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余数(转载)

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1#
发表于 2010-11-29 16:51:51 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
余数 定义 在整数的除法中,只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时,就产生余数,所以余数问题在小学数学中非常重要。 取余数运算: a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c 如 7 除3 = 2 .。。。。。。1. \' H# {0 _( K7 P  q$ }1 x7 k
余数有如下一些重要性质(a,b,c均为自然数): , U: X- }3 k; a

# I2 B- f; n7 v: A% n* {  (1)余数小于除数。 7 [9 W" B- a1 J4 i
" S0 @% m0 k$ p% ]6 ?$ t( m6 C
  (2)被除数=除数×商+余数; 4 `1 r  L* o) g$ t- M  e6 @
* f! L0 U  c$ s3 }+ N& b: I
  除数=(被除数-余数)÷商;
* e% D; {$ I$ _- R  ?# k! }& s' S
; T' [- F. t+ j" R& T9 T  商=(被除数-余数)÷除数。 # `( U6 `6 ]5 B6 b
1 @  b, i$ B3 Z" B$ u
  (3)如果a,b除以c的余数相同,那么a与b的差能被c整除。例如,17与11除以3的余数都是2,所以17-11能被3整除。 : F: W) F  F& m6 v& d" ~0 G

2 I( `$ w* ~% T7 c  (4)a与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和(或这个和除以c的余数)。例如,23,16除以5的余数分别是3和1,所以(23+16)除以5的余数等于3+1=4。注意:当余数之和大于除数时,所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如,23,19除以5的余数分别是3和4,所以(23+19)除以5的余数等于(3+4)除以5的余数。
8 {' y7 Z( J) _$ d/ z
" N; C+ z  y2 a. a  (5)a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之积(或这个积除以c的余数)。例如,23,16除以5的余数分别是3和1,所以(23×16)除以5的余数等于3×1=3。注意:当余数之积大于除数时,所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如,23,19除以5的余数分别是3和4,所以(23×19)除以5的余数等于(3×4)除以5的余数。
. Q& T) X' V: Y3 w+ A9 E3 C8 @0 ?' _1 W% H
  性质(4)(5)都可以推广到多个自然数的情形。
; M3 Q( ?  {% C2 K$ R
, ~/ t! v& l% R1 h9 @  而当被除数小于除数的情况下,商为零,余数就是被除数! * I! K0 q: _0 Y5 t5 b7 A
& m1 D6 s- J* x7 i5 C8 y' Y! e
7 `5 B% ~0 P! Z1 x
例题例1  5122除以一个两位数得到的余数是66,求这个两位数。 0 t8 @' ~+ l. J$ k6 ]  X' r

2 U7 p6 _! @: {0 P4 l' ~% v  分析与解:由性质(2)知,除数×商=被除数-余数。 , y; x5 {/ X9 `# ^/ ]' h

0 ~2 j! N  e" y  5122-66=5056, 5 S# v- r, t( l

' d, b' ]9 B: O4 v  5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数,得到   J! M3 S/ Z7 [. ~  w
) x. A7 n% g8 j) |* d" B
  5056=64×79。
) g' t' V5 _% x6 S" a& }  I; A
  由性质(1)知,除数应大于66,再由除数是两位数,得到除数在67~99之间,符合题意的5056的约数只有79,所以这个两位数是79。
/ p  E8 O0 x9 L: f/ J8 z例2  被除数、除数、商与余数之和是2143,已知商是33,余数是52,求被除数和除数。 ' a# @& |1 T% i& {3 q1 _

8 P/ m6 W% N: o, \# P/ x# v1 c; R  解:因为被除数=除数×商+余数
: s. `, o3 c; h5 q, ^4 o% C& a" M
, u( P* v1 |6 R3 S4 {  =除数×33+52,
; `2 F4 {& b7 l# u2 `* ^+ @5 p8 J' Z0 O4 g6 `/ R9 X
  被除数=2143-除数-商-余数
# ^* y# Q6 b1 ?
1 Y6 O& j) n6 c/ n! b9 x  =2143-除数-33-52
# U, m- b$ t  e; H0 s
& w2 u" J# j- D' i9 G: L7 ]  H9 D2 X9 w  =2058-除数,
+ U% }( v+ h; F. M/ r0 c: H- q# U8 ?9 O3 K5 L# C! S$ K
  所以 除数×33+52=2058-除数, $ l" J" ~' H4 h4 D/ r1 H

- K: l; H6 w2 r/ S3 G  所以 除数=(2058-52)÷34=59,
9 V7 ~6 C+ i. b* L
& `  `3 b) w/ Q0 z1 h- p  被除数=2058-59=1999。
) p' T' ~% ^  ~! a, q& v+ o) h2 W1 o2 ^& b$ T$ Z/ e9 ~+ \
  答:被除数是1999,除数是59。 # m* i+ [" F9 \0 q' ]  u
例3  甲、乙两数的和是1088,甲数除以乙数商11余32,求甲、乙两数。 - o& X$ ~  h: ]9 i% L% w6 H  ]' I
0 I) }; Y0 w8 [
  解:因为 甲=乙×11+32, ! T7 Y  W+ |3 Y/ ^# u9 w- n

