余数（转载）

hippe

余数 定义 在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。 取余数运算： a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c 如 7 除3 = 2 .。。。。。。1
余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：
1 D, x5 |7 B; M7 w. P
　　（1）余数小于除数。
! t. D$ V2 ~  U: x% C, Y
  c, i- D- t- ?4 v' q' y+ w6 X　　（2）被除数=除数×商+余数；

　　除数=（被除数-余数）÷商；

　　商=（被除数-余数）÷除数。

( Q! q8 U0 \4 V" b6 p4 \# C0 I. }　　（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。

　　（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。

, k% C! D" f5 z2 C: i- w# e$ Y: d　　（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
) h+ N  g, V6 Q
　　性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。

9 A& h$ `7 \- U2 M& j9 ?2 @　　而当被除数小于除数的情况下，商为零，余数就是被除数！

7 O% n$ v2 l8 ?& n# V" Y+ d1 O
例题例1　　5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。

4 E. o, s" ^  Q# o7 h8 N" v　　分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
: _$ v1 W# w) i$ c- `* K
　　5122-66=5056，
/ g% G; U; v4 X7 i- C. A
　　5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到

　　5056=64×79。
7 i! G( ^" {9 n7 G, v9 K
　　由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
1 U( m7 V) e' c* s% b+ e) t例2　　被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。

) k0 k$ p0 l4 o" |4 R　　解：因为被除数=除数×商+余数

+ g' l0 ?% O9 S- n' _  b　　=除数×33+52，
9 h3 p+ o8 r- o- R
　　被除数=2143-除数-商-余数

2 w" j7 g8 X$ g9 Y, L　　=2143-除数-33-52

　　=2058-除数，

　　所以 除数×33+52=2058-除数，
- @5 B: ~& |2 z  |
3 \1 _. `5 g- q5 ?0 i　　所以 除数=（2058-52）÷34=59，

　　被除数=2058-59=1999。

4 N+ q: Q7 ?2 s: C　　答：被除数是1999，除数是59。
例3　　甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

  o3 s7 m; p; T  b+ r+ O　　解：因为 甲=乙×11+32，

0 ~2 y: {& C$ B# N3 s: n3 @* `+ B# e( @　　所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，

! @- K6 I" O# L8 w5 v　　所以 乙=（1088-32）÷12=88，
5 [) N& E; @% \. O% k
　　甲=1088-乙=1000。
% p" o8 x% n6 H- M$ ^
　　答：甲数是1000，乙数是88。
  O0 ?6 f* X$ D' D6 F例4　　有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。

　　分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。

* H" o7 z- \9 B; y　　由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。
) e" U7 N" I* @" U' v& K* F
- m  I% W( a: A$ e" N　　因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。

　　例5 求478×296×351除以17的余数。
8 V. n4 L7 X# d; I
　　分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。

5 w: v/ O  ?! Q( `0 j1 P% V* G　　478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。

5 l6 Z  y7 Q: g% ~' W　　所求余数是1。
, E& x0 O0 _/ Q$ q. X+ v5 g: y
　　例6 甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？

　　分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。

' F* O2 z# u1 }5 J　　因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。
$ n" z" ^) F) Y" C
$ a- R1 f! o* O/ X7 b0 `: ^　　（11×25）÷36=7……23，
. R5 Z; d- W( X. I. _& ?
　　即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。
' k0 I8 V. H; x: F* K6 w" J# j
$ A+ X$ l+ r+ ~  p% p　　由例6看出，将实际问题转化为我们熟悉的数学问题，有助于我们思考解题。

xyzabc

新注册的人能够转这样的帖子是大师来点化大家的吗？

hippe

我就是新人啊。一直用的方法是八分线和等周期线。因为只能看到短线。看不到时间和级别
2 R) i2 i5 U/ F" D9 i: {/ B于是开始学习江恩。在网上搜索相关信息。就来到了论坛。从注册的那天到现在一直在看各位学长的帖子。发觉之前的理解。不是江恩或者和江恩有很大的偏差。
并受到论坛先辈的指点和启发。
8 G: `5 I1 L7 N: l8 j& c8 j觉得应该从基础来学习。然后加以扩展。
于是在网上寻找资料。
找到这些觉得好像很有用。
5 [: ^/ C' X( G7 c发出来成贴
1.希望和大家共同学习。也希望已经通其理的人给指点迷津
$ q, H7 M& m2 ]- E7 S0 C0 G- `2.希望这是个起点。能给比我还新的新人一些信息。
如果有打扰到各位坛友。或者不符合论坛的规则和要求。
请原谅
因之前没有在论坛中进行交流（不知者不怪嘛！！ ）
! R8 J" m0 u6 m% [, M7 Q3 Y
4 e$ o$ z# @, o' r, c2 |- |xyzabc  谢谢您的关注。还谢谢你加的好多好多的分。

wuyin2025

axcqy

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