余数（转载）

hippe

余数 定义 在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。 取余数运算： a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c 如 7 除3 = 2 .。。。。。。1
! U* S" p7 V& t' C: l# o: u# M余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：

$ E* Y! U$ |2 K. x- B　　（1）余数小于除数。
, K& U$ h* r8 i7 W
　　（2）被除数=除数×商+余数；

# K+ L1 I* ?8 P0 Z# C1 R　　除数=（被除数-余数）÷商；

: j+ X* B- D( P& J+ |　　商=（被除数-余数）÷除数。
5 e& K, C$ g# A0 R7 v4 K3 f
　　（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
( k' v# E4 }- D  n# I3 i4 l
$ ~. R7 P& C" M% v$ x/ o4 Y　　（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。

　　（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
" M+ M$ P" p- I% [9 W1 z% t6 ~
　　性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。
5 E5 V" Z" d7 e# @
　　而当被除数小于除数的情况下，商为零，余数就是被除数！


, q! Q; _+ n( j; x例题例1　　5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
- _; `$ ]- Q+ @' m' L
# l$ {% X: ]: z% [, B　　分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。

　　5122-66=5056，

9 D4 N, z6 K+ h9 {7 W9 T　　5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到
: Q2 Y7 O1 f. w6 y( F
　　5056=64×79。
$ |5 n2 ~6 Z# g, L
) `  W- o) [9 Y, R　　由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
; t5 @) V7 I# U" ^% b7 `6 i! [例2　　被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
( t; G. h: P1 ^- [, S2 L# |+ [
8 U- N7 X. w7 U1 w$ W: T  q　　解：因为被除数=除数×商+余数
7 }. R  T& A7 x: |. k
9 C$ g  r( G- R/ K3 K6 y  u8 W/ e　　=除数×33+52，

! N3 C) I/ I7 f2 S2 {　　被除数=2143-除数-商-余数

　　=2143-除数-33-52
2 y0 c9 n" O- C& @# G9 i( m
　　=2058-除数，

　　所以 除数×33+52=2058-除数，
/ o! `% s# N2 v9 u$ Y! ]0 h
　　所以 除数=（2058-52）÷34=59，
4 u4 r: |$ J( \, _. Q$ b
. u9 v" [8 ?! F3 \. m6 X# `9 p　　被除数=2058-59=1999。

+ _0 v' q" B: b: x; f4 ^: K$ r　　答：被除数是1999，除数是59。
) R0 |& H' \$ c( [4 w例3　　甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

$ }8 d# v% l: g: {: b% K4 T  K　　解：因为 甲=乙×11+32，

' t( P7 C2 S) W/ O3 o　　所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，

$ ^6 y+ d! E3 Q0 l! }" m* O5 [+ t　　所以 乙=（1088-32）÷12=88，
9 d' S8 A9 x8 G; F3 s' ?$ W
7 t, T, f  a9 q2 n4 h　　甲=1088-乙=1000。
0 H- c0 U8 s% z. d
　　答：甲数是1000，乙数是88。
例4　　有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。

8 v* L7 n; S3 |9 _, X" I, r　　分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。

　　由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。

9 |3 @1 u! }2 P　　因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。
; ^2 s* l1 J8 L' a5 R
. m( }2 k" M9 p$ [% B& x2 X　　例5 求478×296×351除以17的余数。

　　分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。
% Z& F! n; h( J2 o- F
8 J6 F0 I1 a9 [' m0 `. F　　478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。
% s9 M2 T$ \  I
. \! f1 \, V( i/ V/ p: W　　所求余数是1。
' ~+ f8 D5 k9 ~( U) E
) @, H! M9 \# k$ I$ a/ b, I+ B　　例6 甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？
% x1 m8 a5 ]  l$ D0 u
: I( ~2 `( M/ s2 M6 o, E　　分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。
6 m4 `: g) _: s
　　因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。
8 S4 D7 y5 j* y* @5 L. j0 q
& J- X3 {& C- q+ G4 E　　（11×25）÷36=7……23，
" P! l; h" i$ ^9 F9 A: k
* U& k, h* m/ `( j; o3 X0 `% y! j　　即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。

% ]  \$ q7 i6 x3 @) d! \- r( ~3 o　　由例6看出，将实际问题转化为我们熟悉的数学问题，有助于我们思考解题。

xyzabc

新注册的人能够转这样的帖子是大师来点化大家的吗？

hippe

我就是新人啊。一直用的方法是八分线和等周期线。因为只能看到短线。看不到时间和级别
, |5 s8 Z9 W2 S1 S5 M/ e5 }0 {7 L! m于是开始学习江恩。在网上搜索相关信息。就来到了论坛。从注册的那天到现在一直在看各位学长的帖子。发觉之前的理解。不是江恩或者和江恩有很大的偏差。
并受到论坛先辈的指点和启发。
9 x* q8 Z; u1 v5 t觉得应该从基础来学习。然后加以扩展。
于是在网上寻找资料。
1 q3 K. V) B. P; \) J$ N$ S, j) \找到这些觉得好像很有用。
8 ]- ?7 j" x; J, D发出来成贴
. G) b% R, y& }& C" T4 ?! ?1.希望和大家共同学习。也希望已经通其理的人给指点迷津
2.希望这是个起点。能给比我还新的新人一些信息。
( }. ]7 u3 Q3 j% A如果有打扰到各位坛友。或者不符合论坛的规则和要求。
请原谅
1 V; g& h! M0 X" `6 ^/ p- M8 ^因之前没有在论坛中进行交流（不知者不怪嘛！！ ）
. ?3 @3 Z3 Y2 ?5 o1 Z
0 O  y$ k) U* jxyzabc  谢谢您的关注。还谢谢你加的好多好多的分。

wuyin2025

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