余数（转载）

hippe

余数 定义 在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。 取余数运算： a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c 如 7 除3 = 2 .。。。。。。1
余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：
0 O1 w' i0 @- a4 R; J
　　（1）余数小于除数。

) X8 A3 F% d. I& U; y" t" b# h　　（2）被除数=除数×商+余数；

　　除数=（被除数-余数）÷商；
" J/ e8 D- I/ m4 ?3 F+ @+ |" I; J
4 W# M" m. |) i7 ]　　商=（被除数-余数）÷除数。

! c7 }( ?/ I$ p' Y# |* U( l4 l　　（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。

　　（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
; H+ [- N( l5 p: Y
　　（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
3 U5 x0 i1 n2 _4 c4 _# V6 D$ ^
　　性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。

　　而当被除数小于除数的情况下，商为零，余数就是被除数！
( T- Z- Y* B, c8 v
1 X- a  _1 A6 e7 I6 ^
/ Y% i" v% C6 O5 A/ i* t例题例1　　5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
0 j. G0 h" p/ D5 S& `3 D* {
, w, @9 l# I4 d　　分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。

8 J/ b0 y( [* F! f　　5122-66=5056，
1 x& D2 ]# `& I4 F2 ^& R% L% |
　　5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到

　　5056=64×79。
; w* {" a5 R& H4 d6 g6 ~! L
　　由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
& x4 x6 x, Q: ^$ _4 B例2　　被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。

# n0 e1 @1 p& z& m- z& ~　　解：因为被除数=除数×商+余数
& h3 ~. F1 K- a5 M5 x8 Z/ V
3 X2 F1 K/ r- d2 q: t& ]4 t　　=除数×33+52，

　　被除数=2143-除数-商-余数
7 {* O' {3 ?: o" ]) l/ X. y
! N& u2 [7 E3 m2 X2 D$ m　　=2143-除数-33-52
% J8 M3 h4 S/ E# `! X
　　=2058-除数，
  G# S% r' k# C: @, _% R8 }( V
( ~- o; K- i0 o2 m　　所以 除数×33+52=2058-除数，
6 X0 f% Z, r( _0 r$ j* q0 E
/ V% K7 o: M* M　　所以 除数=（2058-52）÷34=59，

　　被除数=2058-59=1999。
/ I' J3 [( n, x) e- Y3 e
　　答：被除数是1999，除数是59。
! g7 N# _' j# \7 P5 K: R" a9 i  u例3　　甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
+ q" ?8 M  ]& n5 K1 {# `2 F
$ J, t2 j3 y6 G3 q　　解：因为 甲=乙×11+32，
5 P0 N( L0 Q' {4 D
　　所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，

　　所以 乙=（1088-32）÷12=88，
3 f) z/ Z* N0 k6 }
) u$ j/ j2 Y. h* R% N: t　　甲=1088-乙=1000。
: p: L! k/ o( y: J2 u" \
; I, e1 {4 v: }, i( I　　答：甲数是1000，乙数是88。
4 b/ @( S$ H9 p2 |+ m9 {" C# R例4　　有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。

　　分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。
" t5 K' p6 |, i/ r$ Z7 v; U
　　由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。
0 \# E* r" P5 A2 M2 K4 A
" N: ^5 I, k$ S/ |　　因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。

　　例5 求478×296×351除以17的余数。
( s! J! V8 w2 j6 E
　　分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。

8 Y5 Y4 Q8 k5 F6 x　　478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。

　　所求余数是1。
) m$ i6 X9 K" ~: [  F
　　例6 甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？

　　分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。

# W) Q) G; x4 Y. ^- W) z　　因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。

　　（11×25）÷36=7……23，

6 ?+ R& M7 H- \: I* a3 z; ]! D7 }　　即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。

# D3 z" L/ z% y! n0 I　　由例6看出，将实际问题转化为我们熟悉的数学问题，有助于我们思考解题。

xyzabc

新注册的人能够转这样的帖子是大师来点化大家的吗？

hippe

我就是新人啊。一直用的方法是八分线和等周期线。因为只能看到短线。看不到时间和级别
$ }; m* a  S4 M  q) f于是开始学习江恩。在网上搜索相关信息。就来到了论坛。从注册的那天到现在一直在看各位学长的帖子。发觉之前的理解。不是江恩或者和江恩有很大的偏差。
, B6 {3 l- _7 g% c  \并受到论坛先辈的指点和启发。
觉得应该从基础来学习。然后加以扩展。
! F+ R/ J* c6 l* E2 H于是在网上寻找资料。
2 f5 }9 K. R( z4 _0 g( u7 [( M找到这些觉得好像很有用。
/ s; ]$ s: r6 j: n: K2 Z% q发出来成贴
2 |; N# {1 @9 l: f! \1.希望和大家共同学习。也希望已经通其理的人给指点迷津
2.希望这是个起点。能给比我还新的新人一些信息。
1 C* ^% u( x% Q( `! m7 }如果有打扰到各位坛友。或者不符合论坛的规则和要求。
) U3 g8 c6 C9 W; l# ]3 n请原谅
因之前没有在论坛中进行交流（不知者不怪嘛！！ ）

, P" x" @) O6 [8 ^0 Sxyzabc  谢谢您的关注。还谢谢你加的好多好多的分。

wuyin2025

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