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黃金比例：數學、藝術到大自然的瑰寶
分類：黃金比例
2008/04/05 23:58
黃金比例：數學、藝術到大自然的瑰寶
文藝復興後期的克卜勒（Kepler，1571-1630）曾經說， 幾何學擁有兩件至寶，一件是大家熟知的畢氏定理，另一件便是黃金比例。歐幾里德在西元前三百年定義了「中末比」：把一條有限直線分割成兩段，當長線段與短線段之比等於全線長與長線段之比時，該比例記作 φ，也就是黃金比例，其數值約是 1.6180339887....，代數值是 x2-x-1=0 的正解。歐幾里德當初只是為了幾何推導的方便才定義出這個比例，可是，誰會想到黃金比例不但在神秘主義的五角星形出現，它還在數學與藝術的領域大放異彩！最重要的，黃金比例還隱藏在神奇的斐波那契數列（Fibonacci Sequence ）之中，因而它與大自然的演化動力學發生密切的關聯——無論是植物的葉序、向日葵小花的排列、螺旋星系的漩渦、鸚鵡螺的美麗貝殼、物質結構的準晶體，以及非週期性鋪磚、兔子繁殖問題與股市的波動起伏等等，各種風馬牛不相及的現象之中，都看得到「黃金比例」與「斐波那契數列」的蹤影。實在不能不談它們。
斐波那契數列（費波納奇序列）是歐洲人知道的第一個遞迴數列，它的內容是 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 …… 從第三項開始， 每一項等於前兩項的和，也就是 Fn+2＝Fn+1＋ Fn， 其中 Fn 代表序列的第 n 個數字，例如 144＝89＋55。 當 n 趨近於無限大，也就是當這個數列無限地列舉下去之時，Fn+1 / Fn 居然越接近黃金比例的值，例如 144 / 89=1.617 ...！看來截然不同的兩個數學物件怎麼會扯上關係？這個證明需要藉助到黃金比例的連分數變形，詳細內容你可以在 Mario Livio 教授的《 黃金比例 》（ The Golden Ratio）一書 p.133 - p.136 找到，在這本書裡，我們還會發現斐波那契數列許多令人意想不到的特性。假如我們把情人節送的玫瑰花瓣一片一片地拆開，看看花瓣是怎麼層層相疊的，其中按照的數學規則便是斐波那契數列的傑作，同樣的現象也可以在松樹毬果殼的鱗片排列中看到，就連鸚鵡螺貝殼的生長模式也受到黃金比例的調教！為什麼會這樣呢？這是牽涉到演化動力學的問題，大家同樣可以在《黃金比例》 p.145 - p.148 找到概要的說明 ，而我將在另一篇文章，專門地談談這方面的研究。
黃金比例不只出現在大自然裡，自從在文藝復興時期，黃金比例被譽為是「神的比例
」之後，它還在若干藝術家、建築師、設計師的作品中嶄露頭角。例如，達文西在繪畫與數學的探索裡應用了黃金比例，又例如，達利在一九五五年的畫作《最後的晚餐》突顯的立體景深，還有一個例子是，義大利設計家莫茲在一九八七年將斐波那契數列創作成《衝擊波》。但是真的如某些研究所說的，諸如《聖母的榮耀》、《蒙娜麗莎》等等畫作，諸如大金字塔、巴特農神殿等古代建築結構是根據黃金比例來設計的嗎？《黃金比例
》這本書的作者提出了以上的質疑。作者指出：我們看到很多例子，顯示黃金比例的熱衷者檢視了許多視覺藝術作品或建築物的比例，以求能夠發現黃金比例的應用，但是除了少數幾個以黃金比例作為其構作的樣式之外
，其他許多案例很可能只是誤會一場，這個誤會主要是測量時所用參考點的不同所造成的。作者花了好幾個章節的篇幅，想要破除黃金比例在藝術領域的迷思，黃金比例所呈現的美感往往是因人而異，黃金比例在藝術創作之中，並沒有佔據那樣顯著的地位，黃金比例反而是在數學，以及最意想不到的大自然現象裡
，展露它的重要性。
作者透過《黃金比例》這本書
，目的在於提出以下這個問題：是什麼原因使得數學，以及像黃金比例這類的數學常數，在許多領域裡
——從宇宙的基礎理論、生物的成長型態到股票市場——都扮演著關鍵性的角色？這也是愛因斯坦曾經提過的問題：數學，一個獨立於經驗之外的人類思想成果，怎麼可能與實際的物理現象契合得如此天衣無縫？而最令人震驚的是：為什麼物理定律本身可以用數學方程式來表達？難道正如古希臘的畢氏學派的格言所說：「所有的一切都是數字」？難道上帝是數學家？在最後兩章，第八章《從地磚到蒼穹》與第九章《上帝是一位數學家嗎？》，作者試圖回答這些難題——這也是我非常感興趣的謎題！
