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數學預測超準？
分類：數學哲學
2009/10/17 12:43
數學預測超準？

美國一位學者表示，他可以利用數學，以及一部手提電腦來預測未來，準確程度達 9 成。到目前為止，這位科學家已成功預測了好幾宗國際新聞。這回，他預測出伊朗不會製造核彈，哥本哈根聯合國氣候變化大會注定失敗。

英國《衛報》報導，紐約大學教授布埃諾‧德梅斯基塔總是鐵筆直斷。例如在 2008 年，他即預測當時巴基斯坦的總統穆沙拉夫會下台，而這個預言在 1 個月內即告靈驗。

這次，布埃諾‧德梅斯基塔除了樂觀地認為伊朗不會製造核彈，還相信美國只要倍增對巴基斯坦的援助金額，巴基斯坦局勢將可以穩定下來。不過，他也悲觀地指出， 12 月丹麥哥本哈根的聯合國氣候變化大會注定失敗。如果布埃諾‧德梅斯基塔的預測準確，以上數項預測將成為未來數月的頭條新聞。

美國中央情報局斷定，即使時事分析專家們猜錯，布埃諾‧德梅斯基塔的模型也應該能準確預測事件的走勢，因為他的準確程度達到 9 成。

香港《大公報》指出，布埃諾‧德梅斯基塔完全不是巴基斯坦、氣候變化和伊朗這 3 方面問題的專家。他的專業是博弈論：這個數學的分支研究人們互商討價還價的技巧。

布埃諾‧德梅斯基塔之所以預測伊朗不會製造核彈，是以 4 組資料為基礎：
第一，伊朗、美國及其他方面的決策人是誰；
第二，這些人的目的為何；
第三，這個問題對他們有多重要；
第四，他們有多少影響力。

他的模型然後就會算出這些參與者彼此會如何像化學元素般互動。

而它的結論是到了 2010 年底，伊朗將決定製造足夠的武器級燃料，從而向全世界證明它真的知道如何製造核武，但卻不會真正製造核武。

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科學家首次呈現最美數學結構：共248維

2010-01-09 09:56:15  


最美的數學結構
　　中評社北京1月9日電／在有關奇特晶體的實驗室實驗中，一個複雜的與弦理論有關的數學對稱形態第一次呈現在真實世界面前，它就是248維對稱結構。

　　據新浪科技引述英國《新科學家》雜誌報道，19世紀晚期，數學家發現了複雜的248維對稱結構，被稱之為“E8”。這個結構的維數所代表的並不是一個與我們生活的三維空間類似的必要空間，但它們卻與數學自由度相符合，每一個維數代表一個不同的變量。

　　20世紀70年代，這種對稱形態出現在與弦理論有關的計算中。弦理論是“萬有理論”的一個候選者，可能解釋宇宙中所有的力，但它仍需要通過實驗進行驗證。此外，248維對稱結構也是2007年由物理學家加勒特.里希提出的另一個萬有理論的基礎。他將E8稱之為“最美的數學結構”。現在，物理學家又在一個截然不同的領域──超低溫晶體實驗──發現E8。

　　牛津大學的拉杜.科爾迪亞及其同事對一個由鈷和鈮構成的晶體進行冷凍，使其溫度降至只比絕對零度高0.04攝氏度的程度。晶體內的原子排列成長長的平行鏈。由於一種被稱之為“旋轉”的量子特性，依附在這些原子鏈上的電子表現出類似條形磁鐵的特性，每一個的指向只能是向上或者向下。

　　在對晶體施加一個強大的5.5特斯拉磁場，與這些電子“磁鐵”的方向垂直時，奇怪的事情發生了。鏈條內旋轉的電子會自發地呈現出各種樣式，拿3個電子這樣一個簡單例子來說，它們的方向會是上上下或者下上下以及其它可能性。每一個截然不同的樣式擁有與之相關的不同能量。這些不同能量水平的比率顯示，旋轉電子按照E8對稱結構中的數學關係自我調整。

　　現在就職於新澤西州皮斯卡塔韋大學的亞歷山大.查莫羅德契可夫在1989年指出，在理論上預測的類似系統能量與根據E8對稱結構得出的預期相符合。但其深層次的原因仍舊是一個謎。紐約厄普頓布克海文國家實驗室的羅伯特.科尼克表示，事實是：這樣一個簡單系統──基本上由一維磁鐵鏈構成──應該表現出令人吃驚的負責對稱性。

　　科尼克並沒有參與這項實驗。他在接受《新科學家》雜誌採訪時說：“面對這個系統，你並不會期望它能夠在現實世界出現。能夠在現實世界觀察到數學世界這個如此怪異的角度真的是一件非常引人注目的事情。”

　　科尼克指出，雖然E8確實在弦理論計算中出現，但在磁晶體實驗中觀察到這種對稱結構並不能為弦理論本身提供任何證據。他說：“事實是，你在這樣一個旋轉鏈中看到這個獨特的對稱結構對於弦理論本身並不意味著什麼。這種對稱結構存在的意義在於，能夠與任何獨特的物理學現象分離開來。”出於某種原因，這項實驗同樣無法為里希提出的立基於E8的萬有理論提供任何支撐。

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宇宙黑暗物質存在？ 歐大型強子對撞機偵測
分類：數學哲學
2010/03/09 17:54

2010年3月8日  宇宙黑暗物質存在？ 歐大型強子對撞機偵測

探索宇宙誕生秘密， 大型強子對撞機2010年2月28日再次啟動。

歐洲核子研究組織（CERN）負責人2010年3月8日表示，科學家認為黑暗物質佔宇宙組成的1/4，但卻從未證實該物質存在，現在物理研究中心的大型粒子對撞機可能偵測到了。

研究組織負責人休特（Rolf-Dieter Heuter）在記者會上指出，黑暗物質的部分證據近期內可能從質子對撞中浮現，這項高能對撞的目標在於，重現宇宙約137億年前誕生時的「大霹靂」狀態。

休特表示：「我們不清楚黑暗物質是什麼。我們的大型強子對撞機（LHC）可能是首部帶我們深入了解黑暗宇宙的機器。」歐洲核子研究組織設在瑞士與法國邊境，靠近日內瓦。

他說：「我們正開啟通往新物理學的大門，也通向探索的時期。」

天文學與物理學家指出，目前只知宇宙5%的物質，剩下的隱形物質由黑暗物質與黑暗能量組成，兩者各佔25%與70%。

休特表示：「如果我們能偵測並了解黑暗物質，對宇宙的認識將擴大到30%，向前邁進一大步。」（譯者：中央社林仟懿）

美國科學家稱暗物質或許就存在于地球之上(2010年3月3日)

　　“1E 0657-56”星係團，也被稱為“子彈星係團”，距離地球38億光年。通過研究這類星係團，科學家能夠測量出暗物質的不可見影響。

　　據美國太空網報道，神秘的暗物質一直以來都是自然界的未解之謎，引起了科學家們的探索和爭論。近日，美國“低溫暗物質搜尋計劃”項目組科學家研究指出，暗物質或許就存在于地球之上。

　　暗物質就因為它“模糊、隱晦”的特點而很難發現。事實上，科學家們也不知道究竟何為暗物質。由于暗物質既不釋放任何光線，也不反射任何光線，因此最強大的天文望遠鏡都無法直接探測到它。自20世紀70年代以來，科學家們根據對許多大型天體之間，如星係之間的引力效果的觀測發現，常規物質不可能引起如此大的引力，因此暗物質的存在理論被廣泛認同。

　　根據科學家們的理論，暗物質通常也不會與大多數常規物質結合。有的觀點認為，暗物質能夠直接穿越地球、房屋和人們的身體。一些科學家已經開始在地下尋找暗物質粒子存在的證據。

　　美國明尼蘇達大學科學家安吉拉-雷塞特爾是“低溫暗物質搜尋計劃”項目組成員之一。雷塞特爾表示，“就在我們的周圍，存在一種暗物質流。每時每刻都存在一種交互。”她是在近期舉行的美國物理學會一次會議上發表這一理論的。

　　在最新一期《科學快訊》雜志上，雷塞特爾和同事們發表論文聲稱，他們最近發現了兩起事件，這些事件可能就是由暗物質撞擊探測器所引起的。雷塞特爾表示，“我們此前的探測結果從來沒有如此發現，這是首次。”

　　“低溫暗物質搜尋計劃”位于明尼蘇達州地下大約700米的一個礦井中。因此，礦井可以阻止其他任何物質抵達實驗設備，除了暗物質。這樣宇宙射線和其他粒子可能會與暗物質粒子混淆的可能性已基本被排除。探測器本身也主要是由鍺元素或硅元素組成的曲棍球形狀的小塊。如果鍺或硅原子的原子核被暗物質粒子擊中，它就會反彈並向探測器發送一個信號。

　　科學家發現，宇宙中的暗物質與一些小型的臨近星係密切相關。這些星係只有數顆恒星，但它們的質量卻是這些恒星單獨質量的一百倍。這種隱藏的物質就被科學家稱作暗物質。

　　然而，研究人員也無法完全確定他們所探測到的兩個信號究竟是由暗物質粒子還是由其他粒子引起的。這兩個信號太少，因此科學家們也無法確定。據科學家介紹，他們的計算曾經預測到背景可能會引起一次假事件。“低溫暗物質搜尋計劃”將繼續進行他們的實驗以期發現更多實質性的信號。

　　地球上另一項探尋暗物質的嘗試聚焦于強大的粒子加速器，這類加速器可以將亞原子粒子加速到接近光速，然後讓它們相互碰撞。科學家們希望通過這種難以置信的高速碰撞從而產生奇異粒子，其中包括暗物質粒子。

　　然而，即使採用最強大的粒子加速器，至今也未能發現暗物質的任何跡象。美國馬裏蘭大學科學家薩拉-恩諾表示，“你也許會問為什麼會這樣，為什麼組成宇宙大部分的物質粒子為什麼在我們的加速器中從來沒有發現過。”原因之一可能就是他們的加速器還沒達到足夠強大。

　　科學家們也無法確定暗物質粒子究竟有多大，有多重，以及究竟需要多大的能量才能夠在實驗室中發現它們。或許在任何加速器中都無法找到暗物質粒子。恩諾表示，“我們或許不知道這樣一個事實，那就是暗物質粒子是我們無法制造或探測到的粒子。”

　　現在，最大的希望就寄托于新型的粒子加速器大型強子對撞機身上。恩諾表示，“大型強子對撞機或許會最終讓我們獲得足夠的能量以產生暗物質粒子，並在撞擊中發出它們。”恩諾也是大型強子對撞機緊湊型μ子螺旋型磁譜儀實驗項目組成員之一。(彬彬)

东儿

真长，看完了。谢谢！

东儿

晕，还有许多啊！辛苦！

river.

國際弦理論大會         分類：數學哲學
    2010/03/11 10:04
  
      2006年6月20日：國際弦理論大會
正在大陸訪問的著名物理學家霍金，昨日在北京發表首場演說時發生一段小插曲，由於大批聽眾、媒體未理大會勸阻，向霍金瘋狂拍照、閃光燈連閃十分鐘，令大會主持、著名數學家丘成桐動怒，大罵：「霍金在香港時，不會出現這樣的情況！」
霍金出席在北京舉行的「國際弦理論大會」的開幕式，併發表以《宇宙的起源》為題的演說。已在京城掀起的「霍金旋風」，令人民大會堂擠滿六千三百人。當霍金出現在主席臺上時，大批熱情的觀眾及傳媒涌向臺前，場面混亂。

　　聽眾拍照使霍金的演講推遲開始。
　　

　　世界著名科學家安地·斯特羅明格（Andrew Strominger）出席會議並進行演講。
　　

　　諾貝爾物理學獎得主大衛·格羅斯（David Gross）出席會議並進行演講。

丘成桐：在香港不會這樣
管主辦單位已作呼，但不少人仍用閃光燈拍照，致使霍金無法使用輪椅上的電腦「開口」演說。主持大會的丘成桐十分生氣，多次以英語、普通話要求人群有秩序地散開，最後更即場批評：「霍金在香港時，不會出現這樣的情況！」
混亂持續近十分鐘，表現無禮的拍照者才陸續散開。霍金首句話是：「Can you hear me?（你們能聽到嗎？）」台下傳來如雷掌聲，熱烈回應說：「yes！」霍金正式開始演說。
昨日的聽眾多數為北京及由天津、河北等周邊地區來的大、中學生。不少學生表示，雖未能完全理解霍金的理論，但有幸一睹這位當代大師的風，深感興奮和激動。
霍金在北京人民大會堂發表演說，因媒體及與會者用閃光燈拍照，場面大亂。
霍金昨在京演講數百聽眾瘋狂圍堵

昨日，北京人民大會堂，斯蒂芬·霍金在會議上演講
昨天上午，2006年國際弦理論大會在北京開幕，世界著名學者D.格羅斯、A.斯圖明格、S.霍金作了精彩報告。著名的物理學家霍金出場，招致場內數百聽眾瘋狂的圍追堵拍。
當主持人丘成棟宣佈霍金將要出現時，幾百人手持相機迅速衝向臺前，瞬間一片閃光。
丘教授勸說了7分鐘左右，人群卻絲毫沒有減少。直到他稱要請出保安，人群才逐漸散去。據介紹，閃光等會影響到霍金的眼睛和語音識別器，造成語言表達困難。
霍金安靜地坐在輪椅上，歪著腦袋。略帶美國口音的機械聲音緩緩響起：“Can you hear me?”（你能聽見我說話嗎？），頃刻間場內爆發出雷鳴般的掌聲，持久而熱烈。
接下來，“Why are we here?Where did we from?”(我們為何在此？我們從何而來？)，以這兩個問題開場，霍金便開始通俗易懂地講述了宇宙的歷史。演講結束後，又有部分聽眾衝到臺前拍照。
　　據介紹，連接了電腦顯示器的輪椅，能夠通過霍金臉部肌肉的微妙變化，識別他想要表達的意思，並處理成文字，通過顯示器或者聲音表達出來。霍金的助理說，去年他還能用手指來說話，現只能動眼皮了。
演講內容
霍金：宇宙未來無法確定
霍金教授在講座中分析人類為何在此，又從何而來，討論他廣為傳頌的“大爆炸”理論觀點及其他新的發現，其中包括想像的時空中，宇宙是沒有邊界的猜想。
霍金最後指出，我們正接近回答這古老的問題：我們為何在此？我們從何而來？

霍金新解“宇宙起源”

2006年國際弦理論大會在人民大會堂開幕

昨日上午，2006年國際弦理論大會在人民大會堂開幕。在開幕式上，世界著名科學家、康橋大學教授斯蒂芬·霍金作題為《宇宙的起源》的報告。霍金稱，愛因斯坦的廣義相對論無法預言宇宙如何由大爆炸而形成，如果把廣義相對論和量子論相結合，就有可能預言宇宙是如何起始的，“這是回答我們為何在此，我們從何而來的宇宙學的核心問題。”
患有肌肉萎縮症而長年坐在輪椅上的科學天才霍金教授被稱為“當今世界的愛因斯坦”，在統一20世紀物理學的兩大基礎理論———愛因斯坦的相對論和普朗克的量子論方面走出了重要一步。
他是英國皇家學會會員和美國科學院外籍院士。
■報告摘錄
1 如果上帝是開端，開端之前上帝在做什麼？
“如果上帝是開端，開端之前上帝在做什麼？”霍金以中非Boshongo人關於Bumba上帝創造世界及人類的傳說開頭，頗具吸引力，引導大家思考。
“為何我們在此？我們從何而來？”霍金介紹，一些人不相信宇宙具有開端，早期相信宇宙具有開端的人，將開端當做上帝存在的論據，把上帝當做宇宙的第一原因或者原動力。
2 150億年之前是宇宙的開端？
霍金介紹，20世紀20年代當埃德溫·哈勃通過實驗發現，宇宙隨時間而改變，它正在膨脹，星系之間的距離隨時間而增大。這不像原先所有人以為的那樣。
　　霍金認為，宇宙膨脹是20世紀或者任何世紀最重要的智力發現之一。它轉變了宇宙是否有一個開端的爭論。如果星系現在正分開運動，那麼，它們在過去一定更加靠近。如果它們過去的速度一直不變，則大約在150億年之前，所有星系應該一個落在另一個上。這個時刻是宇宙的開端嗎？
3 空間微波或為宇宙開端的證據
霍金說：“1965年10月，人們得到了確認宇宙有一個非常密集開端的思想的觀察證據，那是發現了貫穿整個空間的微弱的微波背景。這些微波和你使用的微波爐的微波是一樣的，但是比它微弱多了。它們只能將比薩加熱到攝氏負270.4度，甚至無法將比薩化凍，更不用說烤熟它。實際上你自己就可以觀察到這些微波。把你的電視調到一個空的頻道去，在螢幕上看到的雪花的百分之幾就歸因于這個微波背景。早期非常熱和密集狀態遺留下的輻射是對這個背景的僅有的合理解釋。隨著宇宙膨脹，輻射一直冷卻下來，直至我們今天觀察到它的微弱的殘余。”
4 世界不是一塊平板
“為了理解宇宙的起源，我們必須把廣義相對論和量子理論相結合。詢問在時間的開端會發生什麼，有點像當人們認為世界是平坦的，詢問在世界的邊緣會發生什麼一樣。世界是一塊平板嗎？海洋從它邊緣上傾瀉下去嗎？我已經用實驗對此驗證過。我環球旅行過，我並沒有掉下去。正如大家知道的，當人們意識到世界不是一塊平板，而是一個彎曲的面時，在宇宙的邊緣發生什麼的問題就被解決了。然而，時間似乎不同。它顯得和空間相分離。像是一個鐵軌模型。如果它有一個開端，就必須有人去啟動火車運行。” 貝殼快報報道。
5 宇宙的起源有點像沸騰水中的“泡泡”
霍金教授稱，宇宙的起源有點像沸騰水中的“泡泡”。他說：“宇宙的開端，可能出現了許多‘小泡泡’，然後再消失。‘泡泡’膨脹的同時，會伴隨著微觀尺度的坍縮。一些坍縮的‘泡泡’，由於不能維持足夠長的時間，來不及發展成星系和恒星，更不用說智慧生命了。但一些‘小泡泡’膨脹到一定尺度，就可以安全地逃離坍縮，繼續以不斷增大的速率膨脹，形成了我們今天看到的宇宙。”
霍金認為，如果廣義相對論和量子論相合併，就可能預言宇宙是如何起始的。這兩個理論的結合預言，在這個稱作暴脹的時期，微小的起伏會發展，導致星系、恒星以及宇宙中所有其他結構的形成。對宇宙微波背景中小的非均勻性的觀測，完全證實了預言的性質。
這樣，我們似乎正朝著理解宇宙起源的正確方向前進，儘管還有許多工作要做。當我們通過精密測量空間航空器之間的距離，進而能夠檢測到引力波，就會打開極早期宇宙的新窗口。
霍金說：“我們已經觀察到，宇宙的膨脹在長期變緩後，再次加速，現有的理論仍不能很好地解釋這個現象。宇宙學是一個非常激動人心的學科。我們正接近回答古老的問題：我們為何在此？我們從何而來？”
■相關新聞
弦理論有望破解部分世紀難題
600國際知名科學家在京探討頂尖科學問題
本報訊 昨日，2006年國際弦理論大會在人民大會堂開幕。此後6天，來自世界各地的600多名科學家將研討“黑洞”、弦理論等前沿課題。剛剛成功破解“龐加萊猜想”的我國學者曹懷東、朱熹平及其老師丘成桐也將作學術報告。
出席會議的科學家來自世界各地，他們之中有世界傑出科學家D·格羅斯、斯蒂芬·霍金、丘成桐、E·威騰、C·瓦法、A·斯圖明格等數十位國際著名學者，未來6天的會議裏，他們將作53場學術報告，並和與會專家當面討論。
斯圖明格表示，他在各種公開場合做過類似演講，但在中國為數千人做演講，如此大規模還是第一次。他表示，有理由預見中國對相關基礎學科方面的重視，中國已經逐步在這些領域取得越來越重要的成就。
中科院晨興數學中心工作人員介紹，弦理論是現在最有希望將自然界的基本粒子和四種相互作用力（包括引力）統一起來的理論，它第一次將二十世紀的兩大基礎理論———廣義相對論和量子力學結合到一個數學上自治的框架裏，有可能解決一些長期困擾物理學家的世紀難題，如黑洞的本質和宇宙的起源。專家預測，弦理論的實驗證實將從根本上改變人們對物質結構、空間和時間的認識。
據悉，此次大會將同時在杭州、西安、蘭州等地舉辦衛星會議。會議的內容以弦理論為中心，並兼顧與宇宙論、凝聚態物理間的聯繫。
■花絮
外地大學生坐飛機趕場看霍金
一些聽眾對演講內容並不太理解，但表示不虛此行
作為昨日上午第三位作報告的科學家，霍金11時30分左右方才出場。當他標誌性的“輪椅機器人”被推上講臺，立即引得全場驚呼。有的外地學生為了看一眼心中的偶像，甚至利用考試間歇遠道來京，聽完講座後立即坐飛機返回去參加第二天的考試。
這已經是霍金第三次來京，不少大學生從全國各地慕名而來。華東師範大學、復旦大學、上海大學、上海天文臺等高校和科研院所組織部分學生來京，東北也有高校學生專程趕來，“我的一位朋友昨天下午剛到，明天還有考試，下午就坐飛機回去。”人群中一名學生介紹。
　　11時30分，會議主持人、著名科學家丘成桐宣佈演講題目後，霍金的助手David將霍金徐徐推到講台中央，人民大會堂一層和二層看臺上的觀眾都沸騰了，不少人站起來，頻頻舉起相機拍照。數百人涌到講台中央位置，近距離目睹霍金風采。
“請記者和觀眾退到原來位置，讓霍金的機器工作。”丘成桐介紹，霍金的語音轉換機器只有在光線穩定的條件下才能更好工作，該機器前端夾在霍金眼皮下方，通過捕捉霍金的眼球及臉部肌肉運動信號，及時通過“智慧桿”反饋至他膝蓋上方的電腦螢幕上，由文字最終轉換成語音。機器略微調試後，聽眾終於再次聽到了闊別4年的霍金合成音———地道的美式英語。
由於三位科學家的演講都未設同聲傳譯，演講中又涉及不少專業名詞，一些聽眾對演講內容並不太理解，但都表示不虛此行，“終於親眼見到了霍金等知名學者，機會難得，他們的學問之後還可以仔細琢磨。”來自北京理工大學的一名大一男生說。

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2006年06月20日：霍金第3次中國之行,參加國際弦理論大會，在北京舉行
2002年08月14日：霍金第2次中國之行,參加國際數學家大會弦理論會,在浙江大學舉行
1985年：霍金第1次中國之行在合肥大學的講演

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金融交易市場可當作粒子加速器？

——金融物理非Abel規範建模

2009-10-12

馬金龍①,②，馬非特②

（①中國科學院廣州地球化學研究所  廣州 510640；②長沙非綫性特別動力工作室  長沙 410013.

