余数（转载）

hippe

余数 定义 在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。 取余数运算： a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c 如 7 除3 = 2 .。。。。。。1
" }& t0 G- T7 T1 A余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：

　　（1）余数小于除数。
5 l8 q7 \1 ?( V3 y
' s2 Q% V# j% R  ?1 `- k　　（2）被除数=除数×商+余数；
9 X( s1 D  K9 Q  \9 l1 j
　　除数=（被除数-余数）÷商；
+ ?) M# [8 a& b) E. K& x( R  C
# m% i5 L+ e: `0 b3 U　　商=（被除数-余数）÷除数。

　　（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
) Y* s& P: V! O- M" z$ k1 }% k+ }
) T8 t4 D+ d8 g　　（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。

　　（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
% _3 l# m7 H1 G
2 {  X! W1 W  ^. \% |5 r　　性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。
" f1 i- X4 ~9 I: N8 ?3 _
: |" l$ r/ G+ E, A7 }　　而当被除数小于除数的情况下，商为零，余数就是被除数！
# f# {- e( Q! S/ Q, ^8 @
2 z4 V6 c& _& y1 D* H( W# P; W
例题例1　　5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。

　　分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。

　　5122-66=5056，

2 t+ w+ w% l+ x8 X2 Z　　5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到
. \2 A2 g; I2 B
　　5056=64×79。

6 ]4 E: D( w$ J' F　　由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
例2　　被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
9 h# c; e. g& J
, M7 N3 V7 r" u3 G% t3 T　　解：因为被除数=除数×商+余数
5 Y; J5 e6 z+ D& H+ z$ g6 h
　　=除数×33+52，

, N4 H5 s9 m" E2 B　　被除数=2143-除数-商-余数
7 C2 _9 j. f; w+ b
1 v2 [) Q8 S! \( J　　=2143-除数-33-52
) }( k+ r. Q6 R5 H2 k  S! Q
) m) m" W& t9 b% `% ^; }- x2 Y% U+ @　　=2058-除数，
) f+ y1 F) Q' J
　　所以 除数×33+52=2058-除数，
6 |4 d7 W7 \5 ~: x
4 R; m) r# ~0 E) k　　所以 除数=（2058-52）÷34=59，

% K9 ?: \# Q1 d. ]$ s1 ~　　被除数=2058-59=1999。

6 c8 w) \1 n( Y& G　　答：被除数是1999，除数是59。
. |" }1 C1 z) F( T; y$ W6 c例3　　甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

　　解：因为 甲=乙×11+32，
; x+ X0 |' |5 Q
0 ?# r: V. q, W' H; d: x　　所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，

' I7 k6 V+ y9 A; a2 Q　　所以 乙=（1088-32）÷12=88，
8 z8 ~$ W3 P* |- E0 ~
, b! ?5 @! ~+ _0 s* V1 X5 _4 a　　甲=1088-乙=1000。
7 A% d0 o3 Q; ^% j9 t7 o& N
: j2 R" s% X9 l6 g/ X　　答：甲数是1000，乙数是88。
例4　　有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。
# A2 P) \! g- I$ u0 z3 l
　　分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。
0 x$ ]' _) l/ r: j) l: V
　　由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。
! |% s3 I8 Z* v5 R) }0 @" ]
　　因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。

3 ^6 `, a6 j. {+ ^6 E　　例5 求478×296×351除以17的余数。
, T$ J% C# K8 y1 B
　　分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。

　　478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。
+ F& W! J7 |4 k! U( q+ |
　　所求余数是1。

0 q7 Z& m& a5 v7 |* q　　例6 甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？
9 ^% Q! I6 F& i6 f+ m
% t) t8 P+ P9 F- K  p2 d9 K　　分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。
1 V) }  r$ J7 r) c, C3 p
　　因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。
: w, O; Q, B/ z3 {& Q% n
0 l- W4 z# X! B& X　　（11×25）÷36=7……23，

( Q9 J( p% c9 h) a$ W9 M5 B　　即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。
4 R* n. r2 `+ U3 Q  |. M, N
1 {7 T& j( Q, _8 G- x4 d　　由例6看出，将实际问题转化为我们熟悉的数学问题，有助于我们思考解题。

xyzabc

新注册的人能够转这样的帖子是大师来点化大家的吗？

hippe

我就是新人啊。一直用的方法是八分线和等周期线。因为只能看到短线。看不到时间和级别
于是开始学习江恩。在网上搜索相关信息。就来到了论坛。从注册的那天到现在一直在看各位学长的帖子。发觉之前的理解。不是江恩或者和江恩有很大的偏差。
并受到论坛先辈的指点和启发。
0 N0 Y" H! d( C: x/ `* e8 l觉得应该从基础来学习。然后加以扩展。
- t$ n" X! I4 e& N, a. d于是在网上寻找资料。
3 \2 w" R& z* R0 c8 ~  h6 A% R找到这些觉得好像很有用。
0 I/ [% ^) d6 O! B发出来成贴
6 {3 `, N7 {% E- B1 E& }- b% u1.希望和大家共同学习。也希望已经通其理的人给指点迷津
2.希望这是个起点。能给比我还新的新人一些信息。
8 k: e# D0 P3 w+ J6 J4 J% m如果有打扰到各位坛友。或者不符合论坛的规则和要求。
7 @% i9 O. I: @/ C: c/ I) U请原谅
因之前没有在论坛中进行交流（不知者不怪嘛！！ ）
# z: d8 A0 r) T4 H* b6 G" V8 I- d3 [% C
+ R0 ^% H; |! G) I* s/ Lxyzabc  谢谢您的关注。还谢谢你加的好多好多的分。

wuyin2025

axcqy

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