這是牽涉到數學哲學（在數學對象的本體論方面）最核心的爭議，在數學史上至少有兩派理論從不同的角度來回答。一派是柏拉圖主義或修正的柏拉圖主義，數學物件雖然是抽象的，但卻是獨立於時間、空間與人們的思維而客觀永恆地存在的，數學家所提出的理論不是創造，而是對於這種客觀存在的描述；假如我們要與宇宙另一邊的外星智慧文明溝通，把黃金比例 1.6180339887... 這個數字傳送過去，它們肯定瞭解我們的意思，也就是說，這個觀點認為：宇宙本身把同樣客觀的數學理型加諸於大家身上
，即使是數學家因為遊戲而提出的理論，也客觀地對應到大自然的某個結構，例如彭羅斯（Roger Penrose）當初消遣用的非週期性鋪磚（關聯到黃金比例），居然可以作為準晶體之存在的解釋。而另一派截然不同的觀點則認為，數學不能存在於人類的腦袋之外，它只是人類的創造、發明與建構，數學物件並不是客觀的實體，它們是被想像出來的；面對「為什麼數學在解釋宇宙現象時，有這麼大的威力？」此問題，這一派的回答是，純數學之所以能成功地轉為應用數學，只不過反映了觀念的生產過剩，而物理只不過是從這些生產過剩的觀念中，選出最適合它所需的而已。（其實
，關於數學基礎的看法有很多派別，包括柏拉圖主義、唯名論觀點、康德的概念論、約定論觀點、邏輯主義、直覺主義、形式主義、建構主義等等
，而這兩段所提及的問題，實際上應該分割成不同層次的子問題才對！）
這兩派並不能提出一個完全令人滿意的答案，《黃金比例》這本書的作者認為，我們應該採用這兩派觀點的互補，首先，數學規則（例如幾何或集合論的公設）確實是人類頭腦的創造物，可是這些規則一旦被確定之後，我們也就喪失了我們的自由；黃金比例首先是在歐幾里德幾何中被定義，斐波那契數列則是來自於數論的公設，可是，相鄰的斐波那契數字之比向黃金比例而收斂，這個事實卻是強加在我們身上的——儘管數學是人類想像力的產物，但是數學的確有其真實的屬性！作者藉由複雜系統理論大師 Stephen Wolfram 的鉅作《 A New Kind of Science 》（找個時間，我要好好介紹這本書， 書裡談到了細胞自動機這類的電腦模擬程式，Wolfram
認為，大自然的秘密在於應用簡單的程式去產生複雜性）所談到的觀點來表述自己的看法：至少這個被許多人視為是構成物理基礎的既存的數學世界，可能並非是獨一無二，換句話說，確定可以有一個和現有對大自然描述截然不同的描述存在，就我們所知的數學而言，它在所有可能用來解釋宇宙運作的簡單定律集合中，它只佔了微不足道的一小部份！——簡單講
，本書作者與 Wolfram 同樣認為，在歷史偶然下，數學是被發明出來的，它的「遊戲規則」是人制定出來的，可是一旦被發明出來之後，它也就有了自己的生命，而人類必須以柏拉圖觀點去發現它內蘊的所有屬性。（在另一篇文章，我將把這樣的見解與「擬經驗論」的觀點作一番比較！）
這篇文章我已經寫到尾聲。這本書的主旨與珍貴之處，就是藉著「黃金比例」的奇妙性質來提出上述的問題，而作者試圖作出合理的解答，我認為這個解答雖然不夠精緻、也沒有正面回答問題，可是還算是一個不偏執的答案。這本書有一點可惜是，沒有把黃金比例與眾多大自然現象的內在聯繫作個更清楚的描寫，由於作者想要在更大的框架內，談數學與大自然／物理的關係，所以擠壓了原本可以「仔細」寫黃金比例的部分。作者還談了不少「題外話」，其中有個部分我一定要說說，作者在兩處舉例談到「看似隨機的過程，卻能夠產生決定性的結果 」， 在 p.271 - p.273，如果把斐波那契數列改成是 Fn+2＝Fn+1 ±（隨
機加或減）Fn ，產生的新數列如果只看這些數值的絕對值，這個隨機數列居然仍舊以明顯可預期的速度不
斷增加，而且第一百項與 1.1319882 .... 這個數字的一百次方非常接近，符合的機率是百分之百。在 p.279 - p.283，作者提到了「 班佛（Benford）定律」：如果隨機選擇數據的分布，再從這些分布中隨機選擇數字樣本，那麼會發現，某數開頭的數字出現的頻率是趨向某個固定值，例如 1 開頭的機率是 30%，2 是 17.6%，3 是12.5%，4 是 9.7%，5 是 8%， 6 是 6.7%，7 是 5.8%， 8 是 5%， 9 是 4.6%，這個定律實在是令人大吃一驚。從這兩個例子，我們又該如何解釋這種意料之外的事實呢？似乎就如同當初我們想像不到，黃金比例與大自然有如此密切的關聯那樣！數學與物理／確定性與機率性，其實還有很多我們未知的謎團、難以釐清的糾葛。 |
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楼主: river.
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楼主
发表于 2010-10-15 07:05:58