聯繫人，E-mail: majl@gig.ac.cn, mafeite@tom.com）



摘要  金融物理規範建模是將與經濟相關聯的整體相互作用活動，連續映射到市場變化的價格上，對高頻交易資料進行時空重構，以微分幾何途徑求解非綫性孤波解。比照高能物理粒子加速器對物質結構的研究，都運用了規範場理論、力的時空幾何（量子）化等數學原理，以此應可猜想金融市場與粒子加速器的研究物件當具有對偶對稱性。



2005年，詹姆斯·西蒙斯（James Simons）爲美國布魯克海文國家實驗室籌集到1300萬美元後，實驗室的一項實驗才得以繼續[1]。西蒙斯一直熱心贊助美國的數學教育，也爲清華大學捐建了清華陳－西蒙斯樓（Chern-Simons Hall），因爲，他認爲數學是促使他走上成功之路的重要因素。西蒙斯是一位數學家，曾擔任紐約州立大學石溪分校數學系主任，直接證明了Berger和樂群分類定理的；解决了高維的Bernstein猜想；于1974年與現代微分幾何之父陳省身聯合發表了著名的論文《典型群和幾何不變式》，發現了Chern-Simons不變數幾何定律, 在理論物理方面具有重要的意義，廣泛應用于從超引力到黑洞[2]。在陳省身建議下[3]，于1978年西蒙斯轉入金融界，創立Renaissance Technologies Corp，2005年資産淨值約爲25億美元，現爲美國著名的金融家。西蒙斯聘請了許多數學、理論物理學、量子物理學和統計學等領域的專家共同開發模型，除兩位元是華爾街老手外，從不雇用來自商學院和華爾街的職員。Renaissance的背景幾乎與華爾街一點都不沾邊，這在世界投資公司中幾乎是獨一無二的；在各種市場上的交易策略全爲數值分析方法，而不是基本面分析方法；在决策經營中發揮著决定性的作用是，運用統計方法建立風險投資的數學預測模型，即以電腦建模來發現市場無效，進行短綫交易操作。但在某些特定情况下，比如市場處在極端波動（臨界點出現）的時候，交易會切換到手工狀態。西蒙斯也相信，基金如果規模太大收益率就會下滑。針對西蒙斯在投資領域所取得的卓越成就，拓展了弦理論(String Theory)幷提出了M理論的物理學家愛德華·魏廷（Edward Witten）教授稱贊道：了不起的是這位成就卓越的數學教授能闖出另一片天地[2]。然而，作爲投資管理人和幾何學家的西蒙斯爲什麽要聘請許多理論物理學和量子物理學的專家，幷如此熱衷于粒子加速器呢？是不是在金融市場與高能物理粒子加速器之間存在著某些相關性呢？這是確實是一件令人難以理解的事情。不過，我們近年在中國金融市場（股票和期貨）中的研究和實踐表明，金融市場交易系統提供的各種高頻資料相當于一般物理系統中的真實實驗資料，類似于粒子加速器的觀測資料，這些觀測資料可以被應用于規範建模，爲驗證或推翻甚至建立任何相關理論提供了手段和直接證據。

      ……

四十多年來，美國和歐洲已經花費了上百億美元的巨資去造更大的粒子加速器，就想找到希格斯玻色子（Higgs Boson），可是到現在還沒有找到。近十來年，加速器能量增加率的下降，是不是已達到了加速器潜力的一些固有的物理限制，或是什麽其他限制[34]。于是有人預言，要找到希格斯玻色子，一定要有比現在最大的加速器更大上幾個數量級的加速器，所需的資金也許會超過整個地球的經濟能力；要探索宇宙的大統一問題，需要建立一台環繞地球一周的加速器；要實驗驗證和證僞超弦論，需要建造一個尺度大如銀河系的粒子加速器才行。顯然，製造上述類型加速器是不現實的。由此看來，試圖仍然依賴于這類加速器來探索物質結構研究是難以獲得重大發現的。現實情况也證實了這一點，美國對粒子物理學的支援已經出現了停滯現象，許多大型專案被關閉：費米國家實驗室的Tevatron計劃將于2010年關閉，實驗室的未來前途未蔔；超級超導對撞機原本可能會成爲世界最大的加速器，但在1993年，美國國會中止了正在德克薩斯州建造的這一專案，當時已經耗資20億美元[1]。

面對建設加速器的規模大、投資高、周期長，給粒子物理實驗帶來了不可逾越的困難，以及無法進一步從粒子加速器和大型探測器等大科學工程中獲取探索粒子物理奧秘的資料困難，或許另辟尋找新型的人造“高能物理粒子加速器”途徑是明智的選擇。我們的途徑是，建立金融物理規範模型，將與經濟相關聯的整體相互作用活動，連續映射到市場變化的價格上，對高頻交易資料進行時空重構，以微分幾何途徑求解非綫性孤波解。實盤交易（實驗）證實金融交易市場有一種新的物質與能量存在形式。比照高能物理粒子加速器對物質結構的研究，都運用了規範場理論、力的時空幾何（量子）化等數學原理，以此應可猜想金融市場與粒子加速器的研究物件當具有對偶對稱性。由此，我們預言金融交易市場可當作粒子加速器。應該指出的是，目前金融交易市場這個加速器已經擁有數億的市場參與者，幷通過Internet形成了環繞地球的現代網路體系，共同組成了一個在金融市場的彎曲時空中快速演化的博弈系統（另文論述），爲提供進一步揭示物理世界奧秘的資料創造了良好的條件。其更爲深刻的科學意義是，自愛因斯坦統一場論以來，相互作用統一理論思想的令人震驚的延拓，可能預示著物理學以外的經濟與社會領域新的科學範式。

致謝 本工作得到孤子基金的專案資助。

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科學家稱能解釋宇宙為何並非由反物質組成
分類：數學哲學
2010/05/21 19:02

科學家稱能解釋宇宙為何並非由反物質組成

2010年05月21日 11:05:09 　來源： 新華網

新華網消息：美國《紐約時報》5月18日刊文《解釋萬物存在的新線索》稱，物理學家發現了一條新線索，能解釋宇宙為何由物質、而不是反物質組成。以下為主要內容：

　　美國國立費米加速器實驗室的物理學家報告說，他們發現了一條新線索，可能有助于解開宇宙學的最大謎題之一，即宇宙為何由物質、而不是反物質組成。如果得到證實，這項發現將預示著日內瓦城外新建的大型強子對撞機將獲得重大發現，同時還將預示著人類可能會對自身存在作出解釋。

　　要是宇宙嚴格遵守數學定律，我們連死亡都無從談起，因為我們壓根就不會存在。根據愛因斯坦相對論和量子力學的基本原理，大爆炸過程中應當產生了同等數量的物質與反物質，它們隨後在致命的烈焰中迅速互相殘殺並同歸于盡，只留下一個大零蛋。然而我們居然存在，物理學家當然特別想弄清楚。

　　國立費米加速器實驗室的Tevatron粒子加速器曾經是世界上最強大的粒子加速器，直到去年冬天被歐洲的大型強子對撞機超越。在對Tevatron中進行的質子—反質子碰撞試驗進行數據篩選後，名為“DZero協作小組”的研究小組發現，碰撞產生一對對μ子(μ子是某種超重版的電子)的幾率比產生一對對反μ子的幾率稍稍高一些。因此，加速器內部微縮宇宙的狀態從正負相抵變成物質比反物質多出大約1%。

　　這項研究的牽頭人之一、來自英國蘭開斯特大學的根納季‧鮑裏索夫14日在位于伊利諾伊州巴達維亞的國立費米加速器實驗室說：“這個結果或許會提供一項重要依據，以供我們解釋宇宙為什麼是物質的天下。”

　　這些結果現在已經登在網際網路上，並且已經遞交給《物理學評論》期刊。

　　DZero小組成員、哥倫比亞科學家古斯塔夫‧布魯伊赫曼斯博士說，這項研究是否足以解釋我們的存在目前還不能確定。不過他說目前的情況是“相當樂觀的”。

　　目前觀測到的數量優勢大約相當于“標準模型”所預測數量優勢的5 0倍。標準模型是統治粒子物理學界長達二三十年的一套理論。這意味著，不管是何種原因導致B介子有如此行為，這一原因都將是物理學家期待已久的“新物理學”。

　　布魯伊赫曼斯博士說，最可能的解釋是，某種粒子此前沒有被標準模型預言，或是粒子間發生某種先前未知的反應。他說，幸運的是，“這些是我們應該可以在大型強子對撞機實驗中觀測到的”。

　　盡管如此，物理學家仍將屏息以待，直到結果被其他實驗證實為止。

　　國立費米加速器實驗室的理論學家喬‧利肯說：“因此，我不會說本次發現就等于看到了上帝的臉，但是它或許相當于看到了上帝的腳趾。”

river.

每個數字都是獨特的
分類：數學哲學
2010/06/06 10:07

每個數字都是獨特的

美國廣播公司報導，在奧斯卡最佳影片(雨人)中，(達斯汀霍夫曼)成功演繹了一位自閉症的白癡天才。而在現實生活中，現年31歲的英國男子(丹尼爾)無疑是真人版的雨人。

    丹尼爾從小患有自閉症，卻精通10國語言，對數字更有獨特的感應力。他能輕鬆將圓周率背誦到小數點後第2萬2514位，還能不假思索地說出某年某月某日是星期幾。丹尼爾應邀上美國廣播公司節目時技驚四座，因為他的心算速度比電腦還快！

    據報導，丹尼爾1979年1月31號出生在英國倫敦，是家中的老大。按照他的說法，他的生日算是他與數字結緣的特殊徵兆，因為31、19、79都是質數，而質數正是他的最愛，他能識別直到9973的每一個質數。

    在丹尼爾眼中，從1到1萬，每個數字都是獨特的，它們擁有不同的色彩、質地、形象甚至情感。對數字的形象化使他運算數學易如反掌。他說：數學具有對稱美。當他在做除法時，他能看到一個螺旋狀物體，一圈一圈盤旋而下。最後的形狀就是正確答案。

    除此之外，他還有驚人的語言能力。他會10國語言，並曾在短短7天內學會冰島語。他甚至還自創了包含1000多個詞彙的語言，並將它稱為(曼提語)。

xyoung1

太佩服楼主了，先回帖，安心再看

river.

數學的美麗境界
分類：數學哲學
2008/05/22 15:30


數學的美麗境界

數學是一種工具
「數學是世上唯一個國際語言，參議員。」 ---茱蒂佛斯特，電影《接觸未來》

數學科學研究院的院長色斯頓（WilliamThurston）把數學叫做是一種「腦具」（即腦中的工具），它可以讓我們觀看及表達我們不能以其他方法處理的觀念。但是，數學家不把他們的技藝認為是一種簡化計算或把實體世界秩序化的工具，他們對數學的瞭解是，數學可以表達、運算及發現事實，在這個意義下，數學是一種語言，也是一種文學，是一整盒的工具，以及用這些工具建立起的體系。

只是，數學並不具有那麼絕對的詮釋能力，人們常畏懼於他的威力及不可侵犯，數學只是一種標記，不是真相。數學家德福林 (Keith Delvin)說：「數字的問題是因為我們對數字態度是某種程度的敬畏，好像他們比文字更加可靠似的，這個信念大錯特錯。」

事實上，數字是每個人的第一件玩具，在《不只一點瘋狂》中提到，認知科學家發現，嬰兒的頭腦具有簡單的運算能力，而麻省理工學院的認知科學家品克（ Steven Pinker），在他的著作《心智的運作》（How the Mind Works）中寫道：「每個人都有數學家的天分。」例如，在生命最初的幾個月，寶寶會注意到環境中物件變化的數目，心理學家也證明，很多數學概念，像是「大於」、「小於」、簡單的數數、算數、幾何，都是幼兒固有的。

這些都說明「數學」不是特定的天才才擁有的能力，我們都有用數學詮釋世界，或表達的能力，只是，數學是我們運用的工具，對於有些人來說，他是一種神秘的、美好的、純淨的世界。這些人，就是我們所謂的「數學家」。



數學的美麗境界

數學家哈代（G.H Hardy）在《一個職業數學家的告白》中說道：「當艾勒其勒（Aeschylus）（希臘詩人兼悲劇作家）被遺忘時，阿基米德卻名留青史，因為語言會消逝而數學卻不然。『不朽』可能是個愚笨的字眼，但一個數學家可能有最佳的機會成就它所代表的一切。」

電影《美麗境界》中的JohnNash沈迷於數學中而瘋狂，《遇見哥德巴赫猜想》中的數學教授，也窮盡一生解開「哥德巴赫猜想」，最後發瘋而死。我們無法得出數學家特別不同於人的「瘋狂」結論，也不能論斷沈迷數學的下場，我們只能揣想，讓這些人沈迷的數學世界，究竟是怎麼樣？數學的美，究竟是如何？

在《遇見哥德巴赫猜想》的數學家便說道：「其實，真正的數學家的心裡性格是和詩人或作曲家相近，也就是關心美的創造及和諧卓越的追尋，他和務實派的人孓然相反。」哈代還說，數學家像畫家或詩人一樣，是做模式的人，如果數學家的模式比他們還耐久，那是因為它是用意念做成的。

我們可以用非常多的個案例子證明，數學家的生命不長，或是容易得到精神病，那也是因為他們像飛蛾撲火一樣，奮力地往最終極的程度飛去。在一般人心中不甚了解的行為，例如窮盡一生只為了證明一個定理或猜想，或是追求原創性，對他們而言，便是生命的目的。

庫朗數學中心的卡波爾（S. Capell）曾說，「所有的數學家都活在兩個世界。他們活在一個透明無瑕、完美的柏拉圖理想世界，然而同時也活在變化無常、模稜兩可、滄海桑田的現實社會。數學家穿梭於這兩個世界之間，在透明無瑕的世界中，他們是成熟的大人，但在現實世界裡，他們則大多像個幼稚的孩子。」



瘋狂數學家

因此，對很多人來說，數學家真是怪不可言，事實上他們也正是如此。歷史上最怪異的數學家非畢達哥拉斯莫屬了，畢達哥拉斯是「畢氏定理」（即直角三角形兩股的平方和等於斜邊的平方）的創造者，對他來說，數學是解釋宇宙萬物的方法，所有的數字都帶有幾何意義。

西元前五八○年，畢達哥拉斯出生於希臘的小島，後來成為雲遊四海的學者，接觸很多神秘主義跟宇宙論，後來，他在義大利南部組織了一個結合數學家與神秘主義者的秘密團體。畢達哥拉斯的追隨者奉行苦行生活，不吃肉，也不吃豆類，因為豆類形狀像睪丸。畢達哥拉斯學派的標語是：「數為萬物之源」，他們尊崇整數和由整數比所成的分數，這些都是有理數。畢達哥拉斯的追隨者崇拜這些數字，是因為他們具有神奇的特質。

然而，畢達哥拉斯的數學知識，其實早就為巴比倫人，甚至更早的人所知，尤其是畢氏定理，從挖掘出來的巴比倫遺跡中，便可證明巴比倫人早已發現。畢達哥拉斯唯一較強的，就是他證明出來這個定理而已。

利用畢氏定理發現，要是兩股都是1的直角三角形，會出現 √2的斜邊，這個數是無理數。這個發現嚇壞了畢達哥拉斯派的門徒，他們起誓不得將這秘密說出去，為此，畢達哥拉斯還親自處決了這個發現秘密的人。

畢達哥拉斯除了發現畢氏定理之外，也善於將世界用完美的幾何圖形詮釋，他特別能用黃金分割出完美的五角形，在他心中，數學就是完美的解釋世界的方法，他甚至用數字比來發現「音律」，設計出音階來。後來畢達哥拉斯被追殺，逃到一個豆田，因為堅持寧死也不躲入豆田而被殺死。



數學家的宿命

正因為數學家有異於常人的執著，因此再怎麼不合理、不切實際的事物，對他們的生命而言，那是最重要的。數學家艾迪胥說，「上帝有一本無限天書，裡面記載著各種定理和他們的最佳證明」、「如果數字不算美，我不知道還有什麼是更美的」。

然而，就如同我們觀賞《美麗境界》，發現這些數學家沈醉在自己的世界裡而不可自拔一樣，多數的數學家也各自有殘酷的生命關卡及限制。

哈代在《一個職業數學家的告白》中便說，年齡對數學家很重要，比起其他藝術及科學領域，數學更是屬於年輕人的天地，多數數學家都在年輕的時候就有成就，費爾茲獎（ Fields Medal，相當於數學的諾貝爾獎）也有年紀的限制。黎曼死於39歲、阿貝爾死於27歲，珈羅瓦只有20歲的生命，因此，數學家是極需要天分的，不能只靠後天的努力。

除此之外，數學界沒有銀牌哲學，第一位宣告並發表的人才會贏得一切的殊榮，這也就是 John Nash為什麼執著於要思考出原創性的理論，很多數學家也都沈迷在不可解的定理證明中。

正是因為這些壓力使得數學家快速燒盡羽翼，像牛頓早就放棄數學，霍金往天文物理學邁進，珈羅瓦腦力交瘁而英年早逝，康托爾住在療養院中。阿貝爾則死於肺結核，當他死的第二天，一封通知他成為柏林大學教授的信才送達他的家中。這些都是屬於數學家的美麗悲劇。



當數學與數學家相遇

羅素在十一歲第一次碰到數學的時候，就形容：「像初戀一樣令人目眩神迷。」三歲的高斯就能夠指正父親算數的錯誤，十歲就能找出 1加2加到100的快速算法，數學家艾迪胥四歲就能知道「負數」的概念，而貝爾的《數學家》啟發了12、13歲，原本數學拿B的JohnNash。

愛因斯坦在12歲時看到歐幾里德幾何原理振奮，JohnNash因為費馬定理感受到內在智識的力量而走上數學之路，高斯捨哲學而就數學亦是同樣的原因。

羅素便說：「數學，以正確的眼光觀之，所擁有的不只是真理，而且是至高無上的美—儉樸而冷酷，如同雕像擁有的美，沒有絲毫人類軟弱的本性，沒有畫作或音樂那麼絢爛的裝飾，他崇高而純粹，只有最偉大的藝術才能呈現他嚴格的完美。這種真正的喜悅，這種亢奮，不像人類所應體會到的存在。最優越的試金石，可以在數學中找到，當然詩中也可以找到。」

除了哈代要寫「辯白」澄清數學並非「無用」外，羅素也說，數學正身為被遺忘其在人類進化中的地位所苦，這個情形比希臘羅馬時代還慘，雖然傳統已經宣告大多數受教育的人應該對這門學科有基本的瞭解，但是做這樣宣告的目的已經被遺忘，埋葬於層層累贅與枝節的碎屑底下。那些探索數學的目的者，一般給他們的答案是數學的進步便於製造機械，……然而這些說法沒有一個可以把數學置於自由教育中，我們知道，柏拉圖認為致力於數學是因為他的真理配享神性，而且柏拉圖理解到，可能比誰都清楚，人生的那些東西在天堂真正佔優勢。

因此，儘管再不可思議，關於數學的美與數學的純粹，都是一種世界，就如哈代說的，「不管我們多麼微不足道，但他具有亙古不變的特性，不論他僅是一首詩，或是幾何定理，他總是有一點點永恆的性質，這些都非一般大眾能力所及。」、「在今日的古典與新潮的衝擊，知識爆炸的時代，數學有其特殊的一面，他既不是從畢氏才開始，也非到了愛因斯坦就結束，他是宇宙中最古老也最年輕的一門學問。」

這就是數學。

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river.

蜜蜂與數學
分類：數學哲學
2008/05/22 16:10

蜜蜂與數學

http://203.68.20.65/science/content/1996/00070319/0011.htm

【摘要】達爾文（Darwin, 1809～1882）說：」觀察到蜂巢而不稱讚者，是糊塗蟲。」到底蜜蜂的魅力在那裡？自然、生物與數學的關聯又如何？

蜜蜂採花釀蜜，生產花粉、蜂蠟、蜂王乳，並且幫忙植物散播花粉，傳宗接代。因此，蜜蜂跟人類的生活，關係密切。特別地，蜜蜂又跟數學結下不解之緣，很少有其他的昆蟲像蜜蜂這麼奇妙。

事實上，蜜蜂所牽涉到的數學，相當深刻而有意思，例如：蜂舞與極坐標、雄蜂譜系與Fibonacci數列、蜂巢的極值原理。在大自然的巧妙安排下，蜜蜂「不知亦能行」地遵循這些數學法則，實在令人驚奇。

自然充滿著神奇奧秘，等待著我們去發掘！

一個印度數學問題

在西元1000至1500年之間，印度最著名的數學家婆什迦拉（Bhaskara，1114～約1185 年）寫了一本數學書，叫做《麗羅娃蒂》（Lilavati），其中有一題以蜜蜂為主角。

帶著美麗眼睛的少女──

麗羅娃蒂，請你告訴我：

茉莉花開香撲鼻，

誘得蜜蜂忙採蜜，

熙熙攘攘不知數。

全體之半平方根，

飛入茉莉花園裡。

總數的九分之八，

徘徊園外做遊戲。

另外有一隻雄蜂，

循著蓮花的香味，

進入花朵中被困。

一隻雌蜂來救援，

環繞於蓮花周圍，

悲傷地飛舞低泣。

問蜂群共有幾隻？

利用代數方法，這題很容易求解。設蜜蜂共有x隻，根據題意列得方程式

√x/2+8x/9+2=x

化簡得

1x/9－√x/2－2=0（1）

本質上這是個一元二次方程式。

令 y=√x/2，則 x=2y2。從而（1）式變成2y2－9x－18=0，解得y＝6或 y=-3/2，但y=-3/2不合，故

x=2×62=72
因此，蜜蜂總共有72隻。

當我們學過一元二次方程式後，都知道像下列方程式

ax4+bx2+c=0            ax+b√x+c=0

a(αx2+βx+γ)2+b(αx2+βx+γ)+c=0

x2－18x－18/x+1 /x2=17

4x+2x+2+3=0              (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5=0
等等，只需經過「變數代換」都可以化成一元二次方程式。事實上，變數代換的技巧非常重要，透過它使我們能夠「以簡馭繁」或穿越「表象」抓住「本質」。值得注意的是，Cardano（1545年）求解三次方程式的成功，基本上就是利用變數代換的技巧，化約成求解「二次方程式」：

x6－ax3－b=0

古印度盛行運動競賽，其中有一關是解數學難題（頭腦體操）。於是有一本數學參考書開頭就說：能夠解出本書題目的人，將使太陽暗淡，星星失去光彩。上述蜜蜂問題就是書中的一個題目，可見在當時這是一道難題。不過，這一題趣味盎然，光讀題目就讓人眼睛發亮。

根據數學史，《麗羅娃蒂》是Bhaskara最出名的一本數學著作，Lilavati是他女兒的名字。有一個故事這樣流傳著：占星家預測 Lilavati的婚姻永遠無成，但是Bhaskara找到了一個解運的辦法。他做了一個可漂浮在水面上的杯子，底部開一個很小的洞，水可慢慢流進，一小時後若杯子沈沒就可擺脫厄運。在一個吉日良辰施行解運時，由於好奇心，Lilavati觀看杯中水逐漸上昇，突然有一顆珍珠從她身上掉入杯子裡，恰好堵住進水口，一小時後杯子並沒有沈沒，因此Lilavati 還是要面對永遠結不了婚的命運。為了安慰女兒，Bhaskara 說：「我要寫一本書，以妳的名字為書名，讓妳流芳萬世；因為好名聲是一個人的第二生命，也是不朽的基礎。」Bhaskara辦到了，並且心願也達成了。

蜂舞與極坐標

蜜蜂是群居性的昆蟲，嚴格施行分工合作的社會（經濟學家Adam Smith在1776年才開始提倡人類社會也應該分工合作）。一個蜂巢通常是由一隻后蜂（又叫蜂王，是體型最大的雌蜂）、約五萬隻的工蜂以及數百隻的雄蜂組成的。后蜂專司產卵，是蜂群共同生活中心；工蜂負責築巢、清潔、採蜜、分泌蜂王乳、守衛、餵食幼蜂等工作；雄蜂是「小白臉」，好吃懶做，只負責跟后蜂交配。受精卵孵化出雌蜂之幼蟲，若持續餵以蜂王乳就長成蜂王；若前三天餵以蜂王乳，以後餵以蜂蜜或花粉，就發育成工蜂，因此工蜂是雌蜂。后蜂所產的未受精卵就孵化為雄蜂，故雄蜂有母無父，這是奇特之處。參見圖一。

採蜜是工蜂最繁重的工作。首先是派出一些工蜂做偵察蜂（explorer），到處去找尋蜜源。當偵察蜂發現採蜜的地點時，回巢要如何告知同伴呢？這就是描述地點的問題。蜜蜂不會說話，如何解決這個難題呢？

我們人類描述地點的方式有很多種，例如從日常生活用語言說明、用手明指方向、畫張地圖、給出你家的地址、說出颱風所在的經緯度，到數學上更有效的直角坐標、極坐標、柱坐標、球坐標、廣義坐標等等。

然而蜜蜂沒有「語言」，怎麼辦呢？牠們有「跳舞語言」（the dance language），以跳舞的方式來傳遞訊息，描述地點，基本上就是極坐標！（我們不要受人類自己習以為常的「語言」框框所限制！）

奧地利動物學家Karl von Frisch（1886～1982）就是專門研究蜜蜂的跳舞語言與定向（orientation）而有成的人，他懂得「蜂語」，故被譽為「現代公冶長」（公冶長聽得懂「鳥語」）。由於對個別動物及其社會行為規律的研究有卓著的貢獻，Frisch與德國的Konrad Lorenz、荷蘭的Nikolaas Tinbergen在1973年一起得到諾貝爾生理學暨醫學獎。

