余数（转载）

hippe

余数 定义 在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。 取余数运算： a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c 如 7 除3 = 2 .。。。。。。1
余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：
$ a( f3 |5 |7 K  b1 {$ _
　　（1）余数小于除数。

　　（2）被除数=除数×商+余数；

7 Y: k* v6 m$ y* ^" J　　除数=（被除数-余数）÷商；
. N2 W1 C3 f  j$ F0 ^
% H7 \5 h+ e: r( |　　商=（被除数-余数）÷除数。
) B( b0 ]. ?9 A5 [) R4 d+ O/ \7 z: g
　　（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。

　　（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
3 {/ p& e  ]6 ~- V
　　（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
0 R5 `* E5 R1 {4 j9 l- t; M  q
$ n1 O! u/ k8 z3 K1 j$ l% C: w　　性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。

　　而当被除数小于除数的情况下，商为零，余数就是被除数！


. P: t# L' q1 T! l, M$ A" ^例题例1　　5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。

7 _8 L* e+ j* H) j8 Y1 W! ]) f　　分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。

　　5122-66=5056，
; K6 I8 {- z7 g; h
　　5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到
. }/ D- [: G- l# }8 I  l& l# C2 X
2 O3 ~* V- s$ W1 ]- N& `# k- d　　5056=64×79。
9 V/ E- u3 Q$ X' e& O6 y
　　由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
例2　　被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
+ o& m' T% ^, u0 f/ C
4 h* s. G% E; }, z2 `　　解：因为被除数=除数×商+余数
) |4 J1 k+ n8 M3 P) S" B4 S' q% x
- r" {, K0 r. @; e　　=除数×33+52，

0 g+ K+ p, V: {& \4 e0 i　　被除数=2143-除数-商-余数

　　=2143-除数-33-52

　　=2058-除数，
3 |( L0 j  a' Q# B6 V; N
! @9 j8 X# K8 m! A+ p　　所以 除数×33+52=2058-除数，

　　所以 除数=（2058-52）÷34=59，

1 t7 E: T$ f* C3 W, r& ?　　被除数=2058-59=1999。

　　答：被除数是1999，除数是59。
% D1 d# ~6 Y: e8 k# x4 V例3　　甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
; U0 G) x9 U, Y3 y* R' e" O& ^" j
　　解：因为 甲=乙×11+32，
- A) r. h: W) r5 ]' M
. B# u' r) X, z. _& b　　所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，
) J8 X/ o8 Y; R
　　所以 乙=（1088-32）÷12=88，
; s, N( M2 ?1 O0 ?$ }
　　甲=1088-乙=1000。
  |5 ^8 ]7 G8 Z
　　答：甲数是1000，乙数是88。
' l! f( T9 j: K3 }* `+ I. I  d5 f例4　　有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。
! }$ m( {& h2 N# r
* h8 X$ b0 Y* h/ l1 b　　分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。

　　由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。

! M: o2 H$ S; l3 M- H% e; g　　因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。
: r$ F0 B* w+ C* r( |
7 S; |" m' K* b7 I1 v' e　　例5 求478×296×351除以17的余数。

　　分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。
. j2 Z6 a3 E9 n, O
+ w/ U4 u# s8 ^8 r- m" u4 g$ N　　478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。

　　所求余数是1。

　　例6 甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？

　　分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。
$ Q  G& S+ z; p
9 W  D5 I' s: F　　因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。

; y% y- V: l! C2 ^　　（11×25）÷36=7……23，
7 H' M; Y5 @& O" ]+ W6 r
　　即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。
. n: N# _+ l" ]5 }2 r; B
　　由例6看出，将实际问题转化为我们熟悉的数学问题，有助于我们思考解题。

xyzabc

新注册的人能够转这样的帖子是大师来点化大家的吗？

hippe

我就是新人啊。一直用的方法是八分线和等周期线。因为只能看到短线。看不到时间和级别
* V" }7 V* h- A于是开始学习江恩。在网上搜索相关信息。就来到了论坛。从注册的那天到现在一直在看各位学长的帖子。发觉之前的理解。不是江恩或者和江恩有很大的偏差。
: t0 O* ]) K4 _$ O+ ]并受到论坛先辈的指点和启发。
4 w9 p/ B  A' k" h3 q觉得应该从基础来学习。然后加以扩展。
于是在网上寻找资料。
找到这些觉得好像很有用。
发出来成贴
1.希望和大家共同学习。也希望已经通其理的人给指点迷津
) k( ]& @9 |6 Y: S- \. y2.希望这是个起点。能给比我还新的新人一些信息。
( F* H" m$ Q* c1 L" W如果有打扰到各位坛友。或者不符合论坛的规则和要求。
请原谅
/ _" B) B- p" i! m8 E4 b因之前没有在论坛中进行交流（不知者不怪嘛！！ ）

* {, I; @! ^* O/ B8 X- w) G- txyzabc  谢谢您的关注。还谢谢你加的好多好多的分。

wuyin2025

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