余数（转载）

hippe

余数 定义 在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。 取余数运算： a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c 如 7 除3 = 2 .。。。。。。1
' ~+ O; K4 s! y1 H8 w) I余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：
& R, ]$ |1 v  s& M; d
　　（1）余数小于除数。

' m1 K7 L: z% f& _　　（2）被除数=除数×商+余数；
8 q+ H5 x* n5 g8 x9 ~
　　除数=（被除数-余数）÷商；

* W7 v# p9 [% Q' m+ D: ]　　商=（被除数-余数）÷除数。

　　（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
; y. {* A! Q: h% y# n# Y
( `4 O2 i+ c. S9 g　　（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。

7 @# E5 }+ R/ a" b2 g9 H　　（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。

　　性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。
! q" k4 j* b; V& R. y0 s$ T" ?
　　而当被除数小于除数的情况下，商为零，余数就是被除数！


例题例1　　5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。

　　分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。

% _8 \& \0 ~; Y& D7 o* R9 C　　5122-66=5056，
7 G) y: n5 B* b* _$ S! a8 }' E
* C. Q( h. R2 `+ }$ c: V: F　　5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到

: _) e7 g8 u9 I　　5056=64×79。
( `1 I4 C* s3 p, [. ~# o" G5 b2 d+ D
1 ^  b' C' w9 E8 w! R# W　　由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
例2　　被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。

　　解：因为被除数=除数×商+余数

　　=除数×33+52，

　　被除数=2143-除数-商-余数

/ \$ h1 l' z1 l1 p1 E7 z) G3 k　　=2143-除数-33-52
+ \. r/ v. g4 N3 A5 I
　　=2058-除数，
* s$ c! Y/ B4 h$ n
: l/ v9 r4 O; S9 e9 b　　所以 除数×33+52=2058-除数，

　　所以 除数=（2058-52）÷34=59，
3 Q% y/ w( t0 ~7 P: N1 n. _% ?
　　被除数=2058-59=1999。
- j7 [* u: l% S6 u7 J
　　答：被除数是1999，除数是59。
3 A- l3 q1 V  Y例3　　甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
2 ]2 A1 L( F! O# ]0 c
　　解：因为 甲=乙×11+32，
- H& y: \' P3 I* j7 r
　　所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，

　　所以 乙=（1088-32）÷12=88，

　　甲=1088-乙=1000。
( t  w1 M' b  H" U
　　答：甲数是1000，乙数是88。
. Z; B, e2 Z* i# u, G- R例4　　有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。
  ]% N0 d+ X( e
　　分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。

　　由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。
/ S1 O" S; ?- ?0 c
　　因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。
" v( ]' Q8 x+ `* x4 z; u' G- c; ]
" R5 f- Y" a( R　　例5 求478×296×351除以17的余数。
! u/ f3 g3 J* o* U  c
" j% w" y& ?+ g　　分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。
# w. I& g6 e. [. B4 n
+ M" P: c# H& S, n, a1 G9 Z7 E. ]　　478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。

　　所求余数是1。
2 H$ V2 ?! R$ ^
- j1 P: I3 Y0 @8 N: }; ^: @　　例6 甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？
! x. S7 p) ]6 {* ~* d. Z/ C& ]
8 G# d& i% z! G* N$ l" D　　分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。

2 ?/ o3 n' |" ~6 M' {　　因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。
) P* g8 |7 e$ Q# q+ a0 \4 s- l2 I- I
' Q6 E* t& s+ t" c8 O4 I　　（11×25）÷36=7……23，

+ v7 i: v5 Z, Z- `9 n3 A　　即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。
9 x+ d. u- b4 \' B8 f+ F$ s
$ q. k, k; i" E* X; k2 n　　由例6看出，将实际问题转化为我们熟悉的数学问题，有助于我们思考解题。

xyzabc

新注册的人能够转这样的帖子是大师来点化大家的吗？

hippe

我就是新人啊。一直用的方法是八分线和等周期线。因为只能看到短线。看不到时间和级别
. O& r, I- E5 ?- H6 ~于是开始学习江恩。在网上搜索相关信息。就来到了论坛。从注册的那天到现在一直在看各位学长的帖子。发觉之前的理解。不是江恩或者和江恩有很大的偏差。
: S* b/ W, j& R4 j: q并受到论坛先辈的指点和启发。
8 _; j; r% M% u% Z+ R觉得应该从基础来学习。然后加以扩展。
于是在网上寻找资料。
找到这些觉得好像很有用。
发出来成贴
1.希望和大家共同学习。也希望已经通其理的人给指点迷津
2.希望这是个起点。能给比我还新的新人一些信息。
- e# B9 m/ D- P如果有打扰到各位坛友。或者不符合论坛的规则和要求。
& p; p9 {7 D& V5 L& J, v请原谅
. d# t, a0 d; v7 k' y因之前没有在论坛中进行交流（不知者不怪嘛！！ ）
% {( ~% k0 E9 W. R! t) x
3 a+ P  q& C5 P4 j) k2 jxyzabc  谢谢您的关注。还谢谢你加的好多好多的分。

wuyin2025

axcqy

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