根據Frisch的研究，當偵察蜂發現一處蜜源時，牠飛回巢就先放出氣味，並且在垂直的蜂巢表面上跳舞。基本上分成兩種舞步：圓舞與搖尾舞。

如果蜜源距離蜂巢超過100公尺，則跳搖尾舞。先走一小段直線路徑，再繞半圓，回到原出發點，然後走原直線路徑，再對另一側繞半圓，如此規律地反覆交替繞半圓。在走直線路徑時，還不斷地搖擺牠的下腹，這是「搖尾舞」名稱的由來。

如果太陽、蜂巢與蜜源的位置關係如圖二所示，那麼圖三就是相應的搖尾舞，其中有四隻尾隨者接到訊息（見參考資料1, p.57）。直線路徑偏離鉛垂線右方30°，這表示蜜源在太陽方向偏右30°的方向。至於蜂巢與蜜源的距離由單位時間的繞圈數決定，繞越多圈表示距離越遠。例如，每分鐘若繞18圈，就表示距離約為1000公尺。如果直線路徑垂直向上的話，就表示蜜源在太陽的方向。因此，我們看出偵察蜂並不是使用直角坐標，而是採用極坐標來傳遞訊息。鳥類與魚類也有類似的行為。

所謂極坐標就是，為了描述平面上P點（蜜源）的位置，於是在平面上選定一條半線（蜂巢與太陽方向之半線），叫做極軸，0點叫做極點（蜂巢），將極軸旋轉一個角度θ，遇到P點，OP= r，那麼P點的極坐標就是（r,θ），參見圖四。在極坐標的世界有許多美妙的幾何圖形，例如各種螺線、擺線（輪迴線）等，這些都是直角坐標方程式難於表達的。

如果蜜源在100公尺以內，偵察蜂就跳圓舞，參見圖五。這表示蜜源就在附近，請同伴出去四周圍轉一下就可以找到。實際上，在圓舞與搖尾舞之間還有一些變化形狀，在此就略掉不提。

由下面的數據我們可以體會到工蜂的辛苦與勤勞。工蜂採集10公斤的花蜜才能釀造出半公斤的蜂蜜，而工蜂必須出動八萬次，每次平均飛行兩公里才能採集到10公斤的花蜜。換言之，每釀造1公斤的蜂蜜，必須飛行 32萬公里，大約是繞地球8圈的距離。

Frisch的主要工作如下：在1910年證明魚可以看出不同的顏色；1919年發現蜜蜂透過身體的搖動來傳遞訊息；在1947年發現蜜蜂利用極化光來定向。他更在1967年出版《蜜蜂的跳舞語言與定向》一書（即參考資料1）。物理學家李政道曾說，他喜讀各種雜書，其中Frisch的這本名著就是他覺得特別有趣的一本。

雄蜂的譜系與費氏數列

我們提到過，雄蜂是由未受精的卵孵化出來的，故只有母親而沒有父親。進一步，我們考慮雄蜂的譜系，如圖六，我們發現一隻雄蜂歷代祖先的個數，形成一個費氏數列（Fibonacci sequence）：

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…即由首兩項1,1出發，任何一個後項都是前兩項之和。更有趣的是，若各代祖先適當排列的話，第七代的13位祖先恰好可以排成鋼琴八度音之間的13 個半音階（8個白鍵，5個黑鍵）。

除了雄蜂譜系之外，費氏數學在植物世界偶爾也可以觀察到。有些花草或樹木，其枝幹的分枝成長符合費氏數列的模式，如圖七所示。

你以後到野外郊遊或登山時，可以留意觀察或找尋看看有沒有符合費氏數列的樹木。筆者曾在登七星山的途中，發現一棵非常「費氏數列」的樹木。懷著一個問題或目標走入大自然，我們才能真正觀察到東西，生活也會更積極主動。

事實上，費氏數列最先是考慮兔子的繁殖引起的。中世紀歐洲最偉大的數學家Fibonacci（1180～1250）在1202年出版《算盤之書》（Liber Abaci），其中有一個問題如下：

假設任何一對新出生的兔子，兩個月後開始生一對新兔，以後每隔一個月都生一對新兔。已知年初有一對新兔，在不發生死亡的情況下，問年底總共有幾對兔子？

假設第n個月底兔子總共有an對，則按題意知

a1=1,a2=1（2）

並且

an+2= an+1+an（3）

（3）式是一個二階差分方程式，（2）式是初期條件。求解（2）與（3）就是要找出通項 an的公式，這有種種辦法。最早是在1718年由De Moivre求得，後來在1843年又由Binet重新發現（兩位都是法國數學家），答案是

an=1/√5 〔（(1+√5)/2）n－（(1－√5)/2）n〕（4）

此式今日叫做Binet公式，它含有兩個驚奇：其一是涉及黃金分割的比值(1+√5)/2，其二是整數數列（an）居然可用一些無理數的組合來表達。上述兔子問題的答案是a12=144。

費氏數列具有很豐富的數學內涵，適合於高中生作獨立地探索。它又是開展抽象線性代數的一個具體而重要的胚芽。

蜂巢的極值原理

自古以來，人類對於蜜蜂的勤勞以及蜂巢的巧妙精準，無不讚揚有加。從生物學的祖師爺亞里斯多德（Aristotle），到數學家Pappus，以及近代的博物學家達爾文（Darwin）都曾留下讚美的語句。

工蜂分泌蜂蠟築成蜂巢，做為后蜂產卵、育幼，以及存放蜂蜜、花粉的儲藏室。從正面看起來，蜂巢是由許多正六邊形的中空柱狀儲藏室連結而成，參見圖八，讀者若具有實地見過蜂巢的經驗當然是最好。

從整個立體的蜂巢來看，它具有左右（或前後）兩側的儲藏室，其截面如圖九；而圖十是一個柱狀的儲藏室，其底部是由三個全等的菱形面ASBR、ASCQ與PBSC所組成。

人類對於蜂巢的結構，由觀察產生驚奇，進而提出兩個數學問題：

（i）為何是正六邊形？

（ii）底邊為何是三個全等的菱形面組成？

下面我們就來探索這兩個問題。

第一個問題涉及古老的等周問題（isoperimetric problem）：即在平面上，要用固定長的線段圍成一塊封閉的領域，使其面積為最大，問應如何圍法？

這個問題又叫做Dido問題。在古希臘傳說中，Dido公主（建立迦太基的女王）憑她的直覺提出正確的答案：圓。不過，要等到兩千多年後的十九世紀，透過變分學（calculus of variation）的研究，才有真正嚴格的證明。

對於等周問題，古希臘數學家Zenodorus（約 180B.C.）已經證得下列的結果：

（i）在所有n邊形中，以正n邊形的面積為最大，並且邊數越多，面積也越大；

（ii）圓的面積比任何正多邊形的還要大。

另外一方面，古埃及人已經知道，用同一種形狀與大小的正多邊形舖地，恰好只有三種樣式，參見圖十一。

即只能用正三角形、正方形與正六邊形三種情形，再沒有其他的了。這是三角形三內角和為180°的簡單推論。

蜜蜂分泌蜂蠟築巢，從橫截面來看，這相當於是用固定量的蠟，要圍成最大的面積，這是等周問題。由Zenodorus的結果，再配合上述舖地板只有三種樣式，所以蜜蜂只有正三角形、正方形與正六邊形三種選擇，而蜜蜂憑本能選擇了最佳的正六邊形。換言之，蜜蜂採用「最經濟原理」來行事。

亞歷山卓（Alexandria）的幾何學家 Pappus，約在西元300年出版一套八冊的《數學文集》（Mathematical Collection），其中第五冊討論等周問題及蜂巢結構問題。他特別稱讚蜜蜂「依本能智慧作論證」（Feason by instinctive wisdom）的本領，天生俱有的「某種幾何的洞悟力」（a certain geometrical foresight）。

其次，我們探討蜂巢的第二個問題，即每個儲藏室（cell）底部的幾何結構。這個問題比較困難。

我們觀察蜂巢的一個儲藏室，它是中空的正六角形柱，而底部是由三個菱形面組成，交會於底部中心頂點S（見圖十）。讓我們先回顧一段歷史。

在1712年，巴黎天文觀測所的天文學家G. F. Maraldi，他實際度量菱形的角度，得到的結果是70°32'與109°28'，見圖十二。Maraldi實地叩問自然，並且相信蜜蜂是根據單純（simplicity）與數學美（mathematical beauty）兩個原理來築巢。

Maraldi的結果引起法國著名的博物學家Reaumur的興趣，他猜測蜜蜂選擇這兩個角度一定是有原因的，可能就是要在固定容積下，使得表面積為最小，即以最少的蜂蠟作出最大容積的儲藏室。因此，Reaumur就去請教瑞士年輕的數學家Samuel König）如下的問題：

給定正六角形柱，底部由三個全等的菱形作成，問應如何做會最節省材料？

Reaumur並沒有告訴 König這個問題是由蜂巢引起的。

一直等到 König把算得的結果70°34'與109°26'送到Reaumur的手裡，Reaumur才告訴 König關於蜂巢與Maraldi的實測結果。他們對於理論與實測的結果僅相差2'，同感震驚。König的結果支持了Reaumur的猜測：蜜蜂是按「最經濟原理」來行事。König利用微分法解決上述的極值問題，他說：「蜜蜂所解決的問題，超越古典幾何的能力範圍，而必須用到Newton與Leibniz的微積分。」然而，一代博學者 Fontenelle（法國科學院永久秘書）在1739年卻作出著名的判斷，他否認蜜蜂具有智慧，認為蜜蜂只是按照天生自然與造物者的指示，「不知亦能行」地（盲目地）使用高等數學而已。

關於König的相差2分問題，後來經過 Cramer、Boscovich、Maclaurin等人的重算，發現蜜蜂是對的，錯在König，而König所犯的小錯又出在計算√2時，所使用的數值表印錯了一個數字。

下面我們就來求解Reaumur對König所提出的極值問題。

考慮圖十三的正六角形柱，在A、C、E處分別用平面 BFM、BDO、DFN截掉三個相等的四面體ABFM、CDBO、EDFN，見圖十四，使得變成圖十五。三個平面BFM、BDO、DFN延伸交於頂點P，見圖十六。從圖十三變成圖十六，所截掉的體積恰好等於所補足的體積。因此，圖十三與圖十六的體積相等，但是，兩者的表面積卻不相等。

因此，原極值問題等價於，在容積固定下，求最小表面積。蜂巢一個儲藏室的表面（圖十六）是由六個梯形（BMGH等等）與三個菱形組成的。在圖十四中，設AB＝a，BH＝h，AM＝x（x是變數），則由餘弦定律與畢氏定理可求得菱形PBMF的對角線

BF=√3 a，MP=2√x2+a2/4

今每個菱形的面積為√3 a‧2√x2+a2/4，每個梯形的面積為ah-(1/2)ax，所以一個儲藏室的總表面積為

A(x)=√3 a√x2+a2/4+3a(2h-x) （5）

由微分法，令A'(x)=0得

【瀏覽原件】
解得

x=√2 a/4         （6）

利用二階微分，容易驗知x=√2 a/4確是極小點。在x=√2 a/4之下，進一步令菱形的銳角∠PBM=θ，則

tan(1θ/2)=√2 /2
從而

tanθ=2√2      （7）

∴   θ≒70°32'
習題：在圖十六中，令a表示對角線PO與中心軸PQ之交角，試證一個儲藏室的總表面積為

A(α)=6ha+(3/2)a2(√3/sinα－cotα)     （8）

再解A'(α)=0，得

cosα=1/√3≒0.57735     （9）

∴    α= 54°44'
註：我們也可以利用（6）式，再配合圖十六，推得（9）式。

對於一個初等的極值問題，要用到微分法來處理（殺雞用牛刀），令人不滿意。於是有人，例如Maclaurin（1743）、L'Huillier（1781），開始尋求初等的、簡單的代數與幾何解法。

（i）代數的配方法

我們注意到，在上述的解法中，其實都跟a與h無關，所以我們不妨從頭就假設a＝1。於是（5）式變成

A(x)=3√3√x2+1/4+6h-3x

於6h是常數，故只需求

f(x)=(3√3/2)√1+4x2-3x

之最小值。令

y=(3√3/2)√1+4x2-3x

y+3x=(3√3/2)√1+4x2

兩邊平方，再化簡得

y2－27/4=18x2－6xy（10）
對右項配方，再化簡得

3y2－27/2= (6x－y)2≧0
因此，當y＝6x 時，y有最小值 y=3√2/2，從而

x=1y/6=√2/4

得到跟（6）式相同的答案（a＝1）。

（ii）二次方程的判別式法

由（10）式得

18x2－6xy－(y2－27/4)=0（11）

看作是x的二次方程式。因為x恒為實數，故（11）式的判別式

△= 36y2+4×18×(y2－27/4)≧0
整理化簡得

y2≧9/2
於是y的最小值為3√2/2，以 y=3√2/2 代入（11）式得

x=√2/4

達爾文稱讚蜂巢為「在已知的僅憑本能的建構中是最令人驚奇的成就」。他又說：「欲超越這樣完美的建構，自然選擇（natural selection）是不能達成的，因為就我們所見，蜂巢不論是在勞動力上或蜂蠟的使用上，都符合最經濟的原則，是絕對地完美。」

在大自然中，除了蜜蜂遵行「最小原理」之外，還有荷葉上的水珠，校園草地出現的人行道，光的Heron最短路徑原理與Fermat的最短時間原理等等，這不禁使我們要猜測，大自然是按著某種「最小原理」來運行的。

在十七世紀，Leibniz從哲學上論證「這是所有可能世界中最好的一個世界」（the best of all possible worlds）。物理學家終於在十八、十九世紀找到了動力學的「最小作用量原理」（the principle of least action），成為數理科學中最美麗的成就。

關於蜜蜂的故事

在《伊索寓言》一書中，有一則「蜜蜂與宙斯」的故事：「蜜蜂看到自己辛苦採來的蜜被人偷走，感到很氣憤，就到天神宙斯（Zeus）那裡，請求給予一種能力，能夠懲罰接近蜂巢的人。宙斯對蜜蜂這種惡毒心理非常不高興，於是就賦予蜜蜂螫人之針，但是針連著腸子並且有倒鉤，使得蜜蜂刺人一次，腸子就被拉出來，因而喪命。」

故事是人編造的，因此太過於「人本」而對蜜蜂不公平。事實上，蜜蜂是出於「自衛」才螫人，宙斯對待蜜蜂是不公道的。

在台灣也有類似的故事：「蜜蜂向上天請求給予自衛武器，起先上天不同意，生怕蜜蜂胡亂攻擊人。於是蜜蜂發誓，非到不得已的緊要關頭不會螫人，並且只要螫人一次，自己也願意付出生命的代價。觀世音同意，因此賦予連腸蟄針。」這比較合情合理，蜜蜂是相當「自制」的有益昆蟲。

值得我們注意的是，上述兩個故事都是要對蜜蜂螫針連著腸子的現象作「解釋」。結果在各自不同的文化背景下，提出兩種不同的「故事」或「理論」。這告訴我們，對於同一個自然現象，人們可能創造出兩種以上不同的理論。在科學中，一個理論除了要合乎「邏輯」之外，還要接受自然的檢驗。自然是一個科學理論成立與否的最後裁判者。

根據研究，蜂毒可能有如下兩種用途：（1）治療風濕關節炎，（2）去除過敏者的敏感作用。筆者曾見過有養蜂者，故意抓起工蜂，往自己身上螫刺的行為，說是要治療風濕症。

在聖經裡提到，上帝將給以色列人一個「流著奶與蜜」的地方，可見蜜蜂在古人（或上帝）心目中占有多麼重要的地位。在生態環境被人類破壞這麼嚴重的今天，我們必須不斷地強調，要平等對待、尊重每一個生命的存在價值，保護環境。當蜜蜂不能生存時，人類大概也會活得很難過吧。

結語

自古以來，數學受到兩方面的促動而發展：內在數學本身與外在大自然的不斷提供問題。外在這一面，數學多半是來自天文學、物理學、工藝學等領域的刺激而產生。一直到最近一兩世紀，數學與生物學的互動才活絡起來。從Malthus的人口論（1798年）、人口統計學、生物統計學、到Mendel（1866年）與Hardy-Weinberg（1908年）的遺傳定律，以至今日的分子生物學與解讀DNA等等，數學逐漸扮演重要的角色。

小小的蜜蜂在數學與生物學史上，居然扮演了相當熱鬧的角色，而且表現得那麼完美，真是可圈可點。

自然的調和與規律，從宇宙星辰到微觀的DNA構造，都可用數與形（Number and Form）來表達，並且結晶在數學美之中。大自然無窮的寶藏，不但提供我們研究的題材，而且還啟示方法。數學家Fourier說得好：「對自然的深刻研究，是數學發現最豐富的泉源。」

river.

數學︰描繪自然與社會的有力模式
分類：數學哲學
2008/07/05 08:09

數學︰描繪自然與社會的有力模式

內容簡介
數學是描述自然與社會強有力的模式。哈里‧亨德森用生動的筆調展現了現代數學發展中的重要里程碑。他在書中精要地勾勒了十位科學先鋒里程碑式的科學發現，還帶領讀者走進科學探索的幕後，呈現了他們與眾不同的生活方式和真理背後鮮為人知的精彩故事。

《數學》回顧了10位在數學領域作出杰出貢獻的科學人物，引人人勝。每一章包括科學家取得的成就、個人性格、遇到的專業困難以及最有價值的貢獻，正文後附生平年表及擴展閱讀等參考文獻。

《數學》包含數學及相關學科40張黑白照片和插圖及學科發展年表。“發現與發明的里程碑”系列叢書描述了人類對科學知識的認識、探索和革新的探求，是學生、教師及廣大讀者必讀的科普書籍。
目錄
前言
鳴謝
簡介
1.自然如何計數——來自比薩的萊昂納多發現斐波那契數列
　十分有用的阿拉伯數字
　實用數學
　數學在歐洲的復興
　數論
　其他科學家︰阿拉伯數學家們
　關于兔子的問題
　自然界中的斐波那契數列
　黃金比率
　這是一種內在的和諧嗎？
　相關鏈接︰數學與古希臘的哲學
　萊昂納多的遺產
　生平年表
　擴展閱讀
2.自然模式發現者的工具——卡爾‧皮爾遜與統計學
　一個自由思考的頭腦
　科學的規範
　其他科學家︰弗朗西斯‧高爾頓
　統計的工具
　優生學與高爾頓實驗室
　爭論焦點︰實驗的評估
　爭論焦點︰科學的政治用途
　皮爾遜的晚年生活
　生平年表
　擴展閱讀
3.猜測與模擬——約翰‧馮‧諾伊曼讓電腦轉起來
　來自名城的少年天才
　最初的職業選擇
　對物理學和數學的貢獻
　經濟學與博弈論
　爭論焦點︰馮‧諾伊曼與原子彈
　對計算速度的追求
　數字計算機的誕生
　研究自我復制的自動機
　艱難的命運
　其他科學家︰斯坦尼斯洛‧烏拉姆
　生平年表
　擴展閱讀
4.微妙的均衡——約翰‧納什與博弈論
　一個與眾不同的孩子
　走向數學的道路
　普林斯頓的生活
　博弈論與納什均衡
　人生的低谷
　親歷者說︰令人發怒但又聰明絕頂
　瀕于崩潰的邊緣
　在那些陰暗的日子里　
　相關鏈接︰數學與瘋狂
　頑強的站起來
　手捧諾貝爾獎杯
　生平年表
　擴展閱讀
5.永無止境——本羅特‧曼德爾布洛特開啟了分形世界的入口
　在戰爭的陰影下學習
　不同尋常的數學道路
　不可思議的聚合
　混沌與分形
　曼德爾布洛特集
　應用價值的發現
　相關鏈接︰制造分形與應用分形
　其他科學家︰克里斯朵夫‧斯庫茲
　分形學的大眾化
　親歷者說︰自我與需求？
　曼德爾布洛特的成就
　生平年表
　擴展閱讀
6.站在蝴蝶的翅膀上——愛德華‧洛侖茲與混沌理論
　雲朵與計算
　天氣預報與氣象學
　預測天氣的新方法
　難道是計算機瘋了？
　天氣預報的局限
　未來趨勢︰當今天氣預報的發展趨勢
　混沌的實驗演示
　奇異吸引子
　其他科學家︰米歇爾‧費根鮑姆
　混沌︰一種新的範式
　獲得認可
　爭論焦點︰理論與時尚
　生平年表
　擴展閱讀
7.“涌現”的游戲——約翰‧康威，“生命”與其他游戲
　“我想要成為一名數學家”
　劍橋與超實數
　在24維空間之中
　難題與娛樂
　生命游戲
　沒有終點的生命？
　十分怪異的生活
　其他數學家︰馬丁‧加德納
　其他數學家︰威廉‧格斯伯
　生平年表
8.從宇宙到大腦——羅杰‧彭羅斯揭示隱含的內在聯系
　一個人才輩出的家族
　轉向數學研究
　數學物理學
　黑洞與霍金　
　扭曲的空間與精巧的鋪砌
　其他科學家︰斯蒂芬‧霍金
　意識的物理本質
　相關鏈接︰相對論和量子力學的統一
　大腦是一架量子計算機嗎？
　爭論焦點︰彭羅斯和他的批評者們
　主要成就
　生平年表
　擴展閱讀
9.人工進化——克里斯朵夫‧蘭頓創造虛擬生命
　當一個業余愛好者獲得了一台電腦之後
　發現“生命”
　遺傳編程
　緊跟馮‧諾伊曼的腳步
　蘭頓環
　尚未命名的領域
　虛擬蟻群
　相關發明︰人工生命與計算機動畫
　信息就是生命
　洛斯‧阿拉莫斯會議
　相關鏈接︰人工智能與人工生命
　人工生命與意識
　生平年表
　擴展閱讀
10.一種新的科學——斯蒂芬‧沃爾夫勒姆與通用自動機
　少年物理學家
　在加州理工學院研究計算機
　研究細胞自動機
　開發 Mattlen]atica數學分析軟件
　通往復雜性的捷徑
　相關鏈接︰沃爾夫勒姆思想的應用
　通用自動機
　一種新的科學
　爭論焦點︰沃爾夫勒姆的工作是偽科學嗎？
　評價沃爾夫勒姆的科學
　生平年表
　擴展閱讀
學科發展年表
譯者感言

天道2009

内容真多哦，需要后期慢慢看了~

river.