( h7 y$ Y% w8 M* s6 d: r  所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088, 2 J2 \  f5 Z+ W# z
, ^7 o4 _" m4 q4 N
  所以 乙=(1088-32)÷12=88, # u# Y2 l: @) |6 n3 x
  e9 `2 o3 B+ D% j9 I; @  Q5 R5 j
  甲=1088-乙=1000。 6 D# X* F; Z# I
: B6 |3 q7 a; w. h+ q
  答:甲数是1000,乙数是88。 & E  k5 z: z& K: K) Q. w  H
例4  有一个整数,用它去除70,110,160得到的三个余数之和是50。求这个数。
4 N/ i  m% n0 q
$ w0 G8 F% X! a: m! j' n+ Z  分析与解:先由题目条件,求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2,所以三个余数中至少有一个大于16,推知除数大于16。由三个余数之和是50知,除数不应大于70,所以除数在17~70之间。
! [. b: {8 Y( R% Z1 s9 U0 d0 @2 {) \- P7 ]% ^
  由题意知(7+110+160)-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数,得到290=2×5×29,290在17~70之间的约数有29和58。 6 ?8 w' d- D1 N& [# H
: J- ?5 E9 {0 W( S
  因为110÷58=1……52>50,所以58不合题意。所求整数是29。 1 Y0 ^$ y, L* c3 N. ]8 }
$ a9 L8 [) e8 ]. v. k
  例5 求478×296×351除以17的余数。
8 d" l/ K/ N+ Z, r& u
. h9 M" u! C7 e  分析与解:先求出乘积再求余数,计算量较大。根据性质(5),可先分别计算出各因数除以17的余数,再求余数之积除以17的余数。
, m# W$ h9 i9 O9 ]' {
4 K( z9 W, L1 ?0 R4 \6 u4 t+ `  478,296,351除以17的余数分别为2,7和11,(2×7×11)÷17=9……1。
) k- Q+ _2 ]  z* `- ]/ ]! Z$ p
0 B# j: h0 j, H" f9 [- L1 o+ H  所求余数是1。
; t! f* Z7 [# ]0 n  L4 L
9 x" L0 }7 M2 ^: n" k9 ^  例6 甲、乙两个代表团乘车去参观,每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后,甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完,甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片,那么拍完最后一张照片后,相机里的胶卷还可拍几张照片? 5 t  Q, ^! {, H" b6 _. c1 ^
/ L  }+ b4 t6 g) D7 a0 C
  分析与解:甲代表团坐满若干辆车后余11人,说明甲代表团的人数(简称甲数)除以36余11;两代表团余下的人正好坐满一辆车,说明乙代表团余36-11=25(人),即乙代表团的人数(简称乙数)除以36余25;甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片,共要拍“甲数×乙数”张照片,因为每个胶卷拍36张,所以最后一个胶卷拍的张数,等于“甲数×乙数”除以36的余数。 ! T- r  h  a" _8 Y. t/ F

0 c+ M) |. A/ J  因为甲数除以36余11,乙数除以36余25,所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。
3 U4 z6 v& Y  X6 s, O$ e& q! X; v
, _+ p+ X. a* q  (11×25)÷36=7……23,
% ^! u4 @6 Y3 U& L/ @9 c
! F2 i& k, G* ^  C, r  H- Q6 N. l  即最后一个胶卷拍了23张,还可拍36-23=13(张)。 ' e& x/ H0 M  O7 ?4 _7 {9 y9 E$ Y, c
( u$ U+ e& o: V3 S: ^* ^
  由例6看出,将实际问题转化为我们熟悉的数学问题,有助于我们思考解题。
2#
发表于 2010-11-29 17:26:00 | 只看该作者
新注册的人能够转这样的帖子是大师来点化大家的吗?
3#
 楼主| 发表于 2010-11-29 17:37:57 | 只看该作者
我就是新人啊。一直用的方法是八分线和等周期线。因为只能看到短线。看不到时间和级别
, U! a! g& f9 M$ |) q1 m- {于是开始学习江恩。在网上搜索相关信息。就来到了论坛。从注册的那天到现在一直在看各位学长的帖子。发觉之前的理解。不是江恩或者和江恩有很大的偏差。
1 p! a7 c. D( ]! R1 }" s并受到论坛先辈的指点和启发。
, F7 v- S# u4 g3 l觉得应该从基础来学习。然后加以扩展。
4 h1 J7 T/ C- V9 o# n, v# |8 i于是在网上寻找资料。
5 r! S8 j& n2 b8 G1 T' @, ]- _找到这些觉得好像很有用。9 x# ~) T& M* Q+ {8 y9 b, _
发出来成贴, x: ~: L  ~6 m4 e3 Z% V1 g
1.希望和大家共同学习。也希望已经通其理的人给指点迷津
- P% U1 @  b2 L3 o: k5 o, [; z2.希望这是个起点。能给比我还新的新人一些信息。% Y. b/ q: F4 y' R( Z2 j/ L
如果有打扰到各位坛友。或者不符合论坛的规则和要求。
4 [+ n1 r! z) ^, X: ~5 [% _! L请原谅* L% p! J5 @: L. N' O
因之前没有在论坛中进行交流(不知者不怪嘛!!/ y7 }9 E: B! S$ x

5 e+ ]8 S( S6 s$ q4 k, pxyzabc  谢谢您的关注。还谢谢你加的好多好多的分。

评分

1

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4#
发表于 2010-11-29 18:24:33 | 只看该作者
5#
发表于 2010-11-29 20:27:20 | 只看该作者
学习
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