余数（转载）

hippe

余数 定义 在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。 取余数运算： a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c 如 7 除3 = 2 .。。。。。。1
余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：

# I2 B- f; n7 v: A% n* {　　（1）余数小于除数。

　　（2）被除数=除数×商+余数；

　　除数=（被除数-余数）÷商；
* e% D; {$ I$ _- R  ?# k! }& s' S
; T' [- F. t+ j" R& T9 T　　商=（被除数-余数）÷除数。

　　（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。

2 I( `$ w* ~% T7 c　　（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
8 {' y7 Z( J) _$ d/ z
" N; C+ z  y2 a. a　　（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
. Q& T) X' V: Y3 w
　　性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。
; M3 Q( ?  {% C2 K$ R
, ~/ t! v& l% R1 h9 @　　而当被除数小于除数的情况下，商为零，余数就是被除数！


例题例1　　5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。

2 U7 p6 _! @: {0 P4 l' ~% v　　分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。

0 ~2 j! N  e" y　　5122-66=5056，

' d, b' ]9 B: O4 v　　5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到

　　5056=64×79。
) g' t' V5 _% x
　　由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
/ p  E8 O0 x9 L: f/ J8 z例2　　被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。

8 P/ m6 W% N: o, \# P/ x# v1 c; R　　解：因为被除数=除数×商+余数
: s. `, o3 c; h5 q, ^4 o% C& a" M
, u( P* v1 |6 R3 S4 {　　=除数×33+52，
; `2 F4 {& b7 l# u2 `* ^+ @5 p
　　被除数=2143-除数-商-余数
# ^* y# Q6 b1 ?
1 Y6 O& j) n6 c/ n! b9 x　　=2143-除数-33-52
# U, m- b$ t  e; H0 s
& w2 u" J# j- D' i9 G: L7 ]  H9 D2 X9 w　　=2058-除数，
+ U% }( v+ h; F. M/ r0 c: H
　　所以 除数×33+52=2058-除数，

- K: l; H6 w2 r/ S3 G　　所以 除数=（2058-52）÷34=59，
9 V7 ~6 C+ i. b* L
& `  `3 b) w/ Q0 z1 h- p　　被除数=2058-59=1999。
) p' T' ~% ^  ~! a, q& v
　　答：被除数是1999，除数是59。
例3　　甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

　　解：因为 甲=乙×11+32，

( h7 y$ Y% w8 M* s6 d: r　　所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，

　　所以 乙=（1088-32）÷12=88，

　　甲=1088-乙=1000。

　　答：甲数是1000，乙数是88。
例4　　有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。
4 N/ i  m% n0 q
$ w0 G8 F% X! a: m! j' n+ Z　　分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。
! [. b: {8 Y( R% Z1 s9 U0 d0 @
　　由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。

　　因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。

　　例5 求478×296×351除以17的余数。
8 d" l/ K/ N+ Z, r& u
. h9 M" u! C7 e　　分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。
, m# W$ h9 i9 O9 ]' {
4 K( z9 W, L1 ?0 R4 \6 u4 t+ `　　478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。
) k- Q+ _2 ]  z* `- ]/ ]! Z$ p
0 B# j: h0 j, H" f9 [- L1 o+ H　　所求余数是1。
; t! f* Z7 [# ]0 n  L4 L
9 x" L0 }7 M2 ^: n" k9 ^　　例6 甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？

　　分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。

0 c+ M) |. A/ J　　因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。
3 U4 z6 v& Y  X6 s, O$ e& q! X; v
, _+ p+ X. a* q　　（11×25）÷36=7……23，
% ^! u4 @6 Y3 U& L/ @9 c
! F2 i& k, G* ^  C, r  H- Q6 N. l　　即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。

　　由例6看出，将实际问题转化为我们熟悉的数学问题，有助于我们思考解题。

xyzabc

新注册的人能够转这样的帖子是大师来点化大家的吗？

hippe

我就是新人啊。一直用的方法是八分线和等周期线。因为只能看到短线。看不到时间和级别
, U! a! g& f9 M$ |) q1 m- {于是开始学习江恩。在网上搜索相关信息。就来到了论坛。从注册的那天到现在一直在看各位学长的帖子。发觉之前的理解。不是江恩或者和江恩有很大的偏差。
1 p! a7 c. D( ]! R1 }" s并受到论坛先辈的指点和启发。
, F7 v- S# u4 g3 l觉得应该从基础来学习。然后加以扩展。
4 h1 J7 T/ C- V9 o# n, v# |8 i于是在网上寻找资料。
5 r! S8 j& n2 b8 G1 T' @, ]- _找到这些觉得好像很有用。
发出来成贴
1.希望和大家共同学习。也希望已经通其理的人给指点迷津
- P% U1 @  b2 L3 o: k5 o, [; z2.希望这是个起点。能给比我还新的新人一些信息。
如果有打扰到各位坛友。或者不符合论坛的规则和要求。
4 [+ n1 r! z) ^, X: ~5 [% _! L请原谅
因之前没有在论坛中进行交流（不知者不怪嘛！！ ）

5 e+ ]8 S( S6 s$ q4 k, pxyzabc  谢谢您的关注。还谢谢你加的好多好多的分。

wuyin2025

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