中西數字的奧妙
分類：數學哲學
2008/10/04 14:00
中西數字的奧妙         97/03/05
         
作者：         尚景賢         空軍航空技術學院教務處          
                  劉厚鵬         空軍航空技術學院總務處        


以三進位數為一組的單位讀法
以三進位數為一組的單位讀法
人一出生，就注定和數字結下不解之緣，生日、身分證字號 …… 數字一直伴隨在你人生的路上。數字不知從何而起，也不知從何而終，甚至在０與１之間隱藏著無限細微的數字樓梯，數也數不盡。但是就在永無止盡的０到９不斷反覆下，串起了工業的卓越發展，挑起了分秒必爭的商業奇蹟，闖入理性客觀的科學世界，更在文學的巧妙語言中趁虛而入。數字建構了如此宏偉而文明的世界，無論現代或未來，絕對沒有理由拒絕數字的存在，也無法忽視其莫大的影響力。

通常人們關注的數字是它的直覺本質，但漸進發展的結果，則以各種不同的方式展現，包括對數字、運算和它們之間關係的意義、做心算和估算時使用的各種不同數字的變通形式、比較和排序數字、判斷計算結果合理性的數字、分解和組合數字、做為決策參考的分析與統計數字等。

認知心理學家認為數學知識一如其他學科的知識，如閱讀、寫作與科學，可以分為描述性知識與程序性知識。描述性知識涵蓋了一些事實、理論、物件與事件的知識，程序性知識則是知道如何完成事情的知識。數學學得好的學生，在這兩類知識上通常比一般學生略佳。

許多研究也發現數學概念的理解（描述性知識），在使用解題策略（程序性知識）的過程中扮演了重要的角色。在研究數學概念理解的過程中，很多學者發現數字感極為重要。數字感在性質上是一種概念理解的知識（描述性知識），除了是一種重要的數學概念外，它也會影響到數學解題策略（程序性知識）的使用。
數學最重要的基礎在於數字和數字的結構。數字和語言、文字一樣，都是人類思維、行為建構的一種符號、語意，這些載體本身都具有結構、系統及呈現的方式與策略，皮亞傑（Piaget）、維高次基（Vygotsky）等大師都注意到語言文字與數理邏輯的緊密互動關係。紀魯斯（Henry A. Giroux）在其《越界研究》的專書結論中提到「我們需要檢視各種結構」，除了結構之外，更應該重視各系統及因應策略間的概念轉移。

數字的發展
　　
在許多古文明的文字記載中，都可以見到其文明中使用的數字表示法。最直接的方法就是一條線代表一，兩條線代表二 …… 但是總不方便以十條線表示十，以一百條線表示一百吧！事實上，有些地區的人一開始只能計算到三，三以上就被認為是很大的量了。人類計數的演進是一部經歷數萬年的歷史。古埃及人和古巴比倫人以不同的圖形表示數字，羅馬人則想出了用一個符號代表五，另一個符號代表十的方法，使得數字的表示較為便利。

而阿拉伯數字的出現，挾其易懂易用的優勢，很快就成為世界共通的數字表示法。阿拉伯數字其實並不是阿拉伯人發明的，而是印度人在約公元 3 世紀時發明的，後來由於東西方的商業往來而傳入西班牙。

在公元 7 世紀時，阿拉伯人征服了周圍的民族，建立了東起印度，西經非洲到西班牙的撒拉遜大帝國。後來，這個伊斯蘭大帝國又分裂成東、西兩個國家。當時兩國的首都非常繁榮，尤其是東都巴格達，匯集了西來的希臘文化和東來的印度文化。阿拉伯人把兩種文化吸收消化，從而創造了阿拉伯文化。

大約在公元 7 世紀左右，有一位印度的天文學家拜訪了巴格達王宮，把印度的天文表獻給當時的國王，也把印度數字 1、2、3、4…… 和印度的計算方法介紹給國王。印度數字和印度計數法既簡單又方便，它的優點遠遠超過其他的計數方法，很快被阿拉伯人接受，並廣泛傳播到歐洲各國，因此就稱作「阿拉伯數字」了。

而在公元 8 世紀初期，阿拉伯數字也曾經傳到中國，但是當時不被中國人採用。到了 16、17 世紀左右，西洋曆法傳入中國，這時又有人再次介紹和推廣阿拉伯數字，但還是未被普及應用。直到 19 世紀末和 20 世紀初，由於大量翻譯西方的數學書籍，並受到西方文化、科學、教育和經濟多方面的影響，阿拉伯數字才逐漸流行，因此中國普遍使用阿拉伯數字的歷史不算太長。

中國的數字結構

中國數字的表示法是參照了大約在公元前 3 世紀由印度婆羅米（Brahmi）所制定的「命數法」，以四個進位數為一組單位，並以小數點做為分隔，且區分正數及負數，加上十進位法，自成一套博大精深的計量結構體系。可惜國人甚少察覺這套嚴謹四進位的數位架構，當唸一長串數字時，仍然習慣地從右邊最後面的個位數一個一個位數地算上去，從左邊開頭讀出，並加入其間的組單位名稱，相當耗時間、沒概念、沒效率。

正確又具有概念的讀法應該是了解各組單位名稱後，以每四進位數為一組單位，非常有規律地重複 「千、百、十、個」。如此一來，即使十六位數字的讀法也可迎刃而解。

以 9999999999999999 為例，依照四位一進的組單位讀法，可立刻讀出九千九百九十九「兆」、九千九百九十九「億」、九千九百九十九「萬」、九千九百九十九。正如我們依序讀出 16 位數、四碼一組的金融卡卡號一樣，毫不費力，再加上各組單位的名稱，井然有序。其規則是千是第四位數，「萬」是第五位數到第八位數，第九至十二位數是「億」，而第十三位數到第十六位數是「兆」。

至於「兆」再上去依序是「京」（也就是第 17 ~ 20 位數）、「垓」（21 ~ 24 位數）、「秭」（25 ~ 28 位數）、「穰」（29 ~ 32 位數）、「溝」（33 ~ 36 位數）、「澗」（37 ~ 40 位數）、「正」（41 ~ 44 位數）、「載」（45 ~ 48 位數）、「極」（49 ~ 52 位數）、「恆河沙」（53 ~ 56 位數）、「阿僧祇」（梵文 asankhya）（57 ~ 60 位數）、「那由他」（梵文 nayuta）（61 ~ 64位數）、「不可思議」（65 ~ 68 位數）、「無量大數」（69 ~ 72 位數）。

到 68 進位數以上，是一般凡人無法觸及到的極大繁多的超級「無量大數」。而所謂「一日京兆」的意思，就是在一天當中，從 20 位數到 13 位數的榮華富貴化為烏有，意指空歡喜一場。而《西遊記》中孫悟空擁有的「行者變化，一變十，十變百，百變千 ……」，其實不是七十二變，而是指有七十二進位數之多、變化多端、無限上綱、千變萬化的廣妙神通。

以上是愛好冥想的印度人建構出來的博大浩瀚的數位架構，印度人在現象世界中，把數量推展至 7 × 7 ＝ 49 位數的「極」之上。而「恆河沙」、「阿僧祇」等更大、更多的數已是現象界不能夠「看」得「見」的物體，而是如華嚴經中所說的無數的單位（華嚴經中，60 進位數是「阿僧祇」，再由「阿僧祇」乘「阿僧祇」是「阿僧祇轉」，再自乘一次才是接近無限大的「無量大數」）。至於「那由他」、「不可思議」、「無量大數」等，已經是康德（Kant）所謂超乎想像、超乎實體的建構「存在」了。

至於小數點以下的「十退位」，其數位名依次是十分之一的「分」、百分之一的「釐」、千分之一的「毫」，以及萬分之一的「絲」，仍是以四退位為一組單位的結構體系。

「絲」「毫」相對於「千」「萬」不差的精算系統，再縮小依序是「忽」（5 ~ 8）、「微」（9 ~ 12）、「纖」（13 ~ 16）、「沙」（17 ~ 20）、「塵」（21 ~ 24）、「埃」（25 ~ 28）、「渺」（29 ~ 32）、「莫」（33 ~ 36）、「模糊」（37 ~ 40）、「逡巡」（41 ~ 44）、「須臾」（45 ~ 48）、「瞬息」（49 ~ 52）、「彈指」（53 ~ 56）、「剎那」（57 ~ 60）、「大德」（61 ~ 64）、「空虛」（65 ~ 68）、「清靜」（69 ~ 72）。

這 72 退位數的變少、變小，大概也只有悟「空」才有這個能耐，能夠在縮小到 68 退位數而了悟「空虛」，到72退位數之後才能夠「清靜」無為。這好比把思維「歸零」，或數學的「趨近於零」。在佛教中，就是要認知一切皆「空」，無我、無欲、無往、無相、無執，達到捨己，看破紅塵，這絕非凡人能夠參悟出的玄奧道理。

中國語文運用之妙，由數位詞可見一斑。大部分凡人看不見的小到何處惹「塵」（第 21 ~ 24 退位數）「埃」（第 25 ~ 28 退位數）之物，就顯得「渺」（第 29 ~ 32 退位數）小，而「莫」（第 33 ~ 36 退位數）須有了。至於第 37 ~ 40 退位數的「模糊」，就更加看不清了，殊不知還可以再縮小到「須臾」之間，再小到 7 × 7 ＝ 49 的 49 退位數「瞬息」之際（或再簡稱為「瞬」間）。

而再更微觀則可小到「彈指」間，再小則時「間」的「間」隔也沒了，就成了一「剎那」。再微小到「大德」，已經不是一般人可以想像的微乎其微了。

印度人並未把時間和空間分隔，位數很大時，原則是以容易看得見的空間為單位，如「秭」、「穰」、「溝」、「澗」、「恆河沙」；位數達到極小時，則是以肉眼難見到的時間為單位，如「須臾」、「瞬息」、「彈指」、「剎那」。太精細的數字中國人不屑理會、不求甚解，甚至嗤之以鼻，認為那些是「微」不足道的事。只有心思細密的人如陸機在《文賦》裡，把時、空交融，呈現為「觀古今於須臾，撫四海於一瞬」，才能感受那種唯微精一、觀微至極的細膩微妙。

中國人採用印度的數位算法，把宏觀的漸大、多，與微觀的漸小、少，分別由小數點（dot）向兩端展開，各有七十二數位，共有 144（12 × 12）位數。兩端各以四進、四退位發展，有規律地呈現「千、百、十、個」四個數位，同時也呈現整齊又規律、對稱的語意。

古云「差之毫釐，失之千里」，清晰地呈現博大的宏觀架構與精深的微觀架構間的對應關係，因為小數點以下的「毫」對應小數點以上第四進位的「千」。第五進位的「萬」，則與小數點後的「絲」對應，是以「千萬」財富對「絲毫」未得，「萬萬」不可對「絲絲」入扣，「萬無一失」對「一絲不茍」，「萬縷穿身」的相反則是「一絲不掛」。宏觀、微觀的大千、小盛世界都是相對應的。

西方的數字結構

西方的數字可以用英文體系為例，它把若干西方不同文明加以融會運用。英文的數位是一套完全不同於中式的系統、結構、概念，以「三進位數」為一單元，並且在阿拉伯數字後面每三進位數加一逗號（，），確也能夠做到一目了然，更精準、更科學的表示效果。

英文的一連串數位因為有「，」區隔，再加上每個單元只有三個數位，所以不必從個位數由右向左一個一個地數上來，再從左向右一路唸下去，只要把每三個數位分成一組，一個都是 9 的十二位數立刻就能唸出來（nine hundred and ninety-nine billion, nine hundred and ninety-nine million, nine hundred and ninety-nine thousand, and nine hundred and ninety-nine）。比 billion（美式十億，英式是兆）再大三位數就是 trillion（美式是兆，英式是百萬兆），再大極多位數就是 zillion，zillions of zillion 已經接近無限大了。

在科學記數上，西方則以希臘字母來取代，如千使用K（Kilo），再大的數分別是 M（Mega）、G（Giga）、T（Tera）、P（Peta）、E（Exa）、Z（Zetta）、Y（Yotta）。英文數位的減少仍依「三退位數」為一單元，與數位的增加屬同一架構。退位數的第一單元是「毫」（10−3，千分之一），再來是「微」（10−6，百萬分之一）、「奈」（10−9，十億分之一），它們對應的希臘字分別是 m（milli）、μ（micro）、 n（nano）。

如以長度「米」為單位，分別是 10−3 的「毫米」（millimeter），10−6 的「微米」（micrometer），再小就是目前在半導體中最常提到的 10−9， 的「奈米」（nanometer）。以時間「秒」為單位時，毫秒（millisecond）是千分之一秒，而奈秒（nanosecond）就是毫微秒，數學式可表示成 10−3 × 10−6 ＝ 10−9 因此「奈」就是 10 的負 9 次方（退 9 位數）。

20 世紀以來人類大量使用顯微鏡觀察微生物的顯微結構，日常生活中也經常使用微波爐，並且與現代電腦軟體的代名詞－微軟形影不離，代表「微」這個單位的希臘字母「μ」已是眾所皆知、司空見慣了。

當前人們大量使用的更細微單位「奈」，可說是科技發展的當紅炸子雞，是最有價值的單（數）位名稱。如半導體工業引以為傲的奈米技術，半導體晶圓生產從 0.18 微米（180 奈米）製程精進到 0.13 微米（130 奈米）製程，再進步到 0.09 微米（90 奈米）的先進製程，這種技術已經進入更「微」小的奈米世界，必然需要奈秒、奈克、奈瓦，奈奈必爭的超精密量度了。

數字結構的融合與對照

中西方數字結構各自遵守統一、簡明的規則。由於英文數字是三進位數為一單位，而中文數字是四進位數為一單位，因此中文第五位的「萬」、第八位的「千萬」，在英文數位表示上就得改稱、改名。當我們唸英文時，「千」「萬」不可一味地停留在中文以「萬」計量的概念，「萬」在英文的數位並沒有專屬稱呼，只好改稱十千，再進一位的十萬就唸作百千，「千萬」也應該改唸十百萬，這也可以說是重新建構數位的唸法、寫法。

同理，在微觀的世界裡，絲毫不差的精密計算與絲絲入扣的描述中，也只好僅保留到「毫」的數位。「絲」與「萬」相對應，英文中沒有萬這個單位，自然也就沒有與絲相互呼應的單位，就只好以「十分之一毫」來表示「絲」了，如藥物的計量中以「十絲」克為一「毫」克。

中英的不同數位讀法，如維高次基所提，能同時建構人類腦部的「趨近發展區」。有些人把兩種趨近的語碼（雙碼並存）同時建構在長期記憶區，也就是同時具備雙母語，中英文俱佳。如此一來就好比使用豪華名貴的雙併大樓的雙樓梯，上下樓自然寬敞又方便。但八、九歲以後把英語當第二語言的學習者，就需要清晰、精準地做比較，以便確切了解兩種結構、兩套系統間的異同，再內化為固定而精熟且經常運用的雙架構。

一般中國人遇到唸中英數位都有不三（英式）不四（中式）的困擾，而產生皮亞傑所謂的「不平衡」，這時候就要看讀者中文是否較強，如果中文較強勢，就以中文的分法來統整西方的觀念。如果為了與世界接軌，就必須採用英文的觀念、概念，重新採納全新的組織系統，才不至於不中不西、不三不四、含混不清了。
在「瞬息」「萬」變的時刻，「萬」這個數位引申的概念、觀念、制度、系統漸被廢除，如萬歲爺、萬萬歲，或如馬來西亞華人把原來中印的「萬」改稱 「十千」，十萬改稱 「百千」，百萬為「千千」。

然而「萬」自從由印度佛教傳到中土，就開始漸漸鎔鑄為中華文化的一部分，攸關「萬」的成語，千「萬」或「萬萬」不可一併廢除，因為可能同時失去「萬」事如意、「萬」眾一心、「萬」無一失、心游「萬」仞（《文賦》），而換來「千」瘡百孔、「千」奇百怪的心有「千千」結。治「絲」益棼指一件事情被處理得越來越複雜，而在「微」觀世界裡，「絲」相對應於「萬」，這種小或少到萬分之一，已經沒有頭緒了，再精密細分為「微」（百萬分之一）、奈（十億分之一）就更加無可「奈」何了。

從事改造，理論與方法固然重要，心態似乎也很重要。今天，我們面對的很多問題常常是以前如此、現在也如此，很少去問為何如此，有此必要嗎？還合適嗎？如果繼續以為農業或工業社會設計的觀念與想法，面對要在 21 世紀資訊社會中過大半輩子的下一代，合適嗎？

然而捨棄過去一些不合時宜的傳承，會不會讓我們失去更多呢？就如中共文化大革命的中文簡體化，以及現今ｅ世代使用的火星文，是否會使許多中國文化與文字藝術之美流失，喪失了承先啟後、繼往開來的功能？不三不四的數字使用方式，或者重新建構一套全新的數字架構與規範，是否也會降低了我們的數字感度和文化涵養？這是值得深思的問題。

river.

數學與知識的探求
分類：數學哲學
2008/12/07 14:47

Kline, M. "Mathematics and the Search for Knowledge"中譯本《數學與知識的探求》(上海:復旦大學出版社,2007)



這是一部數學的通俗讀物,沒有高深的數學符號和公式,但能深入淺出地探索數學在現代自然學發展演化中的作用,並論述以數學建構知識是如何可能。



本書以一個數學家的睿智，探討了自古希臘以來，尤其是自伽利略以來數學在現代自然科學發展演化中的作用。首章利用現代心理學生理學的錯覺實驗說明了感官知覺之不可靠。其實古希臘人早已領悟了這一點，因而求助于數學來研究自然現象成了古希臘的傳統，這也是古希臘天文學興起的原因(第2、3章)。無論是托勒密的地心說還是哥白尼和開普勒的日心說，追求數學上的簡單性和完美成了探求自然知識的動力(第4章)。笛卡兒為科學建立了基于數學的嚴密方法論，而現代科學之父伽利略，其科學研究綱領的前提則是︰ 自然之書是用數學這門語言撰寫的(第5章)。本身就是一位偉大的數學家的牛頓，其科學巨著就冠以《自然哲學的數學原理》(第6章)。麥克斯韋方程組能夠揭示人的感官所不能及的電磁世界，則充分顯示了數學的穿透力(第7章)。二十世紀的兩項重大科學發現——相對論和量子論——，其基本物理思想和數學工具之間有著奇妙的對應(第8～10章)。這就引發了這樣的問題，數學知識本身又從何而來?數學與物理實在的關系是什麼(第11、12章)?﹪ 書中沒有鋪陳數學知識，數學只是像一位垂簾听政的皇後一樣若隱若現。因此，想了解古今自然觀或科學方法論的人文社會科學研究學習者可以從中受到啟發，而自然科學研習者讀此書則可以引發對于其專業領域的反思。而這正是作者所孜孜以求的︰ 在自然科學和人文社會科學之間搭起一座橋梁。


序



我們如何獲得自己的感官知覺于外部世界的知識?人人都不得不依賴于听覺、視覺、觸覺、味覺和嗅覺——來進行日常事務並享受某些快感。這些知覺向我們顯露關于外部世界的很多信息，然而總的來說是粗糙的。如笛卡兒所言，感官知覺
乃感官迷惑，此言也許過重了。現代的儀器如望遠鏡確實大大擴展了我們的知覺，然而這樣的儀器之可用性是有限的。
重大物理現象根本就不是感官知覺到的。感官沒有向我們顯示地球繞其軸旋轉並繞太陽公轉，也沒顯示維持行星繞太陽公轉的力之本性。電磁波能使我們收到幾百甚至幾千英里外發射的廣播和電視節目，而感官對于電磁波本身一無所知。
這本書對于數學的日常應用，如確定一座50層大樓的高
度，不多涉及。讀者將會悟到感官知覺之限度，不過我們的主要興趣是，描述僅靠數學手段對于物理世界之實在知道些什麼。我將描述數學對于現代世界的重大現象披露了什麼，而不是鋪陳數學知識。誠然，經驗和實驗在探究自然中也起了作用，不過，本書將表明，這些手段在許多領域起了次要作用。
在17世紀，布萊澤‧帕斯卡爾為人類之無助而悲哀。然而今天我們自己創造的一種極有力的武器——即數學——給予了我們關于物理世界巨大領域的知識並使我們掌握了控制權。大衛‧希爾伯特，現代首屈一指的數學家，1900年在國際數學大會上的演講中說道︰“數學是一切關于自然現象的嚴格知識之基礎。”我們有充分理由補充說，對于許多重要的現象，數學提供了我們所能有的唯一的知識。事實上，一些科學分支只是由一套數學理論組成，並飾以幾個物理事實。
與學生在學校里所獲得的印象相反，數學不只是一系列技巧。數學向我們顯露關于某些我們還未知的，甚至從未臆度過的重要現象，在某些情況下甚至顯露與知覺矛盾的道理。它是我們關于物理世界的知識之精華。它不但超出了知覺之域而且大大優于知覺。







目錄

歷史概觀:外部世界存在嗎?

第1章:感官與直覺的失敗

第2章:數學的興起和作用

第3章:希臘人的天文學世界

第4章:哥白尼和開普勒的日心說

第5章:數學主導了物理科學

第6章:數學與引力的奧秘

第7章:數學和不可感知的電磁世界

第8章:相對論的序幕

第9章:相對性的世界

第10章:物質的分崩離析:量子理論

第11章:數學物理學的實在

第12章:數學為什麼奏效

第13章:數學和大自然的運作



第十二章札記:



數學和物理實在之間沒有普遍接的對應,然而數學能夠成功預言物理上實在的東西,大自然是否遵循人類的邏輯?為什麼在物理現象未知的領域,數學還能奏效?



活在十六至十八世紀的數學家,深受大自然是根據數學設計的這一希臘信念的影響,他們將數學成是通向自然界的真理之路。上帝被看成是至高的數學家,世界的和諧是上帝的數學安排。上帝將嚴格的數學秩序給予了世界,而我們只能費盡千辛萬苦才能理解。數學知識是絕對真理,像聖經的任何一行一樣神聖不可侵犯。事實上,它甚至更優越:因為關於聖經的不同意見很多,而關於數學真理卻不可能有任何意見不一的情況出現。



在這種情況下,科學的目的就是發現所有現象背後的數學關係,並用這些關係來解釋所有現象,當中以笛卡兒的影響最大。笛卡兒處理的問題是:怎樣信賴人類心智所創造的數學從而得出關於物理世界的知識?笛卡兒的答案是唯有信賴上帝,他相信空間、時間、數和上帝的觀念是無可懷疑的。例如上帝的觀念不可能來自感覺,因為祂並未顯露在物理世界中。而上帝不會欺騙我們,因此由獨立於經驗的心智認可的數學真理出發,人是能夠運用推理推導出關於物理世界的真理。此後的開普勒、伽利略、牛頓、萊布尼茲等人的信念都認為大自然中隱藏著一種固有的和諧,反射到我們的心智中就呈簡單數學定律的形式。通過觀測和數學分析的結合就可以預言大自然中的事件。上帝雖是神秘莫測,但可以肯定祂的作為是數學化的。



然而到了十八世紀的後半期,上帝的存在變得越來越暗淡了。數學發展愈多,數學研究的宗教靈感便愈來愈消退。非歐幾何的發展,表明人類的數學並不是替大自然說話的,更不會導向對於上帝存在的證明。大自然本身可能就沒有固定的設計。早在康德,他便認為我們不能認識大自然,知性不是在從大自然中得出規律,而是給大自然規定規律(我們的心智先天擁有時空的直觀形式)。彭加勒(Jules Henri Poincare)的解釋與康德一致,他相信數學和大自然之間的和諧是由人類心智造成的。

river.

基 督 信 仰 與 數 學 The Faith in Christ and Mathematics



奧秘與啓示

• 對很多人而言,數學是個深不可測的奧秘,但是一旦受開啟,這奧秘可成為我們的經歷與享受。享受數學！﹖

• 聖經中啓示的神也是個奧秘

• 日本思想家小室直樹說: 數學是神的教誨 ‹ › 神的邏輯



小室直樹的觀點

• 參閱 { 給討厭數學的人 }

• 舊約聖經信仰的神 , 是一位唯一絕對的人格神,在這個信仰裡 , 以色列人最早產生的疑問就是神的存在問題.

