余数（转载）

hippe

余数 定义 在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。 取余数运算： a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c 如 7 除3 = 2 .。。。。。。1
: Z7 _8 Y5 I* h余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：

　　（1）余数小于除数。

　　（2）被除数=除数×商+余数；

7 W( d& O3 A! {0 J! `　　除数=（被除数-余数）÷商；

/ j% h3 c8 f- {% k" u2 k$ J　　商=（被除数-余数）÷除数。

' b# ?! T+ M8 C5 r  Z; i) R2 L: F! x　　（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。

8 O" h! I5 |( ]" A　　（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
9 H. Q8 l2 `- D( l
8 E7 g0 G! _7 r  e$ m) b( i/ M　　（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
( ~: z: w% v" Y6 L
6 X% O/ T7 L& H　　性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。

( K  e, V! T5 f9 {6 u　　而当被除数小于除数的情况下，商为零，余数就是被除数！
2 ]+ v) i0 Q) p3 i: i6 u" ~) q
1 Z/ [7 r. ^' G& d
3 Q! `8 N( x# q# F( o% B: O) t, W% M例题例1　　5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
+ r* @' Z# X7 K: x+ p2 P
4 d- y( M& c& H3 X" X/ Y　　分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
& F9 j! s) M$ x1 N; z) X& D2 w( Q
  s3 F! J5 {4 D6 w* H　　5122-66=5056，
  _2 K8 v9 Y& {8 e
　　5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到
8 Q9 D) D" E5 n$ v0 P" I9 c
% _* O/ ?# P' m5 I　　5056=64×79。
1 P' @* x4 x# ]8 V
- j# g; S& o# o3 C$ I7 `) x- ?% A　　由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
例2　　被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。

7 S) S4 t( f& D9 ]　　解：因为被除数=除数×商+余数
7 a8 \' f2 Z  |1 G
- B! _. ^6 e) H; N) r( u　　=除数×33+52，
- Z1 N" y! T- F1 Q- K
  u. E$ K3 E* ^7 O! L. n　　被除数=2143-除数-商-余数

　　=2143-除数-33-52

　　=2058-除数，
$ v) t- s  |( u7 X
: b" U' W2 ^% h+ w2 q* N# _% J　　所以 除数×33+52=2058-除数，

　　所以 除数=（2058-52）÷34=59，

　　被除数=2058-59=1999。

　　答：被除数是1999，除数是59。
例3　　甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
3 N- v7 G1 y* L' [/ N
　　解：因为 甲=乙×11+32，

　　所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，

　　所以 乙=（1088-32）÷12=88，
2 m2 m: t1 t/ Y% K4 E6 N
8 ^8 T/ X# y; C9 v; c　　甲=1088-乙=1000。

　　答：甲数是1000，乙数是88。
例4　　有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。
; J* }" Q- h0 Y
　　分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。
6 x. u! ^8 g" K' ]
) Y) q: G$ z# h/ I, y　　由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。

8 I! u# F) H$ Z5 w* @5 u　　因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。

, K6 G6 ]6 Y9 |' p　　例5 求478×296×351除以17的余数。

　　分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。

　　478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。

/ t5 y. ]& |/ }- ]0 q4 m& {: Q　　所求余数是1。

% ~& C9 t7 |- _　　例6 甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？

　　分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。

5 ^0 d2 I' L" s( {- j　　因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。

# w0 }/ @/ O3 J' c　　（11×25）÷36=7……23，

( G/ `7 c8 e5 @1 S8 `' i　　即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。
+ t- }6 E+ J& u2 n6 W% ^6 r
　　由例6看出，将实际问题转化为我们熟悉的数学问题，有助于我们思考解题。

xyzabc

新注册的人能够转这样的帖子是大师来点化大家的吗？

hippe

我就是新人啊。一直用的方法是八分线和等周期线。因为只能看到短线。看不到时间和级别
于是开始学习江恩。在网上搜索相关信息。就来到了论坛。从注册的那天到现在一直在看各位学长的帖子。发觉之前的理解。不是江恩或者和江恩有很大的偏差。
6 I. s' u# P  b4 L并受到论坛先辈的指点和启发。
觉得应该从基础来学习。然后加以扩展。
; H4 e8 A% d4 ^( Y于是在网上寻找资料。
$ {& m: s6 n. t找到这些觉得好像很有用。
9 w/ N  `* j! X, x( H# U4 Q发出来成贴
1.希望和大家共同学习。也希望已经通其理的人给指点迷津
2.希望这是个起点。能给比我还新的新人一些信息。
如果有打扰到各位坛友。或者不符合论坛的规则和要求。
: y* J* {! g) u2 z1 p请原谅
因之前没有在论坛中进行交流（不知者不怪嘛！！ ）

xyzabc  谢谢您的关注。还谢谢你加的好多好多的分。

wuyin2025

axcqy

学习