余数（转载）

hippe

余数 定义 在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。 取余数运算： a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c 如 7 除3 = 2 .。。。。。。1
余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：

: G6 n6 T% \4 e& z　　（1）余数小于除数。
& A4 }- c$ c$ S; M6 L
　　（2）被除数=除数×商+余数；

- F6 G- t1 @: _. \6 H+ ^) M2 x8 w3 _　　除数=（被除数-余数）÷商；
4 a% t6 h' S9 U3 o! ~: ]3 [
　　商=（被除数-余数）÷除数。
7 k5 l0 b  P; D% E/ J
' {1 n" c$ H# `9 w4 V: j3 F" V　　（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
1 n- K% N# Q8 }  P, H3 T
　　（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
1 h. a; {8 J% k9 B
; a: A, [& l# x　　（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
) t1 M5 E) z$ A6 M6 k' n0 N3 e
　　性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。

　　而当被除数小于除数的情况下，商为零，余数就是被除数！


例题例1　　5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
) s  Z0 O7 z& H3 r6 M
　　分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。

　　5122-66=5056，
' M: W% W* u% w3 \$ O; i7 ~; Q9 N
　　5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到
3 J) D& N  w* G
　　5056=64×79。

1 s: m7 P6 E3 w) Q  X2 f" `　　由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
8 y* m1 S( ~+ ~  J* _/ L- D9 w$ W9 L例2　　被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。

　　解：因为被除数=除数×商+余数

　　=除数×33+52，
, u9 `  B; D  ~2 z
　　被除数=2143-除数-商-余数
5 f$ U( v( K4 W8 {  I$ Z4 [) w: e
# {' t2 k/ p" p  W9 p　　=2143-除数-33-52

　　=2058-除数，
  |5 @& I+ F; r. E6 c" x# p8 a
7 O2 A) X7 l2 ^　　所以 除数×33+52=2058-除数，
+ I5 E9 s% r. \" v5 a# l2 i4 h3 ^
* f0 x; s# N" R2 u3 T( x# E( Q  Z　　所以 除数=（2058-52）÷34=59，

4 o9 f/ p1 E2 Q' o9 I　　被除数=2058-59=1999。
( G; N/ o4 K% V3 a- i
　　答：被除数是1999，除数是59。
' E: v* Y" U1 W2 x9 Z例3　　甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

　　解：因为 甲=乙×11+32，
& U3 h% p2 g9 v) W6 x$ o
3 ?$ Y8 t" g$ A) r8 J. U% d+ p　　所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，

　　所以 乙=（1088-32）÷12=88，
) n  d9 F8 L& a' ~0 x
3 x" V5 N. g" `　　甲=1088-乙=1000。

' R, W/ D3 J5 t( `  ], r　　答：甲数是1000，乙数是88。
. N- z- A! B& }* h例4　　有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。
( m3 X* q9 {7 u: X9 G
　　分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。
0 ~) {1 Y% v) x1 a7 e
% x4 Y, ]9 H1 L　　由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。
0 ?9 Y' D  ~* _9 d
/ f2 X% k2 j' J7 @: V+ [　　因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。
+ ^0 \/ e2 M: ?; S4 W
/ R  n1 z, |5 e8 u* J3 n# ^1 ]　　例5 求478×296×351除以17的余数。
5 m) y) ]. m& O
; W! y1 p9 J7 `  H# a, P　　分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。
" D  B7 C4 r$ \* V+ ~
% S6 |& _- q: x4 K5 O6 C0 g　　478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。
- Z$ M1 C0 K0 [3 g& N; M
; l6 z2 q; V0 n7 d5 R7 p$ |1 N　　所求余数是1。
( j2 R' W8 K1 c
6 G2 P) A7 k$ }+ q　　例6 甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？

. @/ B, l! B  C　　分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。

　　因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。
! B) F4 S# `. n$ @, m
　　（11×25）÷36=7……23，
  u; M/ j' ^: W: {! A: C
　　即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。

' |2 w/ b+ f, B" f) o　　由例6看出，将实际问题转化为我们熟悉的数学问题，有助于我们思考解题。

xyzabc

新注册的人能够转这样的帖子是大师来点化大家的吗？

hippe

我就是新人啊。一直用的方法是八分线和等周期线。因为只能看到短线。看不到时间和级别
于是开始学习江恩。在网上搜索相关信息。就来到了论坛。从注册的那天到现在一直在看各位学长的帖子。发觉之前的理解。不是江恩或者和江恩有很大的偏差。
并受到论坛先辈的指点和启发。
  ~+ W! G: c; `: P8 I5 |$ ]: n2 ?觉得应该从基础来学习。然后加以扩展。
) t! \% ~( ^" l8 i8 h于是在网上寻找资料。
找到这些觉得好像很有用。
发出来成贴
1.希望和大家共同学习。也希望已经通其理的人给指点迷津
2.希望这是个起点。能给比我还新的新人一些信息。
" o2 b+ L* f3 n9 r! _  `- |如果有打扰到各位坛友。或者不符合论坛的规则和要求。
请原谅
4 ]$ G* k9 L: c: A! i2 w, B因之前没有在论坛中进行交流（不知者不怪嘛！！ ）

/ N% v& B) v2 Y1 zxyzabc  谢谢您的关注。还谢谢你加的好多好多的分。

wuyin2025

axcqy

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