• 神和以色列人所訂的約 , 把他們的思考推往邏輯的方向 , 進而發展出數學使用的形式邏輯學



主 題 一： 何 謂 數 學﹖

壹﹑ 數學的基本思維與建構過程

貳﹑ 數學的基本組成

參﹑ 公理 Axiom

肆﹑ 定義 Definition

伍﹑ 定理 Theorem



特點：

• 獨一的公理

• 公理﹑ 定義﹑ 定理 三者藉著運算與邏輯互相內住， 彼此共存﹐ 彰顯是一的數學

• 演繹與歸納是推動數學的雙手。



數學的基本思維與建構過程：

• 具象思維﹕ 一種〝以周遭看得見的事物表達意思〞 或〝生活體驗〞 的思維模式

• 抽象思維﹕ 建立于具象思維之上﹐ 一種有深度﹑ 有系統的思維模式



具象與抽象思維的比較﹕

• 具象思維容易理解﹐ 在生活中易體驗﹐ 但能够表達的範圍却非常狹隘﹐ 且無法建構一套有系統的思想。

• 抽象思維能表達的範圍無窮寬廣﹐ 且可有系統地發展出各項領域﹐ 但這是一種細緻的思維模式﹐ 需要藉著數學教育培養相關的能力。



舉例說明﹕

• 在文明的演進過程中﹐ 如文字的演變﹑ 數字的出現以及藝術的發展等﹐ 都是從具象思維演進到抽象思維。

• 對數學而言﹐ 阿拉伯數字﹑ 四則運算和簡單的幾何圖形是建構具象思維的要素。

• 而抽象符號﹑ 代數運算﹑ 座標與歐氏幾何是建構抽象思維的基本能力。



兩者優缺點比較

• 表面看來﹐ 具象思維是一種最容易瞭解數學的思維方式﹐ 但其狹隘的表達範圍﹐ 使得一個簡易的概念却需要冗長的文字與圖形來叙述﹐因而模糊焦點﹐ 進而無法表達出數學的本質。

• 抽象思維似乎是在眼所不能見的範圍裏﹐然而却完整清楚地呈現出數學的本質。



問題﹕ 想想看眼不能見＝ 不存在？



數學的基本組成

公理 Axiom

定義 Definition

定理 Theorem



公理 Axiom

運算公理 Fi e ld Axi o m

比較公理 Or de r Axi o m

完備公理 Complete Axiom



舉例說明﹕

• 你相信 1 +1 = 2 嗎﹖

• 公理﹑ 定義﹑ 定理 三者互相內住， 彼此共存﹐ 彰顯是一的數學



你 相 信 1 +1 =2 嗎？

• 對一位數學老師或對數學有認識的人﹐ 這是一個很奇怪的懷疑。 同樣地﹐ 對一位認識神的人而言﹐『倒底有沒有神？ 』 也是一個不可思議的懷疑。

• “ 回想我們如何接受 1 +1 =2” 的。 小時候﹐ 老師通常用一些比喻來讓我們接受 1 +1 =2﹐ 例如﹕ 一個蘋果和另一個看似『相同』 的蘋果放在一起﹐就是兩個蘋果。 但一個蘋果和一個梨子放在一起﹐ 既不是兩個蘋果也不是兩個梨子。 可見『相同』的才可相加﹐ 『不同』 的不能相加。



宇宙中真的有兩個相同的蘋果嗎﹖

• 這裏相同的認定﹐ 事實上是一種主觀的認定﹐ 而非客觀的認定。

• 現在讓我們客觀地想一想﹐ 當我們仔細觀察蘋果時﹐ 很容易發現兩個蘋果間的不同﹐ 無論大小﹑ 形狀﹑ 色澤﹑ 甚至好吃的程度﹐多有不同。

• 此外我們還可利用放大鏡﹑ 顯微鏡﹑ 質譜儀等精密儀器以及微觀的量子物理學來證實其不同。



然而數學的公理是錯的嗎﹖

• 當然不是﹐ 但是我們需要主觀地相信接受數學中的公理﹐ 如 1 +1 =2 才能進入奇妙的數學世界﹐ 否則就與數學裏的豐富無份無關了。

• 基督徒也是這樣﹐ 我們都先相信接受耶穌基督作我們的救主﹐ 得享受祂的豐富﹐ 否則就與祂無份無關了。



聖經以弗所書一章十八﹑ 十九節說﹕

• 「祂在聖徒中之基業的榮耀﹐ 有何等豐富﹔以及祂的能力向著我們這信的人﹐ 照祂力量之權能的運行﹐ 是何等超越的浩大」

• 數學不會因我們不接受公理而消失﹐ 同樣地神也不會因我們的不信而不存在。



是一的數學

• 自有文明以來﹐ 只有一套數學﹐ 雖然有許多分支如分析(analysis)﹑ 代數 (algebra)﹑ 幾何(geometry)﹑ 拓譜 (topology) 等﹐ 但彼此之間並無任何矛盾存在﹐ 反而有相得益彰之功效。



一是數學的標記

• 例如我們可用分析的方法來證明代數基本定理﹐也可以利用代數中李群結構來處理幾何上的問題﹐ 此外分析與幾何之間以及幾何與拓譜之間有更多彼此幫補的例證﹐這是數學學門的一大特色。

• 與其他學門相比如哲學﹑ 藝術﹑ 文學﹑ 社會學﹑ 法學等更凸顯其獨特。 數學的一成為他本身的標記。



公理與定義的互相內住

• 數字 1 的出現﹐ 引發了公理 1 +1 =2 的產生﹐ 也開創了這個學門的源頭。 藉著運算的演繹﹐定義了更多的數字如下：

• 2+1 =3; 3+1 =4; 4+1 =5; 5+1 =6;……

• 至終形成了自然數系。

• 在此我們看見公理藉著運算的演繹住在定義之內﹔ 自然數系定義的本質在于公理 1 +1 =2 的存在﹐ 換言之﹐ 此一定義是住在公理蘊藏的豐富之中。



定義與定理的互相內住

• 累加概念的落實﹐ 產生了乘法的定義﹔ 反運算概念的推廣﹐ 產生了减法和除法﹐ 構成了加减乘除四則運算﹐ 結果推演出整數系和有理數系。

• 在推演的過程中﹐ 發現了一些重要規律﹐ 如交換律﹑ 結合律﹑ 分配律等。



定義內住在定理之中﹐ 而定理表現了定義的豐富

• 利用抽象化的符號以及嚴格的邏輯論證﹐歸納出以下三個定理﹕

• 交換律﹕ a+b = b+a; a× b = b× a;

• 結合律﹕ a+(b+c) = (a+b)+c; a× (b× c) = (a× b)× c;

• 分配律﹕ a × (b+c) = (a× b) + (a× c) for all a, b, c



定理與公理的互相內住

• 抽象思維將數學帶入一個美麗的新境界﹐藉著抽象而嚴格的叙述﹐ 也使他更具能力。

• 舉例來說﹐ 我們可將上述定理的敘述﹐ 當作運算公理中的交換律﹑ 結合律與分配律。這說明一個被證明過的定理﹐ 可視為一公理﹐而成為下一個定義與定理的起源。



主 題 二﹕ 經歷數學的路

• 壹﹑ 客觀的一面

• 貳﹑ 主觀的一面



客觀的一面﹕

• 相信接受公理

• 學習認識定義

• 瞭解明白定理

• 但實際上﹐ 很多人對公理的相信不夠絕對﹐或半信半疑﹑ 或部分相信﹐ 以至於對定義和定理一知半解﹐ 造成學習障礙。



主觀的一面

• 親自尋找數學中的思路﹐ 切勿在冰上溜冰﹐而要深入探究其中心思想﹐ 進而明瞭其內在素質﹔ 如同在結冰的河面上鑿洞﹐ 才能看見河中的魚﹐進而捕捉到魚來成為我們的享受。

• 所有主觀的經歷都必須我們親身經歷﹐ 沒有人可以代替﹔ 數學老師最多只能從旁建議﹐給予一些經驗分享而已。

• 主觀的經歷會使我們被構成﹐ 成為我們的所是﹐ 而客觀的經歷最多只是得到一些知識道理﹔ 必須要有主觀的經歷﹐ 才不會『知其然而不知其所以然』。

• 舉例說明﹕ 頑童教授的經歷



頑 童 教 授 的 經 歷

• 頑童教授是某國立大學數學系教授﹐從小算術成績很差﹐ 最低曾經只考三十分﹔ 小學六年共讀了三個小學。

• 然而後來居然拿到國立大學應用數學學士﹑ 碩士學位﹔ 美國紐約大學數學博士。 我們接下來看這位教授的心路歷程。



得救的轉變

• 由於生性悖逆﹐ 愛講理由﹐ 不愛聽師長的話﹐ 以至於無法簡單地相信數學公理﹔ 喜歡有自己的想法﹐但對師長所教的內容﹐ 常常半信半疑以致于一竅不通。

• 後來到了小學高年級﹐ 因為接受基督作救主﹐ 神聖生命進到他裏面﹐ 開始對難看的成績有了感覺。特別是看到母親傷心的表情﹐ 裏面就有過不去的感覺﹔於是開始悔改﹐ 決心彌補虧欠。



享受數學的祕訣

• 上了中學﹐ 開始認真學數學﹐ 雖然基礎不好﹐ 但認真上課﹐ 把數學中的客觀知識學會﹔ 此外利用課餘時間獨自思考﹐ 除了反芻客觀知識外﹐也開始自我發問﹐ 並嚐試解決這些問題。

• 每當解決一些問題時﹐ 就覺得這些客觀知識實在有趣﹐ 數學是一個多采多姿的學科。 反芻與自我發問是讓他被數學構成的關鍵﹐ 也是享受數學的祕訣。



主 題 三﹕ 享受數學的路

• 當我們對數學有了完整的經歷後﹐ 就會得著他成為我們的享受。 這享受會開啟我們的胃口﹐ 讓我們想要有更多﹑ 更廣的經歷。

• 基督徒對基督的享受也是如此﹐ 藉著對聖經話語的追求﹐ 在每一天的生活裏完整的經歷這位包羅萬有的基督﹐ 得著祂成為我們的享受﹔使我們願意更多﹑ 更廣﹑ 更深的經歷享受祂的一切豐富。



正如聖經以弗所書三章十七至十九節 • 『使基督藉著信﹐ 安家在你們心裏﹐ 叫你們在愛裏生根立基﹐使你們滿有力量﹐ 能和眾聖徒一同領略何為那闊﹑ 長﹑ 高﹑ 深﹐ 並認識基督那超越知識的愛﹐ 使你們被充滿﹐ 成為神一切的豐滿』 。



主題四﹕ 聖經中關於 神的啟示 ― 神聖三一

• 如同數學是很多人的奧秘﹐ 聖經所記載的神對很多人而言﹐ 也是一個奧秘﹐ 這需要我們蒙祂憐憫得著關乎祂的啓示。

• 關於神聖三一（ 三一神） 的真理是有兩面的。三一的意思是三而一。 這個辭來自兩個拉丁字根， 意思是三和一。 我們的神是三一的。照著聖經， 我們接受神是獨一無二的， 並且祂也是三的這個真理。 我們信神是三一的， 祂是三而一的。



壹 ﹑ 在宇宙中只有一位創造諸天萬物的神

• 聖經節﹕ 神只有一位， 除了祂以外， 再沒有別神； 神既是一位

• 經節： 可1 2: 32 ， 路1 8: 1 9 ， 約8: 41 ，羅 3: 30 ，林前8: 4,6 ， 加3: 20 ， 提前 2: 5 ， 雅2: 1 9 　 （新約）

• 申 4: 35,39 ， 王上8: 60 ， 賽 45: 5,6,1 4,1 8,21 ， 何1 3: 4 ， 珥2: 27 （舊約）



貳﹑ 神只有一位﹐ 但有父﹑ 子﹑ 靈三方面的講究

• 聖經節﹕ …將他們浸入父、子、 聖靈的名裡。

• 經節： 太28: 1 9 ，林後1 3: 1 4 ， 弗 1 : 1 7



參 ﹑ 父﹑ 子﹑ 靈身位雖三﹐但本質卻是一

• 身位雖三， 本質卻是一靈

• 子是父： 賽9: 6 因有一嬰孩為我們生；有一子賜給我們。 政權必擔在他的肩頭上； 他名稱為「奇妙策士、 全能的　神、 永在的父、 和平的君」 。

• 神是靈： 約4: 24 　 神是靈； 敬拜祂的，必須在靈和真實裏敬拜。



父與子互相內住， 一同行事：

• 約1 0: 38 … 叫你們可以知道， 且一直知道： 父在我裏面， 我也在父裏面

• 約1 4: 1 0 … 乃是住在我裏面的父作祂自己的事。

• 約1 4: 1 1 你們當信我， 我在父裏面， 父在我裏面…

• 約1 7: 21 使他們都成為一； 正如你父在我裏面， 我在你裏面， 使他們也在我們裏面…。



神的目 標

• 神要我們領悟， 三一神─父、 子、 靈─ 經過了一個過程， 包含成為肉體、 人性生活、 釘十字架、 復活和升天。

• 藉釘十字架， 耶穌基督了結了舊造。 藉復活， 祂在新造裡使我們有新生的起頭。藉升天， 祂得榮耀、 被高舉、 登寶座、被立為主、並得神聖行政的使命。



藉著呼求主耶穌的名

• 在這之後， 祂作為包羅萬有賜生命的靈降臨到召會。 今天， 祂作為這靈， 等候人藉相信祂而接受祂。

• 人一呼求主耶穌的名， 基督就會立刻進到他裏面， 重生他的靈， 住在他的靈裡， 並將祂自己與他重生的靈調和， 使他真正與祂成為一。

• 聖經羅馬書十章十二 , 十三節: 祂對一切呼求祂的人是豐富的. 因為凡呼求主名的, 就必得救.





神終極的目標

• 然後這初信者必須知道他的靈， 也知道賜生命的靈， 就是三一神終極的彰顯，使他得變化， 並與別人被建造成為身體， 生機體，彰顯三一神， 以完成神的定旨。 這就是神的目標。



結語﹕

• 現在﹐ 『因為神格一切的豐滿﹐ 都有形有體的居住在基督裏面﹐ 』 （ 聖經歌羅西書二章九節） 所以﹐ 只要我們藉著簡單的相信接受 主耶穌基督作我們的救主﹐ 我們就能完整的經歷享受祂﹐ 在祂裏面得了豐滿。

river.

次方數的規律性
分類：數學哲學
2009/09/20 10:19
神的創造：創造的三角。神的話語：帕斯卡三角。帕斯卡三角就是創造的三角

次方數的規律性
帕斯卡三角
二項式定理


數字在生活中的應用是非常廣泛的，不論是數學、物理、化學等等，都必須用到數字，而這其中又有什麼規律性呢？當然，這就是我們要探討的，以一個數字來講，或許你看不出他有什麼特別的，但如果是以一個數列、方程式、面積或體積來呈現，就比較容易看出它有什麼規律了，只不過現代的人太容易忽略數學了，如果能夠仔細尋覓、探求出數字家庭的奧秘，那真是太棒了。

river.

聖經與數學中的一



摘  要

壹、前言

貳、內文

         一、數學的本質建構

         二、為何數學有一

         三、聖經中的數目

         四、聖經中關於神聖三一的啟示

         五、聖經中的『二人成為一體』

         六、 『一』的開始、維繫、並歸結

         七、要人生有意義就需要…

         八、要豐富的人生就需要…

         九、接受永遠生命之後…

         十、榮耀的定命與永世的盼望

結  語

　

摘  要

數學為科學之母，經歷代的發展，雖有許多分支但彼此之間不僅沒有任何衝突予盾，反而有許多互相幫助的例證，這說明了各分支間的合一，稱為數學中的一。同樣地在聖經中也有一，就是這位創造宇宙萬有的神、這獨一的真神要與我們所有信入祂的人是一。我們藉著相信接受祂就得著神永遠的生命，使我們眾人都與祂在生命和性情上是一，但無份於祂的神格，進而使我們都成為一並作祂團體擴大的彰顯。本文將利用簡單的數學原理來說明聖經中這神聖且奧秘的一。

    數學中的一說出它（數學）的獨特，使它成為一精鍊的語言，可以應用在從日常生活問題到研究其他學門的問題上，是一重要的工具。 聖經中的一說出三一神與我們的關係，使我們得到永遠的生命，成為我們人生真實的意義和盼望。

　

關鍵詞：數學中的一，聖經中的一，三一神

  

壹、前言

數學的定義

數學可被定義為這樣的一個學科:我們既不知道我們在談論什麼，也不知道我們所說的東西是否是正確的(羅素B.Russell)。 很多人因為對數學的本質不瞭解，以為數學是個奧秘；同樣地﹐聖經中的神聖啟示對於很多人也是個深不可測的奧秘，但是一旦接受開啟，這奧秘可成為我們真實的經歷與享受。



貳、內文

一、數學的本質建構

基本上，數學的本質是由公理(axiom)， 定義(definition)和定理(Theorem)所建構成的一套學問。 雖然經過了數千年，發展出許多領域如分析(analysis)，代數(algebra)、幾何(geometry)、拓譜(topology)等，但是各領域之間不但沒有任何矛盾衝突，反而有很多相得益彰的例子。



例如代數基本定理(fundamental theorem of algebra)需要利用複變分析(complex analysis)的方法來證明;可以利用代數中李群結構來處理幾何上的問題，此外分析與幾何之間以及幾何與拓譜之間有更多彼此幫補的例證，這是數學學門的一大特色。與其他學門相比如哲學、文學、社會學、法學等更凸顯其獨特，數學的一成為他本身的標記。



二、為何數學有一

數學的一並非偶然，任何人要進入數學的殿堂必須先相信接受數學中的公理才能一窺其奧妙的豐富，得見科學之母的獨特，否則就與他無份無關了。 數學的一是建立在對一套公理的相信之上，進而藉著運算的演繹和形式邏輯的歸納，建構出定義的敘述與定理的論証。

（一）您相信數字1的存在嗎？

對一般人而言，這是一個不可思議的懷疑。數字1的存在是無庸置疑的！同樣地，對基督徒而言，神的存在也是毫無疑問的。

（二）1+1=2是真的嗎？

回想兒時老師具像式的教導，把一個蘋果和另一個蘋果放在一起，稱為兩個蘋果。但老師也教導我們說，一個蘋果和一個梨子卻不能相加。為什麼？因為相同的才能相加，不同的不能相加。可是……

1﹒真的有完全相同的蘋果嗎﹖

今天科技進步，我們可以用各種儀器來檢測出兩個蘋果間的不同。另外量子物理也告訴我們電子與電子之間都不盡相同！沒有兩個蘋果是完全相同的，所以，1加1前面的1是跟後面的1不同，也不能相加的。這個觀點似乎否定了數字1的存在﹐正如有些人以所謂的「科學證據」否定神的存在一樣。

2﹒然而數學公理錯了嗎？

當然不是，因為這裏『相同的蘋果』是主觀的相信每個蘋果皆同，而非藉由客觀的推理論証，證明每個蘋果皆同。藉著我們相信數字1的存在，並接受1+1=2這個事實，才能進入數學這奇妙的世界，否則就與它無份無關了。基督徒也是這樣，首先必須相信獨一真神的存在，使你跨入屬靈奧秘的境界。然後，藉著相信接受基督耶穌作救主，得享受祂的豐富，否則便與祂無份無關了。



（三）1+1=2是公理（axiom）而非定理（theorem）

“1+1=2” is NOT a theorem to be proved but an axiom to be believed! 惟有先相信、接受公理才能在數學奧妙的範圍裡認識它，否則就不能認識它了。聖經中的真理也是這樣，除了相信主耶穌基督作救主以外，別無拯救，使我們享受祂豐富的恩典。（相信這位獨一的真神成為一個人叫耶穌，…….）

1﹒接受1+1=2之後…

定義出更多數字如3=2+1, 4=3+1, …形成自然數系。累加概念定義出乘法，反運算概念定義出減法和除法，進而發展出整數和有理數系。藉著運算的演繹和抽象符號的運用，歸納證明出許多定律如交換律、結合律、分配律等。

2﹒數學的延展

舉凡被證明的定理可視為公理的延續，而成為一更廣義的公理。因此可以廣泛地應用在所有數學問題之中，發展更多理論，也可協助解決其他科學與工程問題。 這就像一條河流，公理是源頭，定義是水泉，定理是川流，藉著我們相信接受公理，就可享有河流裏的一切豐富。



三、聖經中的數目

（一）聖經中數字『一』的意義

『一』是神的數目，講到獨一的真神(申6:4；提前2:5)。『一』為諸數之首，是一個創始的數目，沒有其他數目在它之前，所有數目都在它之後，講到神的偉大，祂是萬有的根源，居萬有之首位。『一』也是獨立的，不必依賴其他數目，表明神的能力。

（二）聖經中數字『二』的意義

『二』是主耶穌的數目，在三一神中居第二位，是第二個人，有兩個性情：神性與人性。祂的工作分作受苦與得榮兩大部分。『二』也是見證的數目，有兩個不同的人作見證，這見證就是真的(申17:6；19:15；太18:16林後13:1)。神給人的見證有舊新兩約，見證的法版有兩塊，三一神的第二位是神的話，誠實作見證的(啟1:5)。門徒是兩個兩個的出去。

（三）數字『三』的意義

公理『1 ＋1＝2』衍生出兩件事，第一是數字二的定義，第二是『加一』的概念，不僅是數字一可以加一，而是任何數均可以加一。這個『加一』的概念引發了數字3=2+1的定義以及4=3+1, 5=4+1, …至終發展出自然數系和數學歸納法，可說是數學發展重要的一步。3=2+1是從『加一』概念所衍生出有別於公理『1+1=2』的第一個數字。3是由2所衍生出來的，並且還可以衍生出更多其他的數目如4,5,6,7…。我們可以說數字3的定義帶進了數目的繁增。

1﹒聖經中數字『三』的意義

是三一神的數目，也是復活的數目，表徵三一神在復活中。主耶穌在第三天復活，成為賜生命的靈，分賜生命給全地所有信入祂名的人帶進生命的繁增。正如一粒麥子落在地裏死了就結出許多子粒一樣。

2﹒『三』也是最初的完全

陸地在第三天從死水中升起，在逾越節過後的安息日之次日的初熟節（利二三10-11）是從逾越節算起的第三天，主耶穌在這天清早復活（太二八1）。三是最初的完全，代表神，而一個完全的人有靈、魂、體三部分。主耶穌三次受試探，三次在客西馬尼園內禱告，彼得三次不認主，主三次問彼得『你愛我麼？』，使徒的祝福有由三一神來的三重祝福(林後13:14)，撒拉弗讚美神講三次『聖哉』(賽6:3)。

（四）數字4=3+1

『四』是從三（是三一神的數目）生出來的第一個數目。『三』加『一』是『四，』所以『四』是受造的數目。所有和受造之物有關係的都用『四，』像地有四方，年有四季，風有四風，伊甸園流出的水分四道，尼布甲尼撒夢見的像有四段，從海中上來的有四個大獸，代表受造之物的活物有四個。還有，記載主耶穌地上生活的是四卷福音。

（五）數字7=3+4;『七』是完全的數目

這個完全是指今天暫時的完全，不是永久的完全。『三』是三一神的數目，『四』是受造之物的數目，把造物者和受造之物加在一起，就變作完全，神加人就變作完全。但這不過是『三』和『四』加在一起，所以是暫時完全。

（六）聖經中的七

聖經裏一切暫時的完全都用七，像一週有七天，馬太十三章裏面有七個比喻，啟示錄裏面有七個教會、七個燈臺、七個使者，又有七印、七號、七碗，這都是指暫時的完全，不是指永世裏的完全。

（七）『十二』是指永世裏的完全

完全的數目有兩個：一個是『七，』一個是『十二』。『七』是屬乎神的完全，是今天的完全。『十二』也是屬乎神的完全，卻是永世的完全。有一件事情相當希奇，就是到了新天新地的時候，七的數目就不存在了。

1﹒聖經的根據:啟示錄

新耶路撒冷有十二個門、十二個根基、十二個使徒的名字、十二樣寶石、十二顆珍珠，城牆共有一百四十四肘，就是十二乘十二。這些都是永遠存在的，所以『十二』是永世的完全。

2﹒為甚麼『七』是暫時的完全，而十二是永世裏的完全？

原來三加四不過是神和人合在一起，不過是造物的主和受造之物相加，而三乘四乃是造物的主和受造之物相乘，意思就是二者調和林前12:24在一起。『乘』和『加』不同。『乘』是神和人不能再分（完全的聯合，人裡有神，神裡有人），是造物（創造）的神和受造之物的合一，這一個合一是永遠的。神的永遠心意乃是與人完全的聯合。所以『十二』所代表的完全是永遠的完全。

3﹒以『減法』來看7≠12

7（暫時的完全）=3（神）+4（我們）。當我們（4）轉向神（3）與祂連結時就在這樣的完全（7）裡，但當我們不轉向祂與祂連結時，就失去祂的同在，就從暫時的完全退回到我們原先被造之時的地位即 “7-3=4”。正如當士師（詳如舊約士師記）受耶和華的靈澆灌時便聖別且無所不能，但不被靈充滿時就滿了失敗的光景。

4﹒數字12與7的不同

將12（永遠的完全）無論減多少次3（三一神）都不會等於4（我們﹑受造者），這與7（暫時的完全）截然不同。



四、聖經中關於神聖三一的啟示

聖經啟示神是三一的(Triune) 即一位神但有父﹑子﹑靈三身位。

（一）在宇宙中只有一位創造諸天萬物的 神

聖經節﹕神只有一位，除了祂以外，再沒有別神；神既是一位

經節：可12:32，路18:19，約8:41，羅3:30，林前8:4,6，加3:20，提前2:5，雅2:19　（新約）

申4:35,39，王上8:60，賽45:5,6,14,18,21，何13:4，珥2:27（舊約）

（二）神只有一位﹐但有父﹑子﹑靈三方面的講究

聖經節﹕…將他們浸入父、子、聖靈的名裡。

經節：太28:19，林後13:14，弗1:17

1﹒何謂三一 ?

三一的意思是三而一。這個辭來自兩個拉丁字根，意思是三和一。我們可以用數學中的定理作比喻來瞭解三一的意思﹐『任何非零有限數的三倍都不等於它自己﹐但三個無窮大相加還是無窮大』﹔這說明三一神是包羅萬有﹑延展無限的神。

2﹒然而 3=1?!

