余数（转载）

hippe

余数 定义 在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。 取余数运算： a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c 如 7 除3 = 2 .。。。。。。1
余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：
  F* o1 b% g/ G/ D8 G8 a4 a
0 U  R2 e& u. D$ i9 y9 F　　（1）余数小于除数。

　　（2）被除数=除数×商+余数；
. h0 {- e* [1 z; }9 [; a2 {
　　除数=（被除数-余数）÷商；
' t: X& ?  M1 R: d+ j# `* e2 ^, ^
; v; s3 b% G# a% p, ~　　商=（被除数-余数）÷除数。
  _% a5 }: ~4 s% f
; w, q5 d( A) a　　（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。

; j8 E6 ]  O( a/ _$ o, {　　（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
( X2 E  z( ^6 J/ l
9 t. `. d# |) c, T6 ~7 i　　（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。

+ [, s" @6 O& G! ?　　性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。
/ y; p7 V3 m8 J# `4 z3 X
% Q  G  S) d7 c  X8 h, e3 |+ e　　而当被除数小于除数的情况下，商为零，余数就是被除数！
! f0 e  U( i' `7 @$ J( h

. l' i" x! F7 ~7 D例题例1　　5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
* j& {: b% r1 I4 ^6 ?
　　分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
* t4 E- _. P6 s+ T' c; V# t
　　5122-66=5056，

& l; R) U! s  j0 o4 M+ x# c　　5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到

# x2 {, s- ~5 b9 \' z* G* t　　5056=64×79。

6 H7 |' e- t% }2 E0 c$ ]　　由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
, F$ c7 o! p) Z0 V4 Z例2　　被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。

4 d; j& V  P( ~3 i6 W6 x　　解：因为被除数=除数×商+余数
6 C8 {+ N# W% s6 p
* |* ?6 a" ^, v$ J5 l* B　　=除数×33+52，
9 v2 K) W' {% t  W$ t4 w
　　被除数=2143-除数-商-余数
- {+ s" }1 L8 k  R
　　=2143-除数-33-52
8 @' r  Z- v# y
5 ]- f2 E9 r: i/ D; P, E  m- K5 c　　=2058-除数，
5 V  q, B/ s# P3 j
0 P, M( C# f% {" w+ e% K　　所以 除数×33+52=2058-除数，
& O2 e) W! p5 u  m  n
5 V' ]& A3 ~! O$ ~　　所以 除数=（2058-52）÷34=59，

& A  I- o5 S( B; ~2 W$ T( R　　被除数=2058-59=1999。
! g% v2 H1 U+ a1 j- p
7 N2 |! o4 H2 N9 \　　答：被除数是1999，除数是59。
8 @" Z1 v  z7 Q. P2 F例3　　甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

　　解：因为 甲=乙×11+32，
  h( l/ V4 Y" @: i
　　所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，
% O, w" F: h# t7 ]4 R/ r0 a, w
　　所以 乙=（1088-32）÷12=88，

! @" T8 N) \. ?　　甲=1088-乙=1000。
$ s3 k5 E7 ]6 T' s# E- n* F
6 ]' x" o9 g$ {& X  V　　答：甲数是1000，乙数是88。
例4　　有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。

　　分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。

　　由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。
7 Q5 v7 e* y; J6 M! j" u/ d
% |0 k/ G, D# V. \! H' O) K　　因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。

& A/ v7 N( ^( H7 Y1 l) S6 h　　例5 求478×296×351除以17的余数。
3 @8 F, F" ^- V* g5 z& k! L
　　分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。

　　478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。

) Q$ ~! e5 @7 {　　所求余数是1。

　　例6 甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？
, ?( I4 {3 x! J9 G! r
* M& N  ]  t- s. `, Z: S# X% C　　分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。
3 m; ?) h/ g+ _& P* o4 R/ d
  B! P3 B1 S$ [4 o4 u　　因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。

9 f* \9 y' J6 q2 t! X4 V% N　　（11×25）÷36=7……23，

1 Z4 L8 F. `) |6 ~9 ]  O9 f* I　　即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。

0 H0 a7 ?+ K& w# c' X　　由例6看出，将实际问题转化为我们熟悉的数学问题，有助于我们思考解题。

xyzabc

新注册的人能够转这样的帖子是大师来点化大家的吗？

hippe

我就是新人啊。一直用的方法是八分线和等周期线。因为只能看到短线。看不到时间和级别
8 Z: o6 z& l' @$ Z5 r/ ^  g' t$ [于是开始学习江恩。在网上搜索相关信息。就来到了论坛。从注册的那天到现在一直在看各位学长的帖子。发觉之前的理解。不是江恩或者和江恩有很大的偏差。
5 Z8 r( a6 c: D' V; s) b7 h并受到论坛先辈的指点和启发。
觉得应该从基础来学习。然后加以扩展。
: B  ?9 C  S: D于是在网上寻找资料。
4 M5 D! V2 {/ N+ H. y. s# q* `找到这些觉得好像很有用。
发出来成贴
% R- D. R% }) y1.希望和大家共同学习。也希望已经通其理的人给指点迷津
6 }. i; ]& T  b: i" d& ^2.希望这是个起点。能给比我还新的新人一些信息。
如果有打扰到各位坛友。或者不符合论坛的规则和要求。
, p" F! D# v( U9 ~$ ~请原谅
因之前没有在论坛中进行交流（不知者不怪嘛！！ ）

xyzabc  谢谢您的关注。还谢谢你加的好多好多的分。

wuyin2025

axcqy

学习