)。例如,23,16除以5的余数分别是3和1,所以(23+16)除以5的余数等于3+1=4。注意:当余数之和大于除数时,所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如,23,19除以5的余数分别是3和4,所以(23+19)除以5的余数等于(3+4)除以5的余数。 . E5 a9 F+ _( _1 t
1 N5 _! h; ~8 Z
(5)a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之积(或这个积除以c的余数)。例如,23,16除以5的余数分别是3和1,所以(23×16)除以5的余数等于3×1=3。注意:当余数之积大于除数时,所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如,23,19除以5的余数分别是3和4,所以(23×19)除以5的余数等于(3×4)除以5的余数。
5 L2 J6 p: c$ o7 a: Y3 w4 ^) _! ?# a; O
性质(4)(5)都可以推广到多个自然数的情形。
, Y) @3 v. _. n9 {0 X1 G8 H; n8 N1 u6 o: L! f6 N
而当被除数小于除数的情况下,商为零,余数就是被除数! " k. ?" m1 { N) M9 s
) d/ c2 B f7 x9 Q) Q- w0 I' P. g3 ^+ o& A, O
例题例1 5122除以一个两位数得到的余数是66,求这个两位数。 ' O8 _$ @3 f) U2 {6 d2 r
" [1 C: e+ B+ a/ q# t7 g
分析与解:由性质(2)知,除数×商=被除数-余数。
" \+ ?3 `! G. D6 k
) ^0 s: R- m) [2 {; \; V8 F 5122-66=5056, " h6 G9 t& ?3 _' G0 X' x
( A- y5 ?9 S- ? 5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数,得到 3 b" `% G o. _* E. s5 E6 r
- f/ X" D( l2 G' {; W
5056=64×79。 + u! H7 d; u, [( H6 R. X m$ [
$ a8 t- S9 i% p9 q! U3 g; J( Z* y& B9 L
由性质(1)知,除数应大于66,再由除数是两位数,得到除数在67~99之间,符合题意的5056的约数只有79,所以这个两位数是79。 ) z6 `5 d ^4 k! h. R
例2 被除数、除数、商与余数之和是2143,已知商是33,余数是52,求被除数和除数。 , E8 z+ d; _( a( i8 w
$ u& ^; r" j& S! B7 T3 P* p, B& } 解:因为被除数=除数×商+余数
* Q6 F; Y: M' t4 \' O. l
. f4 P( X* H8 ~' E( c2 C5 U =除数×33+52,
6 O& O6 d/ {, W8 \% y, S5 f9 T( L8 l# E' v( l% L0 \" T
被除数=2143-除数-商-余数
% K) P7 M. V, i& H) r4 o" U9 H
4 z7 o: e: [3 L: z8 }# }- D+ u5 [- h =2143-除数-33-52
4 g# c! p, e( m$ C) |8 H
+ l g* t; {/ M" T* O =2058-除数,
+ Y; q( Q4 v( T- G% g
4 N$ F- a* C9 u u 所以 除数×33+52=2058-除数,
3 M0 t* r+ ^; `2 _" S! J# [2 B/ H: E0 {) Q% W& A# [0 m. H
所以 除数=(2058-52)÷34=59,
- t* U2 C( Z/ z; n
, w3 P- i8 J9 s; M* t3 m 被除数=2058-59=1999。 6 B- \3 i8 T0 b
) w. q+ N4 q6 J 答:被除数是1999,除数是59。 % r6 b$ D( L' Y+ [1 f7 |: b
例3 甲、乙两数的和是1088,甲数除以乙数商11余32,求甲、乙两数。 1 ~0 Z" L: y: J8 u; [
, M, I/ |8 \ l# c6 p( J% u
解:因为 甲=乙×11+32,
8 J" W- V+ M! A2 B: `; z r) A( z6 s' f }9 x- J9 d3 y6 @
所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088, , {- O) Q) ?7 ^" ^
8 e2 m7 ]. j e$ P% G 所以 乙=(1088-32)÷12=88,
/ w0 y0 o3 G S* K `- `* t% l) K/ I" p! w z8 R2 V/ x' e0 k
甲=1088-乙=1000。 $ B# q/ Q E/ U# ]
0 Q% A; } ?! N( q9 |3 J 答:甲数是1000,乙数是88。
6 F2 B. I% Y% N4 U# w例4 有一个整数,用它去除70,110,160得到的三个余数之和是50。求这个数。
& @ J+ O( p5 g1 q- v5 Y% p$ F2 Y( J) n, s
分析与解:先由题目条件,求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2,所以三个余数中至少有一个大于16,推知除数大于16。由三个余数之和是50知,除数不应大于70,所以除数在17~70之间。
- i; R: _3 G& c- d+ x' a5 i# v; L, D! s9 _0 ] s
由题意知(7+110+160)-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数,得到290=2×5×29,290在17~70之间的约数有29和58。 * g0 N6 K9 T5 W5 i9 ]& q- ?
3 |6 r: ?9 M. d" q y" H: o' }1 M7 \
因为110÷58=1……52>50,所以58不合题意。所求整数是29。
?1 |- T1 P) k5 u ]' c0 } l, ~
4 H3 [" o+ D0 ]# K! b/ a 例5 求478×296×351除以17的余数。 8 A+ D0 f# b z9 b* p2 k
2 S9 O. r) U/ f) ^$ N( l# N 分析与解:先求出乘积再求余数,计算量较大。根据性质(5),可先分别计算出各因数除以17的余数,再求余数之积除以17的余数。 : { q6 _4 c% X! u
8 H3 c0 G; A% S) w
478,296,351除以17的余数分别为2,7和11,(2×7×11)÷17=9……1。
7 [. k+ i- W9 @
$ A0 c4 g$ ?6 q0 t: Q, W2 u 所求余数是1。 : e, L8 t7 x3 `- U& T" Z* [
" @& G0 x4 M% c; X- W8 A' x 例6 甲、乙两个代表团乘车去参观,每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后,甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完,甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片,那么拍完最后一张照片后,相机里的胶卷还可拍几张照片?
, Q4 e. `7 b, m2 Y- }
# b- j N9 b, W$ K 分析与解:甲代表团坐满若干辆车后余11人,说明甲代表团的人数(简称甲数)除以36余11;两代表团余下的人正好坐满一辆车,说明乙代表团余36-11=25(人),即乙代表团的人数(简称乙数)除以36余25;甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片,共要拍“甲数×乙数”张照片,因为每个胶卷拍36张,所以最后一个胶卷拍的张数,等于“甲数×乙数”除以36的余数。 1 I! r$ P9 p$ D- |7 z6 h9 }4 y
' J5 L; U. }1 }( U
因为甲数除以36余11,乙数除以36余25,所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。 + n P$ `) U& t& ]3 M& a2 @( i; d# {9 s
8 v9 g( m% ]: N* _' t* `; a7 o; r
(11×25)÷36=7……23,
8 W& p7 s% M" {% Q0 G/ C
u2 N* Q( U) b' c0 x 即最后一个胶卷拍了23张,还可拍36-23=13(张)。 ) e6 b! M B& a+ i8 L2 T
9 _# Y& P8 k9 |: v5 W4 C
由例6看出,将实际问题转化为我们熟悉的数学问题,有助于我们思考解题。 |