我們所信的這位神是創造宇宙萬物的神,不受時空的限制,是無限的神。在數學中,無限大的三倍還是無限大,無限大的三分之一也是無限大。此一比喻說明,當我們遇見子就遇見父,碰著那靈就得著三一神自己。

（三）我們的態度

我們的神是三一的。照著聖經，我們接受神是獨一無二的，並且祂也是三的這個真理。我們信神是三一的，祂是三而一的。 父﹑子﹑靈身位雖三﹐本質卻是一靈。

1﹒父﹑子﹑靈身位雖三﹐但本質卻是一

身位雖三，本質卻是一靈

子是父：賽9:6 因有一嬰孩為我們生；有一子賜給我們。政權必擔在他的肩頭上；他名稱為「奇妙策士、全能的　神、永在的父、和平的君」。

神是靈：約4:24　神是靈；敬拜祂的，必須在靈和真實裏敬拜。

2﹒父與子互相內住，一同行事

約10:38 …叫你們可以知道，且一直知道：父在我裏面，我也在父裏面…

約14:10 …乃是住在我裏面的父作祂自己的事。

約14:11 你們當信我，我在父裏面，父在我裏面…

（四）與我們的關係

父﹑子﹑靈三者互相內住，彼此共存，彰顯是一的神。這互相內住有一個目的，就是要把我們帶到這個互相內住裡，使我們與祂成為一，並使我們都成為一。

約17:21 使他們都成為一；正如你父在我裏面，我在你裏面，使他們也在我們裏面，叫世人可以信你差了我來。

1﹒我們如何成為一?

今天人與人之間有太多的不同，各種文化﹑種族﹑語言差異帶進價值觀和意識型態的對立，使我們不能成為一。然而在人不能，在神凡事都能。

2﹒二人能成為一嗎？

要使眾人成為一， 就先要使二人能成為一。看看現今社會離婚率居高不下，各種家人失和的現象層出不窮，出賣朋友的事情更是司空見慣。這說明了愛情﹑親情﹑友情，都不能使我們成為一。我們成為一，不是你跟我是一，或我跟你是一，而是我們與那獨一的神是一了，眾人都跟這獨一的神成為一，就是絕對的一。



五、聖經中的『二人成為一體』

創2:24…與妻子聯合，二人成為一體。

一個男人能跟妻子結婚成為一個家庭，但兩個人要成為一還是相當的困難。各有各的個性、愛好、決定等。

弗5:31-32…與妻子聯合，二人成為一體（一個肉身）。這是極大的奧秘，但我是指著基督與召會說的。

（一）『二人成為一體』的真實意義

神在基督裏成為肉體，經過死與復活後，成為賜生命的靈，簡稱『那靈』(the Spirit)進入所有相信接受祂的人裏面（受造的靈），使我們得到

river.

追尋科學定律的目的何在？顯然是為了預言未知之事
分類：數學哲學
2008/05/01 09:38

艾曼紐‧德爾曼(Emanuel Derman)【一個計量金融大師在華爾街】：一本獨特的自傳，並揭開了華爾街計量分析的面紗，闡述將物理精確微妙的方法，運用至財務市場。

如果數學是科學的皇后，就像偉大的數學家卡爾?弗里德里希?高斯(Karl Friedrich Gauss)十九世紀首度做出的這般比喻，那麼，物理便是科學之王。從十七世紀中葉到十九世紀末期，伊薩克?牛頓(Isaac Newton)的萬有引力定律(law of gravitation)、三大運動定律(laws of motion)與微分，以近乎完美的方式，說明了我們的世界及太陽系中所有物體的機械運動。

在牛頓之後兩百年，一八六四年，蘇格蘭物理學家詹姆斯?克拉克?馬克斯威爾(James Clerk Maxwell)提出精練且優雅的微分方程式，以同樣驚人的準確性，說明了光線、X光與無線電微波的傳播。馬克斯威爾的方程式證明了，原先被視為兩種不同現象的電與磁力，事實上是同一個統一電磁場的部分元素。
我們無法只透過觀察周遭的世界，導引出牛頓的定律或馬克斯威爾的方程式。數據本身並不能說明什麼。這些方程式是人類心智的結晶，是透過嚴謹的思考及深沉的直覺兩者奇妙的交互影響，自這個世界萃取得出。這些成就確認了一件事:抽象的思維加上優美的數學，可以發掘宇宙最深奧的定律。

二十世紀初，科學演進加快了腳步。亞伯特、愛因斯坦(Albert Einstein)仔細思索了牛頓和馬克斯威爾兩人對世界的不同看法，提出狹義相對論(theory of special relativity)去修正牛頓的力學，使其符合馬克斯威爾方程式。十五年後，愛因斯坦再度以廣義相對論(general theory of relativity)成功挑戰牛頓；這項理論修正了牛頓的萬有引力定律，並將重力形容為時間與空間中的一股大尺度微波。在幾乎相同的時候，藉由絕頂聰明的愛因斯坦協助，尼爾斯?波爾(Niels Bohr)、厄文?薛丁格(Erwin Schr?dinger)與沃納?海森堡(Werner Heisenberg)發展出量子力學理論，說明了分子、原子與次原子粒子的小尺度行為。

愛因斯坦將這種探索宇宙定律的思考模式推向完美的境界。他的方法並非根據觀察結果或經驗法則而來；他試圖理解規範物體運作的基本原理，然後清楚地公布他所發現的結果。一九一八年，在一場紀念量子的發現人馬克斯?浦朗克(Max Planck)、以研究原則為主題的演講中，愛因斯坦巧妙說明了，物理學家的作法有如古代的聖哲試圖在黑暗中看穿一面鏡子般:「你無法透過邏輯推理發現這些定律；唯有透過能夠融入經驗的直覺，才能發現這些定律。」

不管在任何領域，追尋科學定律的目的何在？顯然是為了預言未知之事——能夠預測未來並加以掌控。我們享用、依賴、憎惡或畏懼的大多數現代科技——如手機、電烤架、電腦斷層掃描及核子武器等——都是利用量子力學、電磁學及相對論的基本原理發明而成，而這些理論全是腦力激盪的結晶。二十一世紀的預言所運用的經典工具，的確都是物理學的工具。近來，物理學家也開始將相同的工具運用至財務學領域。

river.

基督教在近代數學興起中的作用初探 　
分類：數學哲學
2008/04/19 16:26


基督教在近代數學興起中的作用初探 　

近代數學的本質是變數數學，變數數學的産生的第一個標誌是16世紀韋達的符
號代數學，其後在17世紀解析幾何的建立，微積分的勃興，和18世紀分析學的發展
是近代變數數學取得的最重要的成果。19世紀幾何學、代數學、分析學等領域的一
系列的重大突破，以及複變函數論、抽象代數、拓撲學、數理邏輯、集合論等新學
科的産生則是近代數學成熟的標誌。從16世紀到19世紀這短短三百多年的時間裏，
數學所取得的成果遠遠超過了以往所有時期數學成果的總和，其發展速度之快、範
圍之廣、成就之大無不令我們感到震驚，瀏覽近代數學波瀾壯闊的精彩歷史畫面時，
一種爲人類的智慧所達到的不可思議的成就而震驚的情感油然而生。這段激動人心
的歷史不由地引出了一個值得思考的問題：在當時的歐洲出現了什麽使得數學發生
了如此巨大的變化，或者更具體一點說，近代數學的興起爲什麽發生在一個特定的
地點既歐洲，和一個特定的時間，而沒有發生在任何其他的地方或其他時代？這個
問題也曾以"近代數學爲什麽僅産生於西方"被李約瑟提了出來。在對於這個問題的
討論中，人們一般認爲是15、16世紀的歐洲在衝破了中世紀的宗教思想束縛以後，
隨著文藝復興和資本主義的興起，科學中數學化趨勢的增長等因素促使了數學本身
走向繁榮，在這個過程中希臘思想的傳入是近代數學發展的最主要的因素，近代數
學是希臘數學的進一步發展。


　　上述觀點大部分是正確的，然而並不全面。因爲它忽略了歐洲文明的另一主要

淵源--基督教在近代數學興起的過程中的重要作用。讀近代數學的歷史，給我們以
強烈印象的是這樣一個現象：對於上帝的讚美幾乎成爲這一時期每一位科學家、數
學家衆口一詞的行爲。有些人這樣解釋這種現象：在衆多追求真理的科學家和數學
家的心靈深處，科學與真理才是他們真正鍾情的，只是爲了使數學和科學研究合法
化而不得不舉起上帝的旗號。這種帶有主觀色彩的、一相情願的解釋，未免有些牽
強附會。它起碼忽視了這樣一個事實：在近代科學與數學興起和發展的時代，宗教
是當時歐洲社會中最強大的力量。近代數學的先驅們，像韋達、笛卡兒、帕斯卡、
牛頓、萊布尼茨都懷有強烈的宗教情感，數學與科學只是他們完成宗教使命的一部
分。因此，解釋與事實之間的矛盾需要重新審視過去的關於基督教與近代數學的關
係的某些結論。即然如此，我們就不得不面對長期以來雖然被廣泛矚目但同時又被
回避的一個問題，即基督教對近代數學的興起與發展到底起了什麽作用？要回答這
個問題，首先必須從基督教與數學的關係談起。


一，基督教與數學的關係

　　著名的數學家、哲學家懷特海在發表於1925年的《科學與近代世界》[1]一書中
談到中世紀思想以及基督教神學對於近代科學的起源的貢獻時指出，近代精神的顯
著特點是相信事實和相信規律的結合，即"如果沒有一種本能的信念，相信事物之中
存在著一定的秩序，尤其是相信自然界中存在著秩序，那麽現代科學就不可能存在
"。懷特海認爲這種信念最初來源於古希臘人的悲劇精神，即認爲命運是冷酷無情
的，它驅使著悲劇性的事件無可逃避地發生。希臘人對自然的看法本質上與此類似，
自然界亙古不移地遵守某個理想的方案。秩序這個概念後來受到斯多噶學派的推
崇，並爲羅馬法所加強。在羅馬帝國滅亡之後，這種法律秩序的觀念仍然存在于民
族傳統中。他認爲中古世紀在規律方面的見解爲西歐的知識形成了一個很長的訓練
期，使之成爲一個理性主義的時期。在中世紀，秩序的思想是和對神的理性的堅定
信念合而爲一的，它相信每一事物都受到神的監視並被置於一種秩序之中，而研究
自然的結果只能證實對理性的信念。正如喬瓦尼．皮科所說："大自然就是秩序，就
是經過和諧調節後的多樣化了的統一性。這種和諧統一性的表現就是承認萬事萬物
中存在著理智的聯繫和邏輯的推導。"

　　對秩序與理性的重視導致了數學並未被中世紀的神學家們所忽視，實際上，古
代的數學知識的保存許多是由修士們保存下來，並且中世紀的課程"七藝"（算術、
音樂、幾何、天文、文法、修辭和邏輯）中有四門與數學有關[10]。在中世紀這樣
一個仍然同基本的閱讀力進行抗爭的社會來說，數學之所以受到如此的重視的原因
何在？科學史學家漢金斯認爲[2]，基督教文化中重視數學的傳統是由於人們對於上
帝與理性的理解有關。中世紀的學者把所有的方案和行爲都歸於上帝，他是設計者
和創造者，而且所有的自然界行爲都遵循他制訂的規則，宇宙是他的傑作，是他的
意志的産物。上帝創造的宇宙是有法則、有秩序的，而人的職責則是運用"理性"去
發現宇宙的秩序與法則。所謂理性一般是指正確方法的關鍵，它也指自然界的秩序，
也表示邏輯上有效的論證，就像數學中的論證那樣，所以，數學一直被作爲秩序和
理性的典範。在這樣一種價值取向下，數學受到推崇是很自然的。因此，數學的最
基本的思想、方法和觀念等成分漸漸被吸納進基督教體系中去，並成爲構建基督教
體系所必須的條件之一。這一點特別明顯地體現在九世紀著名的經院哲學家和神學
家Saadia Gaon的著作中。在他的系統的神學理論中已經曾現出十九世紀和二十世紀
數學所特有的某些方法和思維過程。如Saadia在他的著作中曾把上帝的存在作爲假
定，而上帝的唯一性被證明出來，並且以後所賦予上帝的一些性質通過抽象推理和
《聖經》的象徵手法有趣地結合而推導出來。在這裏希臘人的方法與希伯來傳統結
合起來。這也引出了近現代數學中的"唯一性問題"。中世紀神學理性的思想在托馬
斯．阿奎那等人的著作中達到了頂點，他們直接吸納了數學基本的抽象觀念和邏輯
推理的方法，從而構建了一個龐大而又嚴密的宗教思想體系。在他們的著作中可以
發現抽象的程式，符號表示的應用，包括像"反證法"的有趣的邏輯設計，也有一些
邏輯的概念，這些概念從羅素和懷特海以後變得標準化起來。更進一步他們對上帝
存在（唯一性）的證明引起了這樣一種觀念的産生：存在唯一性定理在一個理論體
系中處於一個中心地位，這種觀念也在近代數學的內容中留下了烙印。總之，中世
紀的"明確嚴謹的思想之習慣……由於經院神學的長期統治而被灌輸到歐洲人的頭
腦之中"，正是這種理性的精神構成了神學思辯和數學思維相互默契的一個樞紐。

　　這樣，數學在彌漫著神學氣質的精神環境中就成爲宗教內容的一部分。相應地
探求自然界的數學法則就成爲一種很虔誠的宗教活動，其目的是揭示上帝的偉大和
輝煌。這種思想明確出現在中世紀的一些神學家的文獻中，例如，Gandersheim的 修
女、劇 作 家Hrosvita （西元980）在 她 的 劇 本"Sapientia"中曾經給出關於數
的某些結論的複雜的討論，然後她說：[4]"這個討論如果沒有導致我們欣賞我們的
創造者的智慧，以及自然界的作者令人驚奇的智慧的話，那麽它將是徒勞的。他從
無中開始了世界的創造，並置一切事物於數、測量和重量之中。然後，在人類的漫
長歲月中，形成了一門越研究越展現出令人耳目一新的神奇科學。"所以，對於此時
的歐洲學者來說，上帝就是一位至高無上的數學家，人類不可能指望像上帝那樣清
楚地明白上帝的意圖，但人至少可以通過謙恭的態度和理性的思考來接近上帝的思
想，就可以明白神創造的世界。


二，新的數學觀的形成及其對於近代數學實踐的影響


　　希臘人的宗旨--自然是依數學設計的，與聖經宗教的教義--上帝是這個設計的
作者的信念融會在一起而演化成一種新的信仰--上帝依照數學設計了宇宙。這一信
念經過中世紀幾百年的基督教文化氛圍的積累和醞釀，終於在16世紀左右爆發出來
前所未有的活力，對於推進近代數學和近代科學的産生起到極大的促進作用。它的
第一個成果就是促進了一種不同于古希臘人的嶄新的數學觀形成。
　　近代科學的開創者伽利略和開普勒也是近代數學觀的奠基者，伽利略曾說："
自然是永遠寫在我們眼前的偉大的書本裏的--宇宙--但是，如果我們不先學會書裏
所用的語言，掌握書裏的符號，就不能瞭解它，這本書是用數學語言寫出的，符號
是三角形、圓形和別的幾何圖形。沒有它們的幫助，人是連一個字也不會認識的；
沒有它們，就象在一個黑暗的迷宮裏勞而無功地遊蕩。"[3]這種觀點與柏拉圖所認
爲的世界是按照數學模式運作的觀念是一脈相承的。然而，無論伽利略本人是否以
柏拉圖主義者自居，也無論他對畢達哥拉斯、柏拉圖、歐幾裏德和阿基米德推崇備
至到何等地步，他與柏拉圖等人的立場有本質的區別。伽利略對數學的熱情集中在
數學能夠與觀測相符，這是一條遵循數學的實用性的道路。在畢達哥拉斯和柏拉圖
那裏，數學是一門獨立的、專門的學科，它被賦予了完美與和諧的性質。他們把數
學孤立起來看待，認爲數學是人們通往理念世界的階梯，而當完美的數學與不完美
的可感世界産生矛盾時，現實是被校正的物件，柏拉圖尤其認爲在現象世界中物質
阻礙了對數學理念的精確反映。而伽利略則認爲創世主已在他所創造的宇宙中充分
實現了他的數學規劃，這就意味著人類對數學的基本原理理解必須來自經驗與實
驗。這種觀點爲數學與物理世界、與實踐活動的結合奠定了基礎。伽利略所做的是
把數學成功地與自然研究相結合並對此堅信不疑，而不是單單復興了古代數理知
識。與伽利略相似，開普勒也認爲物質根本不是上帝創世活動的障礙。他說："哪里
有物質，哪里就有幾何學"。對開普勒來說，經驗並非是不相干的事物。他們認爲雖
然數學的形式存在於頭腦之中，但經驗能夠決定何種形式已被加諸於物質世界之
上。所以，伽利略等人和柏拉圖分別熱衷的數學是各自不同的時代精神的産物。人
文主義學者彼得o拉穆斯則明確抛棄了柏拉圖一味褒揚思辨、放棄實際應用和普及的
"盲目偏見"，他認爲，數學學科幾乎爲這種偏見所毀掉，因爲只有在實踐的刺激下
數學科學才能夠繁榮發展。F．培根是這個時期思想思潮的總結者，他極力提倡實驗
的方法，重視歸納法，強調知識的實用性，他認爲數學應爲物理服務。他要求科學
既要上升爲公理又要下降到應用，認爲科學造福於人類才是最爲合理的目標。於是，
在這個時期一種明顯區別于畢達哥拉斯-柏拉圖的觀點的數學經驗論就形成了。這種
觀點對近代科學，同時也對近代數學的發展産生了重大的影響。

　　上述這種新的數學發展趨向和價值觀的出現與聖經宗教所倡導的教義有密切的
關係。在《聖經》中，上帝把所有的勞動都看作是神聖的，而不管這些勞動是否由
奴隸完成還是由自由民來完成。物質並不比非物質的東西低一等，它們同爲上帝的
創造物，從事物質性的職業不應被看作是不名譽的，這樣手工藝者受到了尊重。這
種觀念在16世紀宗教改革中得到了充分的肯定和發揚。因此，在希臘哲學中的那些
阻礙實驗科學發展的因素就不存在了。實驗科學也就直接獲得了必不可少的宗教認
可，而數學中的實驗方法也就間接地獲得了認可。從此，數學就從柏拉圖主義的束
縛中解放出來，它不象古希臘數學僅限於邏輯思辨的方法，近代數學由此出現了一
個主要特徵，那就是數學研究方法的多樣化，包括邏輯證明、實物實驗等。這種新
的數學觀的影響體現在近代數學活動和實踐的探索中，由此刺激了許多新學科的産
生，如畫家達．芬奇和丟勒、荷蘭的工程師西蒙．斯蒂文分別在他們的實踐活動中
發展了幾何射影法和十進位小數。

　　上述新的數學觀的也導致了16和17世紀，尤其是在一些商業和工業中心，科學
家和工匠之間存在密切合作，從而爲數學活動的普及展開提供了前提條件。下面這
些事件是這種趨勢的最好例證。一位紐倫堡的鑄鐵匠請求數學家、牧師 Johannes
Werner將歐幾裏得幾何翻譯成德文，以便他的兒子學習，並提議每個專題都應該附
上實際應用的例子。英國的數學家 Leonard Digges、Thomas Harriot和John Dee等
偉大的數學家對有發明創造的工匠極爲尊重。英國數學家 Robert Recorde爲了便於
不諳希臘文和拉丁文的工匠們閱讀學習，開始用英文撰寫他的數學著作。自1588年
起，Thomas Hood在倫敦爲水手、工匠和士兵公開講授科學、數學和天文學。1598
年，倫敦格雷沙姆學院建成，以此作爲學者與技師的一個會面地點以及用拉丁文與
英文講授科學、數學及神學的地方，大名鼎鼎的數學家布裏格斯等是這所學院的數
學教授。

　　於是，近代數學在這種完全嶄新的文化氛圍中邁開了步伐。由於技工與學者相
互合作、邏輯思辨與實驗科學攜手大大刺激了數學中新的觀點、新的理論和方法的
産生，這時，數學一方面從實驗的自然科學中吸取了的靈感，激發了衆多新學科的
創造，如對數、三角學的形成，微積分的産生與分析學的發展都是建立在自然科學
的研究的基礎上的。另一方面，數學的成果也日益廣泛的被應用到其他自然科學的
研究中去。實際上，從開普勒、笛卡爾、伽利略、牛頓到十八世紀的拉普拉斯，他
們在一般方法上或具體研究中都是以數學家的身份去探索自然的。依靠數學的指
導，建立定量化的規律，從而導出了極有價值的科學成果。

　　由此看到，聖經宗教所蘊涵的思想，特別是宗教改革運動之後的新教思想無疑
更有利於導致近代數學的産生和發展所需要的一種社會文化環境。在這種環境中，
人們既能對物理世界所提出的問題發生興趣，又有人願意從抽象的觀點去思考由各
方面提出的問題所引起的概念，而不計其是否能謀取眼前的或實際的利益。而自然
界是産生概念的溫床，通過對這些概念本身進行研究得到新的抽象結論，然後反過
來應用于自然，於是便獲得關於自然的新的觀點，對自然界有更豐富、更廣泛、更
強有力的理解，而這又會刺激産生出更深刻的數學成果。近代數學就是在這樣一個
思辨與現實的相互作用、循環往復的過程中成長起來。


三，宗教動機--近代數學研究的出發點

　　除了古希臘的數學觀與基督教教義相結合而産生的數學觀刺激了數學的創造和
實踐探索之外，它對近代數學的另一個重要影響是爲近代數學的産生和發展提供了
強大研究動力。"尋找大自然的數學規律是爲了研究上帝的本性和行爲，以及上帝安
排宇宙的方案"是近代數學時期數學家們從事數學研究的強烈動機。這種宗教動機最
清楚地體現在開普勒所說一段話中："對外部世界進行研究的主要目的在於發現上帝
賦予它的合理次序與和諧，而這些是上帝依數學語言透露給我們的"。開普勒、伽利
略、帕斯卡、笛卡兒、牛頓以及同時代的萊布尼茨等近代科學和數學的開創者們都
視科學爲一種宗教使命，他們認爲科學家有義務去肩負之。"整個人類的首要追求目
標應該是理解和發展上帝所創造的奇迹，這也是上帝賜給人類地球這個帝國的原
因。"在這種熱烈的宗教動機的驅使下，他們證明了自然界的一些現象與數學定律相
吻合。由此使他們更加深信上帝不僅創造了世界，而且其創造與數學思維相一致。
於是對於這種美妙的吻合懷著一種難以置信的欣喜之情，1619年開普勒在他的《世
界的和諧》一書中表達了他對上帝的不盡的讚頌："我感謝你，上帝，我們的創造者，
你使我看到你所創造的傑作的美，我讚頌經你之手所創造的作品。看，我已經完成
了我被指派的任務；並從你所賦予我的智慧中獲得了樂趣。我將盡力在我的智力所
能達到的極限的程度上，向閱讀這個證明的人公開讚揚這項工作的榮耀。"[4]

　　偉大的數學家、物理學家牛頓的科學工作最明顯體現了尋求上帝設計自然界的
秘密的宗教動機。牛頓的光輝業績呈現給人類一個嶄新的世界秩序和一個包括了石
頭下落、海洋潮汐、行星及其衛星運動等宏大現象的宇宙圖景。牛頓的規劃使世人
折服：自然界是依數學設計的，自然界的真正定律是數學。牛頓之所以提倡他的自
然哲學的數學原理，而且確信數學是他所描述的現象的真正解釋，其基礎也是與他
那個時代的所有數學家和科學家同樣的信念：上帝創造的世界與數學原理吻合。牛
頓多次表明對上帝的信仰是他進行數學和科學研究的真正動力。他認爲科學也是崇
拜上帝的一種形式，科學將揭開上帝輝煌設計的秘密。他爲自己的工作揭示了無所
不在的上帝的秘密而倍感欣慰。事實上，牛頓重視宗教遠勝於重視數學與科學，因
爲後者只不過是展示上帝對宇宙的設計而已，牛頓把他的後半生全部獻給了神學。

　　對於上帝依數學設計自然界的堅信在十八世紀最偉大的數學家歐拉那裏達到了
高峰。他不僅用最大最小原理證明上帝比16、17世紀的人們所稱頌的更爲英明，而
且他還確信上帝賦予人類的使命是運用人類自身的才能去理解他的法則，自然之書
已經打開在人們的面前，但是它是上帝用人們一時半會不能理解的語言寫成的，只
有用毅力、熱愛、堅忍和鑽研才能讀懂，這種語言便是數學。正是這種強烈的宗教
使命感使歐拉把自己的一生奉獻給了數學與科學，直到生命的最後一刻。

