余数（转载）

hippe

余数 定义 在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。 取余数运算： a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c 如 7 除3 = 2 .。。。。。。1
3 P0 x; `# h/ s0 e: e$ n* B余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：
) ?" s. r% w: `; D5 U1 w7 s
1 d' |, ], Z" ?　　（1）余数小于除数。

1 [: l. o7 ^* j* f8 b) H　　（2）被除数=除数×商+余数；

: x; y# X* x1 j3 q) B# W/ X　　除数=（被除数-余数）÷商；

9 ]' j9 \7 p4 c8 l% x　　商=（被除数-余数）÷除数。

　　（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
( b: }# Y; A* k9 R3 ]% X' c- O
　　（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。

　　（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
5 L2 J6 p: c$ o7 a: Y
　　性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。
, Y) @3 v. _. n9 {
　　而当被除数小于除数的情况下，商为零，余数就是被除数！

) d/ c2 B  f7 x9 Q) Q- w
例题例1　　5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。

　　分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
" \+ ?3 `! G. D6 k
) ^0 s: R- m) [2 {; \; V8 F　　5122-66=5056，

( A- y5 ?9 S- ?　　5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到

　　5056=64×79。

　　由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
例2　　被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。

$ u& ^; r" j& S! B7 T3 P* p, B& }　　解：因为被除数=除数×商+余数
* Q6 F; Y: M' t4 \' O. l
. f4 P( X* H8 ~' E( c2 C5 U　　=除数×33+52，
6 O& O6 d/ {, W8 \% y, S5 f9 T
　　被除数=2143-除数-商-余数
% K) P7 M. V, i& H) r4 o" U9 H
4 z7 o: e: [3 L: z8 }# }- D+ u5 [- h　　=2143-除数-33-52
4 g# c! p, e( m$ C) |8 H
+ l  g* t; {/ M" T* O　　=2058-除数，
+ Y; q( Q4 v( T- G% g
4 N$ F- a* C9 u  u　　所以 除数×33+52=2058-除数，
3 M0 t* r+ ^; `2 _" S! J# [2 B/ H
　　所以 除数=（2058-52）÷34=59，
- t* U2 C( Z/ z; n
, w3 P- i8 J9 s; M* t3 m　　被除数=2058-59=1999。

) w. q+ N4 q6 J　　答：被除数是1999，除数是59。
例3　　甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

　　解：因为 甲=乙×11+32，
8 J" W- V+ M! A2 B: `; z  r) A
　　所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，

8 e2 m7 ]. j  e$ P% G　　所以 乙=（1088-32）÷12=88，
/ w0 y0 o3 G  S* K  `- `* t% l) K
　　甲=1088-乙=1000。

0 Q% A; }  ?! N( q9 |3 J　　答：甲数是1000，乙数是88。
6 F2 B. I% Y% N4 U# w例4　　有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。
& @  J+ O( p5 g1 q
　　分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。
- i; R: _3 G& c- d+ x' a
　　由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。

　　因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。
  ?1 |- T1 P) k5 u  ]' c0 }  l, ~
4 H3 [" o+ D0 ]# K! b/ a　　例5 求478×296×351除以17的余数。

2 S9 O. r) U/ f) ^$ N( l# N　　分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。

　　478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。
7 [. k+ i- W9 @
$ A0 c4 g$ ?6 q0 t: Q, W2 u　　所求余数是1。

" @& G0 x4 M% c; X- W8 A' x　　例6 甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？
, Q4 e. `7 b, m2 Y- }
# b- j  N9 b, W$ K　　分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。

　　因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。

　　（11×25）÷36=7……23，
8 W& p7 s% M" {% Q0 G/ C
  u2 N* Q( U) b' c0 x　　即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。

　　由例6看出，将实际问题转化为我们熟悉的数学问题，有助于我们思考解题。

xyzabc

新注册的人能够转这样的帖子是大师来点化大家的吗？

hippe

我就是新人啊。一直用的方法是八分线和等周期线。因为只能看到短线。看不到时间和级别
于是开始学习江恩。在网上搜索相关信息。就来到了论坛。从注册的那天到现在一直在看各位学长的帖子。发觉之前的理解。不是江恩或者和江恩有很大的偏差。
并受到论坛先辈的指点和启发。
觉得应该从基础来学习。然后加以扩展。
于是在网上寻找资料。
找到这些觉得好像很有用。
0 h; l! `9 v7 ^5 I" p发出来成贴
, k" @5 V' l9 C1.希望和大家共同学习。也希望已经通其理的人给指点迷津
2.希望这是个起点。能给比我还新的新人一些信息。
7 @+ R4 u" I! Z5 a# l% ^- M如果有打扰到各位坛友。或者不符合论坛的规则和要求。
/ v7 P9 V; F/ |% ]2 b请原谅
因之前没有在论坛中进行交流（不知者不怪嘛！！ ）

xyzabc  谢谢您的关注。还谢谢你加的好多好多的分。

wuyin2025

axcqy

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