余数（转载）

hippe

余数 定义 在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。 取余数运算： a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c 如 7 除3 = 2 .。。。。。。1
4 W' n" o, l2 D& ]" _余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：
- Q' Y; Y4 v7 }5 y4 @& [5 X, X
9 H7 E5 L6 N  W7 q' K* |　　（1）余数小于除数。

7 M9 D  J% P$ P2 `( x　　（2）被除数=除数×商+余数；

$ S+ v8 ^  k4 Y　　除数=（被除数-余数）÷商；
, {5 S8 ]6 Y- c3 t
: e! n0 Y* m% ]. ^* j+ _# {　　商=（被除数-余数）÷除数。
+ W9 v5 g) ~* s0 l4 N1 ^
　　（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
' G- u0 S+ @, ?' l3 t4 `' S
　　（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。

　　（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
( l# W$ {  c5 d* a/ s) k
% r: ?3 f5 j, S0 ~! [. Q　　性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。
5 v3 Y( g: s* e% a! V+ X
　　而当被除数小于除数的情况下，商为零，余数就是被除数！

" j/ ~# v! Q. A, |: ~
例题例1　　5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
+ t  P) E, |) D3 G! U3 o, R) m7 u
" H  L! ]) v; q. u　　分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
" W6 T9 a0 A) {2 k# K% [, V
　　5122-66=5056，
% [" Z! p. m* r. ^+ k) c# m* |
　　5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到
9 |# j4 s+ j' s( F8 n" y
) P; z) q% S# d2 @* R3 M; U  O7 A　　5056=64×79。
4 |' V9 @% D8 J+ U, O6 c6 y8 U" M
　　由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
0 R+ R: T& R* F& v1 U% o例2　　被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
+ e9 u+ ?6 ]0 S6 ]! \1 f
　　解：因为被除数=除数×商+余数
. X% i+ x( O2 r, f0 b
　　=除数×33+52，

' M! i- A  [( A+ U　　被除数=2143-除数-商-余数

$ S  Z( N. J# _. p. r　　=2143-除数-33-52

: g( @# y; M/ u7 S5 W& q　　=2058-除数，

　　所以 除数×33+52=2058-除数，
8 i+ I  z3 o2 \! s: m" e
3 \) U/ ]6 g' ?9 X# B; g/ G: u　　所以 除数=（2058-52）÷34=59，
9 E5 F; g; R, P8 m# L6 O
　　被除数=2058-59=1999。

5 S$ \6 d$ R& B1 F6 \( C  \　　答：被除数是1999，除数是59。
例3　　甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
$ @" r2 s* U4 ?3 k0 Y
　　解：因为 甲=乙×11+32，

  D7 R4 V+ K+ ^　　所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，
6 C# M7 u: ~4 }- A; ^
- k9 m# w* I8 f9 n9 C　　所以 乙=（1088-32）÷12=88，

# Y! X8 e5 q. S  [% n8 E　　甲=1088-乙=1000。
, R, o1 k: I! T6 d4 V
; U9 }/ Z/ n% f  w% B) O　　答：甲数是1000，乙数是88。
例4　　有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。
. {& M9 X  m6 K! H
　　分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。
7 \, J3 R- _$ d! T5 G2 h
　　由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。
4 \+ A& p8 K/ |; v+ \' `+ _
+ O9 R# d4 k8 I8 c　　因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。

　　例5 求478×296×351除以17的余数。

; Y% {* L  |' B　　分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。

　　478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。

　　所求余数是1。

　　例6 甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？
' ^8 _$ Z' V- b# W
　　分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。

　　因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。

  I3 \$ i! w; l/ ^　　（11×25）÷36=7……23，

5 I3 S2 T" I" @3 y　　即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。

0 L9 P, Y+ P% }2 \5 V7 F　　由例6看出，将实际问题转化为我们熟悉的数学问题，有助于我们思考解题。

xyzabc

新注册的人能够转这样的帖子是大师来点化大家的吗？

hippe

我就是新人啊。一直用的方法是八分线和等周期线。因为只能看到短线。看不到时间和级别
于是开始学习江恩。在网上搜索相关信息。就来到了论坛。从注册的那天到现在一直在看各位学长的帖子。发觉之前的理解。不是江恩或者和江恩有很大的偏差。
并受到论坛先辈的指点和启发。
觉得应该从基础来学习。然后加以扩展。
0 K$ x" V$ V. `. M8 Y于是在网上寻找资料。
8 }% S1 T7 |! L2 h/ V# D找到这些觉得好像很有用。
发出来成贴
: U2 \6 ~( F( L1 a1.希望和大家共同学习。也希望已经通其理的人给指点迷津
2 c4 ?, k! g$ B& {; \7 ^2.希望这是个起点。能给比我还新的新人一些信息。
如果有打扰到各位坛友。或者不符合论坛的规则和要求。
& F4 U+ K& O6 r* @- U, \; g请原谅
因之前没有在论坛中进行交流（不知者不怪嘛！！ ）

xyzabc  谢谢您的关注。还谢谢你加的好多好多的分。

wuyin2025

axcqy

学习