　　伴隨著歐拉虔誠地進行數學研究的同時，在歐洲，另一場影響深遠的運動--啓
蒙運動也在如火如荼地的展開，這場以宏揚"理性"爲宗旨的思想運動的一個直接結
果是科學與上帝開始出現的分離傾向。有個著名的故事說，拉普拉斯把他的《天體
力學》呈現給拿破侖時，後者說："你寫的這本關於宇宙系統的書，卻根本沒有提到
它的創造者"。拉普拉斯回答說："陛下，我不需要這樣的假設"。那麽，宗教信仰的
衰退是不是意味著探討上帝的宇宙的數學設計這一動力的消失呢？事實證明這種動
力並未消失，它仍然是近代數學發展的主要精神動力和創造源泉。其實，從更深層
的意義上來審視啓蒙運動並不能單純地把它看作是一個反對宗教的一場運動，啓蒙
運動實際上是基督教文化在成熟時期所進行的自我反思和自我批評，啓蒙時期的思
想家們所用的思想武器也仍然是基督教文化鍛造出來的，沒有基督教就不會有啓蒙
運動，基督教文化是啓蒙運動展開和發展的土壤。的確，即使像狄德羅、拉普拉斯
這樣激烈否定上帝存在的數學家也在他們的思想和實踐中承襲了對於"上帝依照數
學設計了宇宙"的信仰。例如，[5]拉普拉斯需要有一個"無限的智慧者"的假設去澄
清他的概率思想以及解釋他爲什麽把概率置於人類思想中一個如此重要的地位的緣
由。機會對於拉普拉斯來說並不是不可化約的隨機，而是一大群獨立事件的相互交
錯和相互作用這樣一個圖式的偶然的結果。如果自然界的所有事件能夠同時被感知
到，並且如果我們的演算技術足夠先進的話，那麽我們將不比無限的智慧者更需要
概率。但是有限的人類是不可能達到萬能的境界的，這樣概率本質上是對人類謬誤
的水平的一種估計，概率之應用於自然界也只是在一定的知識水平上的預測，而它
的本質恰恰是人們可憐的無知。

　　十九世紀的數學家們仍被這樣的信念所驅使：他們就是神派來揭示上帝的意圖
的。高斯、柯西、傅立葉、康托等數學巨人們仍然沿著先人鋪設的道路前進，他們
加速尋求自然界的數學定律，創造了更爲神奇的數學領域，並把它們應用到對自然
的進一步探索之中。甚至到二十世紀，許多數學家和科學家，如魏爾、愛爾密特、
愛因斯坦、懷特海等在解釋數學在現實、在科學、在一切人類事務中爲何如此有效
時仍然認爲，這種現象很難訴諸理性，而只能訴諸于自然的數學設計這一信念。時
至今日，當人們廣泛接受數學是"研究秩序和模式的科學"這一定義時，也許並沒有
意識到這樣一個事實，儘管幾乎所有的知識都已世俗化，然而，數學這門學科的基
礎動力仍然來自於"自然界的數學設計"這一宗教的形而上學的基礎。

　　總之，對於近代數學時期數學家的研究動機的評價，威廉．詹姆斯[3]在《實用
主義》一書中給出了精確的概括："當最初數學的、邏輯的和自然的統一體、最初的
定律被發現時，它們的清晰、美妙和簡潔深深地吸引了人們，使衆人相信似乎它們
已成功地讀出了萬能之主的真正思想。上帝的心智發出轟鳴，作爲對演繹法的回聲，
他也陷入了對圓錐曲線、平方、方根和比例的沈思，像歐幾裏得那樣進行幾何研究。
他爲行星運動確立了開普勒定律，他使落體的速度與時間成比例地增長。他還創造
了正弦定律，使光在折射時遵循。…上帝構想出一切物體的原型，設計出它們的變
體，而當我們重新發現了其中任何一個神奇創作時，也就是說我們理解了他的原始
本意。"

綜上所述，我們看到近代數學的産生不僅僅是古希臘數學的成長壯大，而且
也受益于基督教文化傳統的滋潤與培育，由此培養起爲榮耀上帝而通過理性與實驗
方法去探索自然和自然法則的思想，從而促進了現代數學思想的形成。荷蘭科學史
學家霍伊卡曾說："倘若我們將科學喻爲人體的話，其肉體組成部分是希臘人的遺
産，而促進其成長的維他命和荷爾蒙是《聖經》的因素"。"科學更多地是某種宗教
觀念的結果，而不是其原因"[9]。實際上，基督教在近代數學興起過程中所起的作
用並不比上述比喻弱，除了本文中所探討的基督教爲近代數學的研究提供了強大的
動力，以及宗教思維刺激了近代數學的某些特徵的出現和實踐探索之外，近代數學
與基督教之間還有著其他方面千絲萬縷的聯繫和影響，如近代數學的高度抽象性和
廣泛的應用性等特徵的産生、近代數學教育的形成、近代數學向不同文化地區的傳
播，等等。當然應當指出，基督教對近代數學的影響未必都是正面的。但是，在近
代數學興起的時代，基督教是當時歐洲生活中最強大的力量，人們對上帝的看法影
響了他們的數學觀，而這種數學觀又必然影響了他們探究數學的動機和方法，進而
影響到近代數學的進程與面貌，這一點是毫無疑問的。

river.

探索碎形的世界
分類：碎形
2008/08/20 08:09

中文名稱：探索碎形的世界
英文名稱：Exploring The Fractal Universe
資源類型：DVDRip
發行時間：2005年
地區：美國
語言：英語
簡介：


不規則幾何元素Fractal，是由IBM研究室的數學家曼德布絡特（Benoit Mandelbrot, 1924-）提出。其維度幷非整數的幾何圖形，而是在越來越細微的尺度上不斷自我重複，是一項研究不規則性的科學。

許多自然界的形體及人體的構造，皆以此「模式」（Pattern）類比複製。

此項研究發明除了間接影響相關學術，如數學、經濟學外，更因爲Fractals幾何元素的發現，在影像處理及壓縮方面的發展有了重大突破，亦即使得多媒體、電腦動畫及高畫質電視有絕佳的影像呈現，改善過去資料轉換成數位元畫質時必然發生的失真問題，今日流行的MPEG、JPEG等影像處理才得以出現。

2


普通幾何學研究的物件，一般都具有整數的維數。比如，零維的點、一維的綫、二維的面、三維的立體、乃至四維的時空。最近十幾年的，産生了新興的分形幾何學，空間具有不一定是整數的維，而存在一個分數維數，這是幾何學的新突破，引起了數學家和自然科學者的極大關注。

分形幾何的産生

客觀自然界中許多事物，具有自相似的“層次”結構，在理想情况下，甚至具有無窮層次。適當的放大或縮小幾何尺寸，整個結構幷不改變。不少複雜的物理現象，背後就是反映著這類層次結構的分形幾何學。

客觀事物有它自己的特徵長度，要用恰當的尺度去測量。用尺來測量萬里長城，嫌太短；用尺來測量大腸杆菌，又嫌太長。從而産生了特徵長度。還有的事物沒有特徵尺度，就必須同時考慮從小到大的許許多多尺度（或者叫標度），這叫做“無標度性”的問題。

如物理學中的湍流，湍流是自然界中普遍現象，小至靜室中繚繞的輕烟，巨至木星大氣中的渦流，都是十分紊亂的流體運動。流體宏觀運動的能量，經過大、中、小、微等許許多度尺度上的漩渦，最後轉化成分子尺度上的熱運動，同時涉及大量不同尺度上的運動狀態，就要借助“無標度性”解决問題，湍流中高漩渦區域，就需要用分形幾何學。

在二十世紀七十年代，法國數學家曼德爾勃羅特在他的著作中探討了英國的海岸綫有多長？這個問題這依賴于測量時所使用的尺度。

如果用公里作測量單位，從幾米到幾十米的一些曲折會被忽略；改用米來做單位，測得的總長度會增加，但是一些厘米量級以下的就不能反映出來。由于漲潮落潮使海岸綫的水陸分界綫具有各種層次的不規則性。海岸綫在大小兩個方向都有自然的限制，取不列顛島外緣上幾個突出的點，用直綫把它們連起來，得到海岸綫長度的一種下界。使用比這更長的尺度是沒有意義的。還有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是沒有意義的。在這兩個自然限度之間，存在著可以變化許多個數量級的“無標度”區，長度不是海岸綫的定量特徵，就要用分維。

數學家寇赫從一個正方形的“島”出發，始終保持面積不變，把它的“海岸綫”變成無限曲綫，其長度也不斷增加，幷趨向于無窮大。以後可以看到，分維才是“寇赫島”海岸綫的確切特徵量，即海岸綫的分維均介于1到2之間。

這些自然現象，特別是物理現象和分形有著密切的關係，銀河系中的若斷若續的星體分布，就具有分維的吸引子。多孔介質中的流體運動和它産生的滲流模型，都是分形的研究物件。這些促使數學家進一步的研究，從而産生了分形幾何學。

電子電腦圖形顯示協助了人們推開分形幾何的大門。這座具有無窮層次結構的宏偉建築，每一個角落裏都存在無限嵌套的迷宮和回廊，促使數學家和科學家深入研究。

法國數學家曼德爾勃羅特這位元電腦和數學兼通的人物，對分形幾何産生了重大的推動作用。他在1975、1977和1982年先後用法文和英文出版了三本書，特別是《分形——形、機遇和維數》以及《自然界中的分形幾何學》，開創了新的數學分支——分形幾何學。

分形幾何的內容

分形幾何學的基本思想是：客觀事物具有自相似的層次結構，局部與整體在形態、功能、資訊、時間、空間等方面具有統計意義上的相似性，成爲自相似性。例如，一塊磁鐵中的每一部分都像整體一樣具有南北兩極，不斷分割下去，每一部分都具有和整體磁鐵相同的磁場。這種自相似的層次結構，適當的放大或縮小幾何尺寸，整個結構不變。

維數是幾何物件的一個重要特徵量，它是幾何物件中一個點的位置所需的獨立座標數目。在歐氏空間中，人們習慣把空間看成三維的，平面或球面看成二維，而把直綫或曲綫看成一維。也可以稍加推廣，認爲點是零維的，還可以引入高維空間，對于更抽象或更複雜的物件，只要每個局部可以和歐氏空間對應，也容易確定維數。但通常人們習慣于整數的維數。

分形理論認爲維數也可以是分數，這類維數是物理學家在研究混沌吸引子等理論時需要引入的重要概念。爲了定量地描述客觀事物的“非規則”程度，1919年，數學家從測度的角度引入了維數概念，將維數從整數擴大到分數，從而突破了一般拓撲集維數爲整數的界限。

維數和測量有著密切的關係，下面我們舉例說明一下分維的概念。

當我們畫一根直綫，如果我們用 0維的點來量它，其結果爲無窮大，因爲直綫中包含無窮多個點；如果我們用一塊平面來量它，其結果是 0，因爲直綫中不包含平面。那麽，用怎樣的尺度來量它才會得到有限值哪？看來只有用與其同維數的小綫段來量它才會得到有限值，而這裏直綫的維數爲 1(大于0、小于2)。

對于我們上面提到的“寇赫島”曲綫，其整體是一條無限長的綫折叠而成，顯然，用小直綫段量，其結果是無窮大，而用平面量，其結果是 0(此曲綫中不包含平面)，那麽只有找一個與“寇赫島”曲綫維數相同的尺子量它才會得到有限值，而這個維數顯然大于 1、小于 2，那麽只能是小數了，所以存在分維。經過計算“寇赫島”曲綫的維數是1.2618……。

分形幾何學的應用

分形幾何學已在自然界與物理學中得到了應用。如在顯微鏡下觀察落入溶液中的一粒花粉，會看見它不間斷地作無規則運動(布朗運動)，這是花粉在大量液體分子的無規則碰撞(每秒鐘多達十億億次)下表現的平均行爲。布朗粒子的軌迹，由各種尺寸的折綫連成。只要有足够的解析度，就可以發現原以爲是直綫段的部分，其實由大量更小尺度的折綫連成。這是一種處處連續，但又處處無導數的曲綫。這種布朗粒子軌迹的分維是 2，大大高于它的拓撲維數 1。

在某些電化學反應中，電極附近成績的固態物質，以不規則的樹枝形狀向外增長。受到污染的一些流水中，粘在藻類植物上的顆粒和膠狀物，不斷因新的沈積而生長，成爲帶有許多須須毛毛的枝條狀，就可以用分維。

自然界中更大的尺度上也存在分形物件。一枝粗乾可以分出不規則的枝杈，每個枝杈繼續分爲細杈……，至少有十幾次分支的層次，可以用分形幾何學去測量。

有人研究了某些雲彩邊界的幾何性質，發現存在從 1公里到1000公里的無標度區。小于 1公里的雲朵，更受地形概貌影響，大于1000公里時，地球曲率開始起作用。大小兩端都受到一定特徵尺度的限制，中間有三個數量級的無標度區，這已經足够了。分形存在于這中間區域。

近幾年在流體力學不穩定性、光學雙穩定器件、化學震蕩反映等試驗中，都實際測得了混沌吸引子，幷從實驗資料中計算出它們的分維。學會從實驗資料測算分維是最近的一大進展。分形幾何學在物理學、生物學上的應用也正在成爲有充實內容的研究領域。

3

分形幾何與分形藝術

我們人類生活的世界是一個極其複雜的世界，例如，喧鬧的都市生活、變幻莫測的股市變化、複雜的生命現象、蜿蜒曲折的海岸綫、坑坑窪窪的地面等等，都表現了客觀世界特別豐富的現象。基于傳統歐幾裏得幾何學的各門自然科學總是把研究物件想象成一個個規則的形體，而我們生活的世界竟如此不規則和支離破碎，與歐幾裏得幾何圖形相比，擁有完全不同層次的複雜性。分形幾何則提供了一種描述這種不規則複雜現象中的秩序和結構的新方法。

一、分形幾何與分形藝術

什麽是分形幾何？通俗一點說就是研究無限複雜但具有一定意義下的自相似圖形和結構的幾何學。什麽是自相似呢？例如一棵蒼天大樹與它自身上的樹枝及樹枝上的枝杈，在形狀上沒什麽大的區別，大樹與樹枝這種關係在幾何形狀上稱之爲自相似關係；我們再拿來一片樹葉，仔細觀察一下葉脉，它們也具備這種性質；動物也不例外，一頭牛身體中的一個細胞中的基因記錄著這頭牛的全部生長資訊；還有高山的表面，您無論怎樣放大其局部，它都如此粗糙不平等等。這些例子在我們的身邊到處可見。分形幾何揭示了世界的本質，分形幾何是真正描述大自然的幾何學。

"分形"一詞譯于英文Fractal，系分形幾何的創始人曼德爾布羅特（B.B.Mandelbrot）于1975年由拉丁語Frangere一詞創造而成，詞本身具有"破碎"、"不規則"等含義。Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他發現的幷以他的名字命名的集合，他發現整個宇宙以一種出人意料的方式構成自相似的結構（見圖1）。Mandelbrot 集合圖形的邊界處，具有無限複雜和精細的結構。如果電腦的精度是不受限制的話，您可以無限地放大她的邊界。圖2、圖3 就是將圖1中兩個矩形框區域放大後的圖形。當你放大某個區域，它的結構就在變化，展現出新的結構元素。這正如前面提到的"蜿蜒曲折的一段海岸綫"，無論您怎樣放大它的局部，它總是曲折而不光滑，即連續不可微。微積分中抽象出來的光滑曲綫在我們的生活中是不存在的。所以說，Mandelbrot集合是向傳統幾何學的挑戰。

用數學方法對放大區域進行著色處理，這些區域就變成一幅幅精美的藝術圖案，這些藝術圖案人們稱之爲"分形藝術"。"分形藝術"以一種全新的藝術風格展示給人們，使人們認識到該藝術和傳統藝術一樣具有和諧、對稱等特徵的美學標準。這裏值得一提的是對稱特徵，分形的對稱性即表現了傳統幾何的上下、左右及中心對稱。同時她的自相似性又揭示了一種新的對稱性，即畫面的局部與更大範圍的局部的對稱，或說局部與整體的對稱。這種對稱不同于歐幾裏德幾何的對稱，而是大小比例的對稱，即系統中的每一元素都反映和含有整個系統的性質和資訊。這一點與上面所講的例子："一頭牛身體中的一個細胞中的基因記錄著這頭牛的全部生長資訊"，完全吻合。不管你是從科學的觀點看還是從美學的觀點看，她都是那麽富有哲理，她是科學上的美和美學上的美的有機結合。

二、複平面中的神奇叠代

Mandelbrot集合是Mandelbrot在複平面中對簡單的式子 Z <- Z^2 + C 進行叠代産生的圖形。雖然式子和叠代運算都很簡單，但是産生的圖形出現那麽豐富多樣的形態及精細結構簡直令人難以置信以至于不可思議。在傳統幾何學中難以找到如此簡單的規律隱藏著如此複雜而生動的例子。Mandelbrot集合告訴我們自然界中簡單的行爲可以導致複雜的結果。例如，大型團體操中每個人穿的衣服只有幾種顔色中的一種，每個人的動作也只是導演規定的幾種之一。但是整體上可以顯示出多種多樣的複雜形態。

Julia 集合

在複平面上，水平的軸綫代表實數，垂直的軸綫代表虛數。每個Julia集合（有無限多個點）都决定一個常數C，它是一個複數。現在您在複平面上任意取一個點，其值是複數Z。將其代入下面方程中進行反復叠代運算：



就是說，用舊的Z自乘再加上C後的結果作爲新的Z。再把新的Z作爲舊的Z，重復運算。 當你不停地做，你將最後得到的Z值有3種可能性：

1、Z值沒有界限增加（趨向無窮）
2、Z值衰减（趨向于零）
3、Z值是變化的，即非1或非2

趨向無窮和趨向于零的點叫定常吸引子，很多點在定常吸引子處結束，被定常吸引子所吸引。非趨向無窮和趨向于零的點是"Julia集合"部分，也叫混沌吸引子。

問題是我們怎樣才能讓電腦知道哪一個點是定常吸引子還是"Julia集合"。一般按下述演算法近似計算：

n=0;
while ((n++ < Nmax) && (( Real(Z)^2 + Imag(Z)^2) < Rmax))
{
Z=Z*Z+C;
}

其中：Nmax爲最大叠代次數
Rmax爲逃離界限

退出while迴圈有兩種情况，第一種情况是：

(Real(Z)^2 + Imag(Z)^2) >= Rmax

屬于這種情况的點相當于"1、Z值沒有界限增加（趨向無窮）"，爲定常吸引子,我們把這些區域著成白色。第二種情况是：

n >= Nmax

屬于這種情况的點相當于"2、Z 值衰减（趨向于零）"或"3、Z 值是變化的"，我們把這些區域著成黑色。黑色區域圖形的邊界處即爲"Julia集合"。"Julia集合"有著極其複雜的形態和精細的結構。

黑白兩色的圖形藝術感染力不强。要想得到彩色圖形，最簡單的方法是用叠代返回值n來著顔色。要想獲得較好的藝術效果，一般對n做如下處理：

Red = n*Ar+Br;
Grn = n*Ag+Bg;
Blu = n*Ab+Bb;
if ((Red & 0x1FF) > 0xFF) Red = Red ^ 0xFF;
if ((Grn & 0x1FF) > 0xFF) Grn = Grn ^ 0xFF;
if ((Blu & 0x1FF) > 0xFF) Blu = Blu ^ 0xFF;
其中：Ar、Ag、Ab及Br、Bg、Bb爲修正量

獲得的Red、Grn、Blu爲RGB三基色，著色效果爲周期變化，具有較强的藝術感染力，而且等位綫也蘊藏在周期變化的色彩之中。

你可以想象得出，在螢幕上順序的試用每個圖元點來反復叠代方程要花費很長的時間。一幅 1024x768 螢幕尺寸的畫面有786432個點。其中一些點在電腦上要反復叠代方程次數達1000次（取决于Nmax的取值）或更多次才放弃運算。 運算産生一幅Julia集合需要花費很長的時間，有時需要産生一幅做海報用的大圖像時，如 10240x7680，要花幾天的時間。當然，你使用高速電腦會縮短這個時間。圖 4、5、6是三幅Julia集合：

我們人類生活的世界是一個極其複雜的世界，例如，喧鬧的都市生活、變幻莫測的股市變化、複雜的生命現象、蜿蜒曲折的海岸綫、坑坑窪窪的地面等等，都表現了客觀世界特別豐富的現象。基于傳統歐幾裏得幾何學的各門自然科學總是把研究物件想象成一個個規則的形體，而我們生活的世界竟如此不規則和支離破碎，與歐幾裏得幾何圖形相比，擁有完全不同層次的複雜性。分形幾何則提供了一種描述這種不規則複雜現象中的秩序和結構的新方法。

一、分形幾何與分形藝術

什麽是分形幾何？通俗一點說就是研究無限複雜但具有一定意義下的自相似圖形和結構的幾何學。什麽是自相似呢？例如一棵蒼天大樹與它自身上的樹枝及樹枝上的枝杈，在形狀上沒什麽大的區別，大樹與樹枝這種關係在幾何形狀上稱之爲自相似關係；我們再拿來一片樹葉，仔細觀察一下葉脉，它們也具備這種性質；動物也不例外，一頭牛身體中的一個細胞中的基因記錄著這頭牛的全部生長資訊；還有高山的表面，您無論怎樣放大其局部，它都如此粗糙不平等等。這些例子在我們的身邊到處可見。分形幾何揭示了世界的本質，分形幾何是真正描述大自然的幾何學。

"分形"一詞譯于英文Fractal，系分形幾何的創始人曼德爾布羅特（B.B.Mandelbrot）于1975年由拉丁語Frangere一詞創造而成，詞本身具有"破碎"、"不規則"等含義。Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他發現的幷以他的名字命名的集合，他發現整個宇宙以一種出人意料的方式構成自相似的結構（見圖1）。Mandelbrot 集合圖形的邊界處，具有無限複雜和精細的結構。如果電腦的精度是不受限制的話，您可以無限地放大她的邊界。圖2、圖3 就是將圖1中兩個矩形框區域放大後的圖形。當你放大某個區域，它的結構就在變化，展現出新的結構元素。這正如前面提到的"蜿蜒曲折的一段海岸綫"，無論您怎樣放大它的局部，它總是曲折而不光滑，即連續不可微。微積分中抽象出來的光滑曲綫在我們的生活中是不存在的。所以說，Mandelbrot集合是向傳統幾何學的挑戰。



圖 1 Mandelbrot集合



圖 2 Mandelbrot集合局部放大



圖 3 Mandelbrot集合局部放大

用數學方法對放大區域進行著色處理，這些區域就變成一幅幅精美的藝術圖案，這些藝術圖案人們稱之爲"分形藝術"。"分形藝術"以一種全新的藝術風格展示給人們，使人們認識到該藝術和傳統藝術一樣具有和諧、對稱等特徵的美學標準。這裏值得一提的是對稱特徵，分形的對稱性即表現了傳統幾何的上下、左右及中心對稱。同時她的自相似性又揭示了一種新的對稱性，即畫面的局部與更大範圍的局部的對稱，或說局部與整體的對稱。這種對稱不同于歐幾裏德幾何的對稱，而是大小比例的對稱，即系統中的每一元素都反映和含有整個系統的性質和資訊。這一點與上面所講的例子："一頭牛身體中的一個細胞中的基因記錄著這頭牛的全部生長資訊"，完全吻合。不管你是從科學的觀點看還是從美學的觀點看，她都是那麽富有哲理，她是科學上的美和美學上的美的有機結合。

二、複平面中的神奇叠代

Mandelbrot集合是Mandelbrot在複平面中對簡單的式子 Z <- Z^2 + C 進行叠代産生的圖形。雖然式子和叠代運算都很簡單，但是産生的圖形出現那麽豐富多樣的形態及精細結構簡直令人難以置信以至于不可思議。在傳統幾何學中難以找到如此簡單的規律隱藏著如此複雜而生動的例子。Mandelbrot集合告訴我們自然界中簡單的行爲可以導致複雜的結果。例如，大型團體操中每個人穿的衣服只有幾種顔色中的一種，每個人的動作也只是導演規定的幾種之一。但是整體上可以顯示出多種多樣的複雜形態。

Julia 集合

在複平面上，水平的軸綫代表實數，垂直的軸綫代表虛數。每個Julia集合（有無限多個點）都决定一個常數C，它是一個複數。現在您在複平面上任意取一個點，其值是複數Z。將其代入下面方程中進行反復叠代運算：



