余数（转载）

hippe

余数 定义 在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。 取余数运算： a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c 如 7 除3 = 2 .。。。。。。1
, ?& j8 F' s7 F* o+ G6 M余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：

　　（1）余数小于除数。

- O, P% c6 `! Z5 A7 b( Z! g7 p　　（2）被除数=除数×商+余数；
: N. g% I) Y, P5 X5 j1 I
  ~/ M  H( J6 [4 w0 B% S& M( M　　除数=（被除数-余数）÷商；

: p( d* M0 c+ l, d0 C$ Z　　商=（被除数-余数）÷除数。

　　（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
) H! }8 v& |% N
　　（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。

　　（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。

( }7 s9 _/ l8 B4 h! `　　性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。

: R' w$ t: k, Q8 G　　而当被除数小于除数的情况下，商为零，余数就是被除数！

' ]1 W6 K7 D# D7 j* H+ @
例题例1　　5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。

　　分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
& ~- H! }6 U" g8 |1 z; b- }7 x* U
　　5122-66=5056，

1 J! U1 e% S" |  g- j　　5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到
& R: o- u4 X; X2 m+ t) l
　　5056=64×79。
4 X& F* @7 {9 i0 A- k
　　由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
例2　　被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
) e" c! N- S: `0 \5 e
　　解：因为被除数=除数×商+余数

　　=除数×33+52，

　　被除数=2143-除数-商-余数

: ]$ E" n2 Z1 ]9 q) d2 Z　　=2143-除数-33-52
7 {+ h4 G: v, |# _$ y+ i
& o4 E, Y4 }& G% P  a' q. G# [$ Q　　=2058-除数，
2 J8 Z4 [: [8 @9 z; _
3 [2 \, R: H1 W* ^: A$ w8 F8 o, A* z　　所以 除数×33+52=2058-除数，

　　所以 除数=（2058-52）÷34=59，
* l* w4 _3 X; g6 _/ X
4 P( m- y+ o4 I# [9 m' d　　被除数=2058-59=1999。
; a6 r. H  H% Y5 o2 s6 _: v& n9 V/ s
2 M, E2 H2 t+ @: Z　　答：被除数是1999，除数是59。
7 t7 D7 K7 H' f0 i1 u" d例3　　甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

6 B5 X) ?: F2 \, U　　解：因为 甲=乙×11+32，

　　所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，
  y& i1 s1 T* ^! ?4 H/ m4 |
% t3 s; \2 w) f2 O; N2 ^0 _　　所以 乙=（1088-32）÷12=88，

　　甲=1088-乙=1000。
. w; b9 H+ g1 ?! f, j* ~
+ z, F# T! a+ C' s/ K! N　　答：甲数是1000，乙数是88。
0 Q! I# d( B  h6 k* D* r7 E2 ]例4　　有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。

　　分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。

　　由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。
7 W) v" v) N8 R& M) y" J: x
　　因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。

　　例5 求478×296×351除以17的余数。
3 ^0 k- F# A; [! f# E
　　分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。

　　478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。

　　所求余数是1。
- Z% i% x9 d* @7 Z0 c% d$ X
0 i) h0 Q' T3 O$ A+ J$ p# l　　例6 甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？

& H& I/ `( Q  I0 w2 H0 M　　分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。
. h( d4 a3 l$ q5 Y
　　因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。
6 P0 G5 W4 w! B
$ F$ ~$ |7 Z9 T3 l- m) [6 |+ F+ P　　（11×25）÷36=7……23，

　　即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。
$ a4 m1 A: f& Z9 b) F
/ h$ w& v0 o5 {* b　　由例6看出，将实际问题转化为我们熟悉的数学问题，有助于我们思考解题。

xyzabc

新注册的人能够转这样的帖子是大师来点化大家的吗？

hippe

我就是新人啊。一直用的方法是八分线和等周期线。因为只能看到短线。看不到时间和级别
于是开始学习江恩。在网上搜索相关信息。就来到了论坛。从注册的那天到现在一直在看各位学长的帖子。发觉之前的理解。不是江恩或者和江恩有很大的偏差。
并受到论坛先辈的指点和启发。
觉得应该从基础来学习。然后加以扩展。
) x/ ]% m! n! J; K) h- i  n' }于是在网上寻找资料。
找到这些觉得好像很有用。
% ?& o' Z5 D: N发出来成贴
6 ~5 a' V8 F8 S& ~4 b+ X: w7 L$ V1.希望和大家共同学习。也希望已经通其理的人给指点迷津
2.希望这是个起点。能给比我还新的新人一些信息。
如果有打扰到各位坛友。或者不符合论坛的规则和要求。
. c; J3 `, a* s% B. ^) s. S; N请原谅
7 Z! P& `( g( n4 c2 |7 g, V因之前没有在论坛中进行交流（不知者不怪嘛！！ ）

xyzabc  谢谢您的关注。还谢谢你加的好多好多的分。

wuyin2025

axcqy

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