余数（转载）

hippe

余数 定义 在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。 取余数运算： a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c 如 7 除3 = 2 .。。。。。。1
余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：
* c  Y0 n1 d% `6 @* q9 v7 }* r
　　（1）余数小于除数。
$ G3 ]3 e* M, |9 T
8 c: |3 [, G. H# R, l! q7 T　　（2）被除数=除数×商+余数；
% h+ [5 m2 n  _8 F& l5 z( J" A
4 o, n2 S1 T! D' ~　　除数=（被除数-余数）÷商；
; k, `% @' I6 c- f0 k% q
3 L! R, Y2 W. }  j2 S　　商=（被除数-余数）÷除数。

: r( R: {# {8 H6 z; i- O1 G　　（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
% I0 E( i, @# ^4 v/ e
　　（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
7 S; F6 R6 x) x; l, v
; Z& P; n4 g; g- p6 w5 n3 P* s　　（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
9 Q* b0 N  v4 x9 o
　　性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。

　　而当被除数小于除数的情况下，商为零，余数就是被除数！

: h' H! z1 ?" l: N: Q
2 t& J2 W% E: H/ O例题例1　　5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
9 U% V, W8 H0 ]+ a! G8 e$ R
　　分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
( s6 z  V7 V, {: P8 a: M
4 d1 @) U0 C% F+ s0 ^( N% W7 H　　5122-66=5056，
4 M& f4 ?$ ]; H4 q) {" ?# I
　　5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到
- v% O+ G( @  N# C( ~
9 z; O8 A& l" H; {4 Z9 h　　5056=64×79。

　　由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
. I* s, s* ?7 G1 c6 Q: B例2　　被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
& j* N3 h2 _' T  R; V& q1 _
8 h5 n1 ]- o( h' X　　解：因为被除数=除数×商+余数
2 x! M  f' P. |" Q$ T7 ?3 b& U3 {( a
# Y4 J& V% N; b0 x　　=除数×33+52，
+ t3 f( l5 ^6 C, t8 @2 D
: [* b1 m5 @9 }& T2 V9 q　　被除数=2143-除数-商-余数
; v( e8 m5 w+ S+ r/ D/ }
　　=2143-除数-33-52

& k: R$ r1 }( d& Z2 a7 [: Y, d　　=2058-除数，
& _- c4 v3 D. I1 E" _
　　所以 除数×33+52=2058-除数，
( ?  u) ~  Q9 T8 i
/ i* I3 _2 L9 ]　　所以 除数=（2058-52）÷34=59，
* T" n+ b4 I0 j
, P( ]6 z' L) G/ w5 h　　被除数=2058-59=1999。

　　答：被除数是1999，除数是59。
例3　　甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

　　解：因为 甲=乙×11+32，

$ ^, o4 {4 W' Q- ]- _8 t& N+ `　　所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，
% h2 Q% w2 d3 N. y7 X  V) u
: N# a9 [  L( P, h! `　　所以 乙=（1088-32）÷12=88，
$ n: J. o" U% a, G& e6 E- w( s: b
* z8 k0 X7 L- J7 U: s　　甲=1088-乙=1000。
1 m& I+ y5 I# s7 ~. j1 N
. n3 g" `* M- v- I" v' {; N　　答：甲数是1000，乙数是88。
7 F5 ^- a5 p8 Y/ o0 n: n例4　　有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。

/ ^! F& V0 E; l, M/ x7 _　　分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。

　　由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。
. G) K  o" ^% g2 _9 n& ?/ I& c+ v
　　因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。

5 n" G  M; g1 D( x　　例5 求478×296×351除以17的余数。

　　分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。
& N7 X. h! M" S: l
　　478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。
. ^# s; u2 _$ G/ q- i
; g7 I$ C4 j, }9 a　　所求余数是1。

! \- ]) ?' ?, }　　例6 甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？
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0 D1 M0 N% l8 M) B/ F8 ?　　分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。
5 E: }7 s+ W1 K0 A8 o  p
: V+ }. L7 a) W# R' W　　因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。
  r7 b+ B8 w' V. D% D
6 Q5 q9 `- E3 q, D5 P　　（11×25）÷36=7……23，

　　即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。

' [$ F4 C( U) v2 X3 C　　由例6看出，将实际问题转化为我们熟悉的数学问题，有助于我们思考解题。

xyzabc

新注册的人能够转这样的帖子是大师来点化大家的吗？

hippe

我就是新人啊。一直用的方法是八分线和等周期线。因为只能看到短线。看不到时间和级别
于是开始学习江恩。在网上搜索相关信息。就来到了论坛。从注册的那天到现在一直在看各位学长的帖子。发觉之前的理解。不是江恩或者和江恩有很大的偏差。
并受到论坛先辈的指点和启发。
觉得应该从基础来学习。然后加以扩展。
8 z, E- |( v: O! ^: l  L于是在网上寻找资料。
  V* \6 B# r, o& e! B找到这些觉得好像很有用。
. {! }$ t; e' ~% _) ^; @6 b发出来成贴
1.希望和大家共同学习。也希望已经通其理的人给指点迷津
2.希望这是个起点。能给比我还新的新人一些信息。
如果有打扰到各位坛友。或者不符合论坛的规则和要求。
请原谅
& D5 O6 F( F2 M* _. {因之前没有在论坛中进行交流（不知者不怪嘛！！ ）
& f" Q/ \, |( i$ y- q1 z" k% ~
. j/ s+ q8 ]8 i7 c3 M: x: M  g: lxyzabc  谢谢您的关注。还谢谢你加的好多好多的分。

wuyin2025

axcqy

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