余数（转载）

hippe

余数 定义 在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。 取余数运算： a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c 如 7 除3 = 2 .。。。。。。1
余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：

　　（1）余数小于除数。

$ L; k$ P, D7 c; q' V  ^　　（2）被除数=除数×商+余数；

9 Z- s, g+ V# A# E7 }9 x. ~　　除数=（被除数-余数）÷商；

- B& a, Z; }/ Z$ }$ P; |　　商=（被除数-余数）÷除数。
* c. U* J$ b' G2 R8 x2 p
/ s+ k) c  F4 B' G4 C. p　　（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。

0 Q+ T% D% z- ?' R+ A# J2 w　　（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。

　　（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
( I1 q0 ]  u/ w# c( K2 v
* `' P; i" Y% F　　性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。

　　而当被除数小于除数的情况下，商为零，余数就是被除数！

# z- ^! v5 X3 z0 |8 F, l( O* D0 ]& T
例题例1　　5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。

　　分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
/ u/ v$ w: l: d0 n/ o# o
' R+ d- U  s3 w; |; U　　5122-66=5056，

- x4 C+ s- w2 u" v1 f　　5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到

　　5056=64×79。

8 Q, F7 w2 C3 L7 O! u6 S! }* w8 Y& l　　由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
: }  _) l7 D0 J7 z- q例2　　被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
1 @1 D: X) \# p
　　解：因为被除数=除数×商+余数
3 M2 ^; `3 g$ Z; V2 j8 e: q6 b
$ K) Q4 N$ \3 K, c1 _4 E　　=除数×33+52，
/ o) B. @9 |0 A: y
　　被除数=2143-除数-商-余数

　　=2143-除数-33-52

　　=2058-除数，

: p- \& D8 @3 H9 j1 o9 J* E　　所以 除数×33+52=2058-除数，
9 X  k& p* C& f) Q. C" Z; R
　　所以 除数=（2058-52）÷34=59，
. }' @' W3 c  P9 ~( l$ B
　　被除数=2058-59=1999。

　　答：被除数是1999，除数是59。
+ G% G$ a3 X9 E/ d  X例3　　甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

* U3 X; o! I+ b# g3 h6 f* [5 w　　解：因为 甲=乙×11+32，
$ s. L1 h( e1 T; K
0 ?! j4 g! n# c4 j$ T* |　　所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，

　　所以 乙=（1088-32）÷12=88，
; a% B5 ^1 g3 t8 ~6 _0 r- ~
　　甲=1088-乙=1000。

" a* L6 [3 G  S4 E, l6 {# V　　答：甲数是1000，乙数是88。
* R( p& U0 V* C: j1 J例4　　有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。

) `4 t6 k+ [/ N  W0 U　　分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。
2 E: w; X! D8 b: g
　　由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。
$ v7 H( I) [: C" j/ X: [" _% J
! S9 y8 L' ~* B- B　　因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。

8 U# X9 T0 S# ~6 z　　例5 求478×296×351除以17的余数。
$ O2 U$ G! T9 Q( n
3 X) V) k% P; K; |　　分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。
) B) h4 e& P8 i/ g$ p0 \" d% {1 p9 U
' [6 `2 W$ l8 i5 u. M　　478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。

1 J3 S& `& {! f0 @! x& ?　　所求余数是1。

　　例6 甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？

# G# E0 B; \- O8 A! ^, ]& r% G# B　　分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。

　　因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。
7 C5 m/ C! S& s/ f& m+ u; X
" S& g" Y3 w' [4 f6 w　　（11×25）÷36=7……23，
0 M5 Y3 i+ t6 u, l: _5 b+ q
　　即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。
2 c9 u  q2 j. r/ f  J
* x+ P; a3 F. n/ X: D! f　　由例6看出，将实际问题转化为我们熟悉的数学问题，有助于我们思考解题。

xyzabc

新注册的人能够转这样的帖子是大师来点化大家的吗？

hippe

我就是新人啊。一直用的方法是八分线和等周期线。因为只能看到短线。看不到时间和级别
, n1 E% Z' M+ k% ~& c/ i于是开始学习江恩。在网上搜索相关信息。就来到了论坛。从注册的那天到现在一直在看各位学长的帖子。发觉之前的理解。不是江恩或者和江恩有很大的偏差。
( \6 M3 P$ k+ [) b9 X; `/ g" t并受到论坛先辈的指点和启发。
5 [7 @2 ^7 B1 t- ~. U! e觉得应该从基础来学习。然后加以扩展。
6 ^  p8 m0 |9 X) ?( U: `于是在网上寻找资料。
9 e) [. G, v& T2 K6 m0 V3 ]0 i找到这些觉得好像很有用。
/ p& X6 S6 g% u发出来成贴
" g. V5 `* t6 B4 L- B$ s. |" L1.希望和大家共同学习。也希望已经通其理的人给指点迷津
! i- v9 V& |  ]+ w  \9 ]& A2.希望这是个起点。能给比我还新的新人一些信息。
如果有打扰到各位坛友。或者不符合论坛的规则和要求。
: H0 n: C  s( o请原谅
% _9 G' H6 B; s5 G# z因之前没有在论坛中进行交流（不知者不怪嘛！！ ）
8 v; k( a& {. I+ W+ E" z
1 |' ?3 E$ f. ?+ J% p1 R8 {xyzabc  谢谢您的关注。还谢谢你加的好多好多的分。

wuyin2025

axcqy

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