余数（转载）

hippe

余数 定义 在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。 取余数运算： a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c 如 7 除3 = 2 .。。。。。。1
- k6 I- B: m& u" t余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：
: ]) Z0 X. L/ s$ \. Q
　　（1）余数小于除数。
" `8 U, L% D( z! `  A
+ z* s0 J3 I" D　　（2）被除数=除数×商+余数；

　　除数=（被除数-余数）÷商；

　　商=（被除数-余数）÷除数。

　　（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。

* m7 _; ^" G! N7 w7 P3 u4 l　　（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
; l. M9 p& F! i/ J+ b: }
) Y9 z- F1 g# S9 {　　（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
3 b6 J2 j, J) a1 z( P
3 r4 K* O3 [$ q2 [1 }6 A" u　　性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。

; n6 i; o# K  a% n; h( y　　而当被除数小于除数的情况下，商为零，余数就是被除数！
# j3 Z2 H7 R  j: [7 ?
* _6 u3 `% s' G& z
例题例1　　5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。

　　分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。

/ L9 X  _9 f- i' ~/ q5 ^' _　　5122-66=5056，
8 |) v4 L7 Q* I8 b
　　5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到
) o2 N& z7 I" [; Z
8 z8 m8 q3 `1 V0 }* N　　5056=64×79。

$ Y, n& h! \; \' ^$ a, u' B2 e- R　　由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
例2　　被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
! K7 _. F' u: c1 j3 n: _1 a% b
　　解：因为被除数=除数×商+余数

　　=除数×33+52，

　　被除数=2143-除数-商-余数

$ V, k% d/ w! L4 K　　=2143-除数-33-52

, t1 P9 L: a' _" W　　=2058-除数，

9 I2 h- V, P) ~( a4 ^: @; ^% T4 Z　　所以 除数×33+52=2058-除数，

　　所以 除数=（2058-52）÷34=59，

　　被除数=2058-59=1999。

　　答：被除数是1999，除数是59。
例3　　甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

5 D. V6 V. s; @3 J! M　　解：因为 甲=乙×11+32，

/ m0 q$ M* O9 w8 Q. d$ v　　所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，

　　所以 乙=（1088-32）÷12=88，
& c2 y) s3 {% G5 K$ [" K
　　甲=1088-乙=1000。
! G  R, P# V0 n9 k! N5 A: f0 B
　　答：甲数是1000，乙数是88。
- Q5 g9 E; `* e2 ]例4　　有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。

　　分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。

　　由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。

$ V# ^" v) r# G$ }7 u+ L　　因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。

% s- \" q9 ^* R3 S/ ]　　例5 求478×296×351除以17的余数。

　　分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。

　　478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。
) D  [7 |  k5 G. P: {
# z8 N8 [: n! T0 p' Q* l　　所求余数是1。
2 ], ]7 A4 b- W
　　例6 甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？

　　分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。
' o" U0 e5 B4 V4 l7 }( i. V& \
　　因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。

　　（11×25）÷36=7……23，
: u) I6 v! b0 V; [; O8 r
! H8 {5 N3 s/ R3 |1 n2 _　　即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。
* H4 L- N0 u" ]/ `  G6 w
- [" U2 d# |9 @1 I　　由例6看出，将实际问题转化为我们熟悉的数学问题，有助于我们思考解题。

xyzabc

新注册的人能够转这样的帖子是大师来点化大家的吗？

hippe

我就是新人啊。一直用的方法是八分线和等周期线。因为只能看到短线。看不到时间和级别
' q1 W# X1 Y1 F. O于是开始学习江恩。在网上搜索相关信息。就来到了论坛。从注册的那天到现在一直在看各位学长的帖子。发觉之前的理解。不是江恩或者和江恩有很大的偏差。
并受到论坛先辈的指点和启发。
: y+ l+ A9 s& T4 g2 w% I4 l觉得应该从基础来学习。然后加以扩展。
于是在网上寻找资料。
找到这些觉得好像很有用。
发出来成贴
5 C1 `3 N' d/ J' E- `1.希望和大家共同学习。也希望已经通其理的人给指点迷津
2.希望这是个起点。能给比我还新的新人一些信息。
* |8 [" u* n7 D) o+ e7 a. R, C8 X如果有打扰到各位坛友。或者不符合论坛的规则和要求。
请原谅
因之前没有在论坛中进行交流（不知者不怪嘛！！ ）

xyzabc  谢谢您的关注。还谢谢你加的好多好多的分。

wuyin2025

axcqy

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