余数（转载）

hippe

余数 定义 在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。 取余数运算： a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c 如 7 除3 = 2 .。。。。。。1
余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：

　　（1）余数小于除数。

　　（2）被除数=除数×商+余数；
; g& D5 W2 J) q, ~$ z
　　除数=（被除数-余数）÷商；

  I; ~, t  F6 O　　商=（被除数-余数）÷除数。
) g1 `# e1 T( N$ f  @% d& O
　　（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
) ~% l, l9 ?& l+ `, I4 O" t! }% e
　　（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
$ A7 T, x) g3 r) F; b
* A( I) R( b7 l7 h' G　　（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。

+ k7 X, r/ @( p5 U4 G! K　　性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。
5 n8 m0 F; `9 U/ H5 c1 q" s& x
　　而当被除数小于除数的情况下，商为零，余数就是被除数！

8 z5 G/ p! r/ i1 ~" m/ ^
例题例1　　5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
( y: j1 G: T4 s  v/ t' w8 [6 ]
　　分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。

$ z0 ~. [& O0 E( B, Q　　5122-66=5056，

  P3 n) t: r' o　　5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到
+ ~5 n1 z! l/ r# E" r- E/ h  x
　　5056=64×79。
; Q/ _6 h  g- T& X1 a
7 X2 g% q  v% L+ B7 J' U　　由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
例2　　被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。

　　解：因为被除数=除数×商+余数

　　=除数×33+52，
. [% y# }! B" T& E' H/ M
: _% j' I/ }) ]2 H6 m( B: t　　被除数=2143-除数-商-余数
6 r- f* H! H7 l9 Y3 ~) f
9 h* g* e& e8 L  g1 J& _　　=2143-除数-33-52

　　=2058-除数，

' o  O1 N. h7 m5 ~3 |　　所以 除数×33+52=2058-除数，
% w/ V5 @) N; ^. [
" m( T# k1 t  G/ x  [　　所以 除数=（2058-52）÷34=59，
5 ]* V  t4 l& s9 A& F
' x6 Z; f2 [! n! J　　被除数=2058-59=1999。
9 F% d  s- m; m% w
　　答：被除数是1999，除数是59。
例3　　甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

　　解：因为 甲=乙×11+32，
2 \0 y# Y( _. g$ W2 r$ w! t; D
　　所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，

" a# P  C# {, }　　所以 乙=（1088-32）÷12=88，

& Z$ e9 W2 `% `7 P% ?+ I: e　　甲=1088-乙=1000。
+ X% E* X; ], ~* w% Z, n, c- c  T
: S+ v6 Y. K9 g' D6 o! W: s4 Q1 U! G　　答：甲数是1000，乙数是88。
例4　　有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。

8 H4 d; U! r$ Z/ q$ \　　分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。
! x; E7 F' a, G5 W! [, d6 S# O
' l4 U  Z! w2 ~6 A. t8 y0 d% S　　由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。

　　因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。
. T6 K0 {  U1 Y0 C1 d% T
) Z- V* v* J0 y# I' e! Q7 f　　例5 求478×296×351除以17的余数。
* D6 R" S, `8 c. @% P/ ~
5 V: e, e, j) _) ]1 y/ e, O  s　　分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。
$ Y. H& L" `5 A' G( h! o9 _' @5 M
2 c* c- A/ d4 \; h( w　　478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。
8 ?% u7 H- r, u( x
　　所求余数是1。
/ z9 O3 i+ W. Q) K# C$ ?4 a
　　例6 甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？

  }5 J0 H6 I& T  I8 J7 ]　　分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。

　　因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。

　　（11×25）÷36=7……23，
# x2 I: E- q: y5 S
　　即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。

$ k& K. e/ D/ x# o2 A0 ^　　由例6看出，将实际问题转化为我们熟悉的数学问题，有助于我们思考解题。

xyzabc

新注册的人能够转这样的帖子是大师来点化大家的吗？

hippe

我就是新人啊。一直用的方法是八分线和等周期线。因为只能看到短线。看不到时间和级别
于是开始学习江恩。在网上搜索相关信息。就来到了论坛。从注册的那天到现在一直在看各位学长的帖子。发觉之前的理解。不是江恩或者和江恩有很大的偏差。
并受到论坛先辈的指点和启发。
觉得应该从基础来学习。然后加以扩展。
9 Y, E* X1 @" _& L于是在网上寻找资料。
# c4 B# i9 U8 a找到这些觉得好像很有用。
发出来成贴
# z1 ^- j1 p7 n' c1.希望和大家共同学习。也希望已经通其理的人给指点迷津
! g; T+ K. m" N7 S" b% ~2.希望这是个起点。能给比我还新的新人一些信息。
0 K0 o1 B, D1 Q; U+ @# s3 B如果有打扰到各位坛友。或者不符合论坛的规则和要求。
! ?7 }' t+ L+ K% H请原谅
% c2 H& V2 y, m6 _' u因之前没有在论坛中进行交流（不知者不怪嘛！！ ）
/ V: H5 V7 w" S  m0 _% M$ U1 s
xyzabc  谢谢您的关注。还谢谢你加的好多好多的分。

wuyin2025

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