余数（转载）

hippe

余数 定义 在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。 取余数运算： a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c 如 7 除3 = 2 .。。。。。。1
余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：
# a+ Z" T* R. }
) {$ L. w- g' X9 j2 Q　　（1）余数小于除数。
/ V: T/ H5 L% y* w( Q+ M4 h
　　（2）被除数=除数×商+余数；
! w' P3 @% W3 {  R2 F' \  z
　　除数=（被除数-余数）÷商；

" O+ z/ o' H* [. K# {( M　　商=（被除数-余数）÷除数。
+ B+ [, u: a4 |5 M# Y+ a/ ^( ]6 I+ \/ g
( \4 B  w0 Q2 q. H- ~　　（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。

; `8 R3 e( T3 Z! @9 U1 R1 M$ T　　（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
" D6 I- j: T  x  G0 l9 t. u
5 R! N/ ^7 A) w$ _3 V　　（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
% k: s2 c/ ?; \4 c
　　性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。
/ {& k& {7 f, y' \, e* q" S" z
　　而当被除数小于除数的情况下，商为零，余数就是被除数！

" J1 \) w, I. T+ P
  {2 K: v3 {- D  a" V7 x* M例题例1　　5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。

& b+ q0 r- [* k: _" ]' j, m　　分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。

　　5122-66=5056，

1 a5 Z$ A# t6 a  q( |' J- g- d　　5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到

　　5056=64×79。

　　由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
  \( y2 E" w$ \+ `! Y; Q( K例2　　被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。

　　解：因为被除数=除数×商+余数

　　=除数×33+52，

$ Z% W  J# N8 s$ D" Y+ t　　被除数=2143-除数-商-余数

　　=2143-除数-33-52
- S, u$ `: @2 t5 m# E: n
　　=2058-除数，

2 X) T0 r8 G; s$ K1 i　　所以 除数×33+52=2058-除数，
( [8 c/ U/ y  a  \5 P4 Z
　　所以 除数=（2058-52）÷34=59，

* ?1 E, ]6 U9 a# D2 R0 z  N　　被除数=2058-59=1999。
) x# o1 G& ?/ L/ h% T: }
　　答：被除数是1999，除数是59。
2 p; i! ?, h  A' z例3　　甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
/ l* ^$ z* G6 @9 D' p
　　解：因为 甲=乙×11+32，

　　所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，
4 x6 J0 C4 @  [" {, {
& g# x, R3 W2 j7 Y5 U1 w; R　　所以 乙=（1088-32）÷12=88，

) Z# d% R1 N. ~+ x8 F4 B  d. }# U' ^" M　　甲=1088-乙=1000。

8 B% {& n3 N: _　　答：甲数是1000，乙数是88。
5 Y8 e) v6 V2 v+ w例4　　有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。

& A. K) R8 G3 Q1 j　　分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。
7 |5 J; Y- f, a  k+ d$ E
　　由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。

% Z# j2 N9 X4 o( N　　因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。
. [4 |" q5 U: W! I0 L
( E" u5 \/ o9 K; n) |6 O$ m　　例5 求478×296×351除以17的余数。

, K3 f4 W5 p9 K　　分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。
% J4 k6 g4 M7 H  m' m: s
! T8 n! h' g# s　　478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。

1 l2 @9 Q5 F5 s0 P/ C( ]　　所求余数是1。
+ M" h. \/ a% P
0 _' s' Y( [$ c, d$ f$ D　　例6 甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？

　　分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。
7 N- _( ?: J0 R
　　因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。
# C& x. T: G' f- T
　　（11×25）÷36=7……23，
$ p: T! i) ?" i, d
. i& Q1 H, s3 f/ Z& N, V* s1 V( P　　即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。

　　由例6看出，将实际问题转化为我们熟悉的数学问题，有助于我们思考解题。

xyzabc

新注册的人能够转这样的帖子是大师来点化大家的吗？

hippe

我就是新人啊。一直用的方法是八分线和等周期线。因为只能看到短线。看不到时间和级别
于是开始学习江恩。在网上搜索相关信息。就来到了论坛。从注册的那天到现在一直在看各位学长的帖子。发觉之前的理解。不是江恩或者和江恩有很大的偏差。
# T" D0 u0 `2 r3 T0 G: Z6 j并受到论坛先辈的指点和启发。
: ]1 ?1 @7 T# n7 z$ J. ]4 ~觉得应该从基础来学习。然后加以扩展。
3 k5 O) Y1 c: x7 v于是在网上寻找资料。
找到这些觉得好像很有用。
8 w. R3 ]( x! [% ?" i发出来成贴
1.希望和大家共同学习。也希望已经通其理的人给指点迷津
: e3 ?  B! P9 u/ K4 a- K9 u  Z5 K  b2.希望这是个起点。能给比我还新的新人一些信息。
7 ]4 ~" s% ]4 p+ b2 I+ }如果有打扰到各位坛友。或者不符合论坛的规则和要求。
) S0 ?3 \( z+ c3 i) N' U5 g9 J& ^请原谅
因之前没有在论坛中进行交流（不知者不怪嘛！！ ）

xyzabc  谢谢您的关注。还谢谢你加的好多好多的分。

wuyin2025

axcqy

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