就是說，用舊的Z自乘再加上C後的結果作爲新的Z。再把新的Z作爲舊的Z，重復運算。 當你不停地做，你將最後得到的Z值有3種可能性：

1、Z值沒有界限增加（趨向無窮）
2、Z值衰减（趨向于零）
3、Z值是變化的，即非1或非2

趨向無窮和趨向于零的點叫定常吸引子，很多點在定常吸引子處結束，被定常吸引子所吸引。非趨向無窮和趨向于零的點是"Julia集合"部分，也叫混沌吸引子。

問題是我們怎樣才能讓電腦知道哪一個點是定常吸引子還是"Julia集合"。一般按下述演算法近似計算：

n=0;
while ((n++ < Nmax) && (( Real(Z)^2 + Imag(Z)^2) < Rmax))
{
Z=Z*Z+C;
}

其中：Nmax爲最大叠代次數
Rmax爲逃離界限

退出while迴圈有兩種情况，第一種情况是：

(Real(Z)^2 + Imag(Z)^2) >= Rmax

屬于這種情况的點相當于"1、Z值沒有界限增加（趨向無窮）"，爲定常吸引子,我們把這些區域著成白色。第二種情况是：

n >= Nmax

屬于這種情况的點相當于"2、Z 值衰减（趨向于零）"或"3、Z 值是變化的"，我們把這些區域著成黑色。黑色區域圖形的邊界處即爲"Julia集合"。"Julia集合"有著極其複雜的形態和精細的結構。

黑白兩色的圖形藝術感染力不强。要想得到彩色圖形，最簡單的方法是用叠代返回值n來著顔色。要想獲得較好的藝術效果，一般對n做如下處理：

Red = n*Ar+Br;
Grn = n*Ag+Bg;
Blu = n*Ab+Bb;
if ((Red & 0x1FF) > 0xFF) Red = Red ^ 0xFF;
if ((Grn & 0x1FF) > 0xFF) Grn = Grn ^ 0xFF;
if ((Blu & 0x1FF) > 0xFF) Blu = Blu ^ 0xFF;
其中：Ar、Ag、Ab及Br、Bg、Bb爲修正量

獲得的Red、Grn、Blu爲RGB三基色，著色效果爲周期變化，具有較强的藝術感染力，而且等位綫也蘊藏在周期變化的色彩之中。

你可以想象得出，在螢幕上順序的試用每個圖元點來反復叠代方程要花費很長的時間。一幅 1024x768 螢幕尺寸的畫面有786432個點。其中一些點在電腦上要反復叠代方程次數達1000次（取决于Nmax的取值）或更多次才放弃運算。 運算産生一幅Julia集合需要花費很長的時間，有時需要産生一幅做海報用的大圖像時，如 10240x7680，要花幾天的時間。當然，你使用高速電腦會縮短這個時間。圖 4、5、6是三幅Julia集合：



圖 4 象塵埃一樣的結構



圖 5 穩定的固態型



圖 6 象樹枝狀

Mandelbrot 集合

將Mandelbrot集合和Julia集合聯繫在一起，Julia集合有若乾類型，都包含在Mandelbrot集合之中。Julia集合中的C是一個常量，而Mandelbrot集合的C是由進入叠代前的Z值而定。叠代結果，Z值同樣有3種可能性，即：

1、Z值沒有界限增加（趨向無窮）
2、Z值衰减（趨向于零）
3、Z值是變化的，即非1或非2

Mandelbrot集合是所有的朱莉婭集合的合幷，Mandelbrot集合的某個區域放大後就是這個點的Julia集合。 Mandelbrot集合有著一些很异國情調幷且古怪的形狀（見圖1）。你能不停地永遠放大Mandelbrot集合，但是受到電腦精度的限制。

Newton/Nova 分形

Newton奠定了經典力學、光學和微積分學的基礎。但是除了創造這些自然科學的基礎學科外，他還建立了一些方法，這些方法雖然比不上整個學科那麽有名，但已被證明直到今天還是非常有價值的。例如，牛頓建議用一個逼近方法求解一個方程的根。你猜測一個初始點，然後使用函數的一階導數，用切綫逐漸逼近方程的根。如方程 Z^6 + 1 = 0有六個根，用牛頓的方法"猜測"複平面上各點最後趨向方程的那一個根，你就可以得到一個怪异的分形圖形。和平常的Julia分形一樣，你能永遠放大下去，幷有自相似性。 牛頓分形圖形中的顔色顯示每個答案的種類及性質，即叠代到目的地花費的時間，

三、關于分形藝術的爭論

把電腦産生的圖形看成是藝術，有人可能要提出一些疑問。這些圖形可以利用高品質的印表機産生任意多幅同樣質量的"原作"，從而在商業化的藝術市場上造成混亂，因此她沒有收藏價值，沒有收藏價值的作品還能算得上是藝術嗎？

這是一個十分敏感的問題。早在六十年代初有些數學家和程式設計人員就開始利用電腦及繪圖設備從事這方面的工作。但他們大部分人避免將自己的工作與"藝術"

river.

談碎形與音樂：從形到音的美妙遞變         分類：碎形
    2008/07/30 07:47
  
       談碎形與音樂：從形到音的美妙遞變





談碎形與音樂：從形到音的美妙遞變 吳文成


　　二○○○年，在台灣舉辦的國際數位藝術競賽，年度首獎「空間的聲音 」（Spatial Sounds）便是藉由空間狀態的差異、形體的變動，來產生隨機性的聲音回饋。荷蘭藝術家的這件互動式裝置作品，架在機械手臂前端的巨型喇叭，裝有聲納感應器，它面向觀眾並且偵測觀眾的形體、人數與舉手投足，機械手臂藉以引動持續性的不同旋轉，同時電腦相應地產生重度的聲音效果。這件作品像是一隻機靈的守門犬，搜尋靠近這個空間的訪者，它是從空間形態轉換成聲音的裝置藝術，也是「從形到音」美妙遞變的重量級範例。類似地，在軟體藝術，藉由程式算法去實現「從形到音」的藝術創作，以碎形音樂（Fractal Music）是目前最受矚目的取向。

　　談碎形與音樂之前，需要先談「從音到形」與「從形到音」兩者。聲音作為聽覺性媒體，與視覺性媒體有著相輔相成的關係，現代科技對於聲波的藝術創造，尤其是對於音樂的視覺化創造，不只是可以聽的音樂，還有視覺的饗宴，是許多藝術家孜孜不倦追求的夢想。例如顏色風琴，它能夠隨著音樂的起伏，在某種水晶流體裡顯示多變的燈光。現在隨著程式演算法的輔助，音樂本身與幾何、顏色的設計更融為一體，例如，我們可以在電腦上微軟的 Windows Media Player 播放音樂時 ， 看到有豐富的數學曲線圖形，或是波紋、漩渦、火焰、電離雲等等的視覺效果。這是最常見「
從音到形」的例子，我們比較少看到「從形到音」的新媒體藝術創作。


　　其實早在古希臘時代，哲學家便知道和諧的音調與數字之間存在著密切關係，例如音階的定義最初是弦在簡單比例處撥弄而得的。如果把「形
」當作是「數」的產出，例如三角形是三個數值座標點的連線，那麼我們會發現「從形到音」實質上是「從數到音」——這便是碎形音樂的立足點
。碎形音樂的做法是從「形」得到「數」，再從「數」轉換成相對應的「
音」，或者是「形」與「數」同時衍生，然後轉換成音樂。碎形音樂的轉運站是「數」，豐富性則是來源於「形」。在台灣，台中一中學生林自均
[1] 的創作「 聽聽貝多芬作品的下一代 」，即是碎形的數位音樂研究與展示，它剛剛得到今年臺灣國際科學展覽會電腦科學科大會獎的第一名。

　　林自均藉著帶有「自相似性」（Self-Similarity）的碎形圖案，得到一系列反覆衍生的點數值，例如從 Sierpinski Gasket 的疊代函數（Random IFS
），或是混沌遊戲（ Chaos Game ）[2] 的原理，得到所需要的「數」， 這些數值透過一定規則對應到音符。由於林自均需要避免一組組音符的音域過小的問題，需要避免音符的節奏太固定，也需要避免音符的豐富性不夠
，所以他在程式演算的過程加入了「放大」、「變異」與「副旋律、伴奏
」等等設計，以上的實際技巧分別是：音高的疊代法，音長的基因演算法（Genetic Algorithm，GA），以及其他 Midi 創作軟體的搭配。




　　碎形音樂的設計，國內外其實有不少學者在研究，但是林自均的優點在於，他同時運用了多重的技巧去提高碎形音樂的可聽性，並且他的目標很清楚是：發現一條路，找出「好聽的音樂」與數學的直接關聯性，並且做出自動生成的數位音樂產生器。這是林自均在碎形音樂，讓人耳目一新
，受到肯定的原因。我們可以做一番比較，在這個網頁 [3] 列出有四個範例 ： Random Notes、Random Intervals、The Henon Attractor、The Mandelbrot Set ， 在學理上 ，它們分別是隨機噪音、布朗噪音、混沌吸引子音樂與碎形音樂。很容易區分，後兩者是純粹的混沌音樂／碎形音樂，是比較可聽的，如果我們再去試聽林自均的成果 [4] ， 會發現它更比前者接近優良的音樂作品，在我提供的附檔，大家還可以做更多比較。

　　碎形藝術，包含了碎形圖案與碎形音樂兩個方面，而自相似性是碎形幾何的本質。我們很容易理解自相似性在碎形圖案所呈現出的效果，例如碎形樹（Tree Fractal ）[5] 與它主幹上的樹枝、樹枝上的枝杈等等 ， 它們的形狀非常雷同。至於用碎形的概念來理解音樂的本質，也是近三十年才被提出，學者發現諸如貝多芬交響樂、施特勞斯圓舞曲等等名作，它們具有特定範圍的碎形維度 （ 即頻譜密度〔Spectral Density〕與頻率間的特定關係 ）。 也就是說，碎形揭示了賞心悅耳的音樂的共同屬性， 音樂是包含了隨機性和結構相似性的調和，例如歷久不衰的卡農旋律帶有段落的重複性，給人無限延伸的感覺，可是又充滿了豐富的更迭變化。碎形音樂是碎形通往數位音樂的嶄新嘗試，它利用碎形的自相似性結構創作音樂，近幾年，碎形音樂已經成為新音樂研究最令人興奮的領域之一。

river.

碎形──奇怪的形狀，無窮的應用
分類：碎形
2008/07/26 14:22
碎形──奇怪的形狀，無窮的應用         
         
   
人體的血管、肺臟等均可視為碎形結構。
人體的血管、肺臟等均可視為碎形結構。
兩千年來，古典幾何一直被世人認為是唯一的幾何學，所有現象的形成似乎都與它們相關，不是由直線、平面、三角形構成，就是由圓形、圓錐體、梯形組合而來，它們代表現實世界的抽象化。

但事實上，海岸線不是由直線構成，天上的雲朵也不是圓形，山巒更不是圓錐形，還有滿布隕石凹凸不平的月球表面、樹枝的分歧等自然界中的各種形狀，種種不規則形狀要如何用幾何學來說明及解釋？

是呀！宇宙間存在的崎嶇不平、坑坑巴巴、曲折、破裂及各種糾結混亂的形狀，有的和直線類似，卻不是直線；有的很像圓錐形，仔細瞧，又不是真的如此，那麼這些形狀代表的究竟是一個什麼樣的幾何學？

一九七五年某個冬日的午後，法裔美國數學奇才曼德布洛特（Benoit Mandelbrot）創造了碎形（fractal）這個字。碎形是曼德布洛特畢生所從事的研究，他始終相信宇宙間一定有描述不規則形狀的幾何學，絕對不是只有歐幾里德式的長度、深度、厚度，可是要如何用一種「一粒沙窺見塵世」的本質描繪這些宇宙現象？

他在拉丁字典中，找到一個殘破（frangere）的動詞衍生出來的形容詞殘碎的（fractus），而英語中也有一個破碎（fracture）和破片（fraction）的字義，並彙整出「碎形」一詞。

「碎形」一出，原先難以利用古典幾何學描述的不規則形狀，終於有了自己的歸屬。碎形揭露的是自然幾何學，不規則中蘊藏某種規則的秩序，卻和尺寸無關，就算放大或縮小，其中的複雜程度並未因此減弱。碎形試圖解釋過去科學忽略的非線性現象與大自然複雜結構，更重要的是碎形觀念已延伸到不同的領域，如生理學、經濟學、社會學、氣象學，以及天文學中的星體分布。

以生理學而言，在人體中，碎形結構處處可見。大動脈會分歧成細動脈，然後又是連續的分歧、岔開，再分歧，直到血管細到血球僅能排成單行通過。這種難以用言語清楚描述的結構，是基於生理需求所形成的，血管必須使用碎形維度將形體壓縮在有限空間中，而所有細胞必須以不超過兩、三個細胞的近距離貼近血管，血管和血液占有的空間也不超過身體的 5％。

至於人類正常的肺臟，肺泡跟空氣接觸的面積攤開來有一座網球場那麼大，而它必須容納在胸腔中。所以能夠發展出如此細微的結構，和碎形不無關係，運用簡單的變形規則，就能輕易地將猶如迷宮的氣管及廣大的肺泡表面積設計到有限的空間中。

碎形重要概念

碎形是一種新維度觀念，和以往尺度、維度、結構有相當大的不同，那麼碎形究竟包含哪些重要概念？

碎形是非線性動力過程的結果，大自然的外貌及結構皆是經由非線性動力過程而產生的結果，也就是說，在非線性動力現象中才能發現碎形的蹤跡。比如說，在水的流動或是在晶體成長的現象中，可能發現碎形。

碎形具有自相似性的結構，一個東西經過不斷放大後，始終都具有自相似性的結構，不論該結構有多複雜、多粗糙、多摺疊，都存在某種相似性的結構。

碎形是分數維度，維度（dimension）是用來測量物體的量化標準，與度量的尺度有關。一維是線條概念，就像縫衣服的線一樣；二維是平面概念，就像街道地圖，有長有寬；三維是空間概念，就像經常說的三度空間，有經度、緯度與高度的概念。一維、二維、三維度都是整數維度，很容易運用到日常生活上，複雜程度不高。

但碎形維度是有分數的，就像無窮擴張的三分之四的卡區雪花曲線（von Koch curve），維度 = log4/log3 = 1.2618。卡區雪花曲線是瑞典數學家范卡區（Helge von Koch, 1870-1924）於一九○四年首創的，這條既不是筆直又不是圓形的連結曲線，看起來很像雪花圖案，其維度就不是整數，是介於一及二的維度。

碎形具有自我模仿特質，自我模仿是一種很容易辨認的特質，係指在愈來愈小的尺度中，重覆製造細節，並且以某種固定方式縮小細節，造成某種循環的複雜現象。比如說，一枝樹幹初次分成兩枝，每一根分枝看起來跟整棵樹很像。就某種意義而言，一棵樹是由兩個、三個跟自己一樣的複本製作而成。這兩個或三個也許不是很完美，但複製的效果就是一棵樹，透過數學公式簡單的運算，再交由電腦繪製，可以很快地繪製完成一棵樹的「生長」過程。

碎形和尺度不具相關性，無論尺寸是大是小，在一定可觀察的區域中，碎形會有一致性的碎形維度，也就是說它們之間的複雜性、粗糙度不會因為大小而有所改變。比如說，花椰菜是由小花組成，而小花又是由很多小花組成，小花的小花又是由很多小花組成……，第一組的小花比小花的小花大了許多，但它們的結構都差不多。

應用領域既廣且深

現階段，碎形幾何數學概念早已經應用在不同領域。許多不規則、不穩定、具變動性的現象都會應用碎形予以解釋，或是利用碎形幾何製作出不同的模型，比如說樹狀空間模型、結晶演化模型等。

在繪畫藝術領域，碎形所能著墨之處甚多。碎形的自相似性結構及自我複製特質，可以成為繪畫素材，作品表現的自相似性可以很簡單，也可以很複雜。

美國有一位很有名的抽象畫家帕洛克，自作畫以來，畫風就充滿了自相似性結構的圖案，例如〈藍色欄杆〉這幅畫作，就是一個典型代表。早期，他作畫的碎形結構很簡單，愈到晚期，結構複雜程度愈來愈高，很難被人模仿。

再從碎形結構來論，它可能還可以做為鑑定畫作真偽及年代的工具，只要將自相似性結構的簡單性及複雜性加以比較，就能夠得到確切的答案。

在音樂領域中，最常見的碎形結構應用是在吸音板設備。吸音板結構不是一面板子而已，而是由利用大凹槽裡面放置一個中凹槽，中凹槽再放入一個小凹槽，經過無限延伸達到吸音及消音的效果。

此外，利用碎形自相似性結構創作音樂，也是許多樂曲家創作的泉源，除了創作純粹碎形音樂之外，還能創作出碎形變奏樂曲。所謂純粹碎形音樂，就是將所有自相似性的樂曲組成音樂旋律，這方面的音樂較為單調。而碎形變奏音樂內涵就豐富多了，不但有主旋律，還有副旋律。

比如說，你是一位巴哈的樂迷，非常喜歡聆聽他的鍵盤音樂，聽久了之後，很想改變一下風格，但又不想完全失去原來的曲風，於是找出兩種碎形段落，一為主旋律Ａ，一為副旋律Ｂ，整個音樂的旋律係以Ａ為主，但在音樂旋律相似之處接上Ｂ旋律，然後又再接上Ａ旋律，反覆相接的結果，雖有巴哈的味道（因為每一段都是巴哈的原作），但音樂曲風及內涵上已經變了質。

碎形也應用在建築結構上，最常引用之處有三個部分，一是形狀生成研究，一是都市成長模擬，再則是設計概念應用。在形狀生成方面，碎形幾何能夠提供形狀延伸系列及形狀轉變機制；都市成長模擬是指碎形可以提供一個都市原型平面，並以自我相似的成長尺度與時間軸進行都市成長模擬預測；設計概念應用是指運用碎形自我複製概念，在有限的範圍內創造各種設計。透過碎形幾何，建築風貌不再局限於點、線、面的構造，而可以容納更多不規則、具變動性的結構。

在圖檔壓縮技術上，碎形或許也可以幫很大的忙。一個未經壓縮的圖案，在資訊傳遞過程中，時間及空間的無端浪費足以讓人捶胸頓足，但是藉由壓縮技術卻可以解除這方面的困擾，而碎形壓縮便是此類技術中的一種新想法。比如說，要傳送壓縮檔給對方，只要下達自我相似縮小的指令給電腦運算，資料就會縮小在一定的空間之內，並傳送給對方，而對方也只要透過自我相似放大的指令，所有資料又會放大。

放大照片的過程也是一樣，只要使用自我相似的數學運算公式，交由電腦執行放大指令，電腦就會透過不斷地複製、放大，再複製、再放大的過程，將一張照片放大。

碎形是揭露自然界不規則及非線性動力的秩序，因此在碎形幾何提出之後，對於各種不規則的現象，人們都希望藉由碎形觀念找出某種規則性，試圖解決紊亂中的不確定性。比如說，運用碎形觀念了解交通為什麼會壅塞的原因，並找出解決之道；如何從不規則的湍急水流中，找出規則性的速度；如何從嘈雜的噪音中，找出噪音的規則性，並制定消除噪音的可行性方案。

許多人甚至希望運用碎形模型找到股票指數的起伏，並推算出買進及賣出股票的最佳時機，但牽涉到太多看不到的心理層面的浮動因素，截至目前還在研究之中，並無確切結果。

為什麼自然界一亂一序、疏落有致的美景，給人無限的驚歎？就物理學家的眼光來論，這是因為大自然包羅了所有的尺度，有大小、有複雜、有規則與不規則，從任何角度及距離觀察，都是耐人尋味。碎形結構就是如此，不論以何種形態出現，都能看得見值得令人細細品味之處。

river.

聖經中隱藏的"碎形(Fractals)"
分類：碎形
2008/07/25 23:14

   什麼是 “碎形”

碎形 (fractals)，
簡單的說，是在大約十多年前，人們利用計算機能做高速計算的特性，來處理一些有疊代性 (recursive) 的式子，所繪出來的圖形。這些式子通常非常的簡單(如 Zn+1 = Z2n + c，待會會說明其意義)，但也有複雜的如非線性微分方程等。這些式子要看出他們的”解” (如式子 X-5=0之解為X=5) 的集合，在空間裡長的是個什麼樣子，是很困難的，因為這些式子都太古怪了。然而，借著計算機的幫忙，人們可以輕易地將這些式子的解的集合，繪在電腦螢光幕上，並從而看出這些古怪的式子，所含有的奇異的特性。視領域的不同，碎形及其相關的問題也被稱為 “混沌” (chaos)，”非線性動力系統” (nonlinear dynamics)，和 “複雜” (complexity)。

在碎形的圖案裡，一些很常被人提及的有 Mandelbrot set (曼德布洛特集合)，Julia set, Cantor set, 等等 [註1, 註2, 註3, 註4, 註5, 註6, 註7]。

　

從這些碎形的圖案，我們可發現到他們都有一共通性，就是似乎都會一再重覆它自己的圖形 (自我模仿 self-similarity)，從最小的，到最大的。其結果是經由一再的疊代運算，造成極為複雜的巨觀圖案。重要的是，由於它是不斷的疊代的運算，前一次的結果會代回原式子去算得下一代的結果，因此只要一點點的改變 (如某項變數前的參數由2變為1.999)，就會在數次疊代之後成為淘天巨浪，翻騰在你所給的式子裡。它一會兒使你得到一個如而結果成為一個可能和原式子的結果是完全不一樣的圖案波浪般的圖案(圖一)，一會兒又會產生一個有如蜈蚣般的圖(圖一)，一會兒水像個水母(圖三)，甚至可以“產生”出一片美麗的樹葉(圖四,圖五)，甚至於整個灌木叢 (圖六)。

                                                  

注意，以上圖的樹葉為例，整片樹葉的形狀和一個分支出去的小片的是一樣的，和一個分出去的小小片的形狀還是一樣的，如此不斷的重覆下去。這些圖案的產生，並不是用所謂的電腦繪圖來繪出來的，而是用一個如假包換的非常簡單的疊代式子所產生出來的，如

    Zn+1 = Z2n + c

其中，Z為一複數 (例如 1+2i)，而c是一個常數，Zn+1 是由Zn代入後算出來的，當然Z0是已知的一常數。甚至一些 landscape (山、雲、風景) 亦可由這些看起來相當簡單的疊代式子可以得出。

這實在是件不可思議的事，因為直覺上，一個波浪，一叢灌木，一片雲，一個島嶼，甚至一副太空星球的landscape，應該絕對不是一堆有什麼相干的東西，可是怎麼偏偏他們的產生，可以由看起來差不了多少的簡單式子，就可以產生了呢? 原來，這其實正說明了大自然的造物主，用了一個一貫的方法，來產生出表面上看起來，是那麼不同的東西。而並不是像人們過去所以為的用不同方式造出萬物。我們可以由一個生物學上的例子來看這種碎形圖案背後所代表的意義。以一片樹葉為例，我們剛說過，它是由於不斷的疊代入一個簡單的式子而得到的。我們將這個對應到生物成長中基因的控制的機制: 一切的生物的長成皆受其本身的基因的控制。好像我們的手指頭，在我們成長的過程中，我們指頭的細胞會一直分裂成長，而指頭和指頭中間的部分，則是長到一個程度，就自動停下來了 (否則那就叫做長出蹼來了)。這完全是受控於基因的關係，我們的DNA因分裂而複製出RNA，RNA又用來製造出蛋白質，或脢，或酵素等的物質，如此一層層的長上去而成為我們一個個的個體，我們吃下去的東西又經過消化、分解，而再成為構成DNA和RNA的原料，如此循環不已。看到這裡，您有沒有開始覺得這個過程，非常類似碎形圖案裡產生碎形的方式呢? 事實上，他們的確是非常的類似，都是用recursive的方式，來製造出自身的每一個部分，也都是由其內部的某種pattern來控制外觀的長像，這pattern在生物體是DNA，而在碎形則是那個recursive的簡單式子。只是在生物體裡，這個和萬物都有關的碎形的根基 - recursive式子，化作DNA的形態，存在人體裡頭而已。當它在別的物體裡 (如無生物)，它就用了另外的方式表現出來。

在 Los Alamos 實驗室工作的費根堡 (Feigenbaum) 甚至在一次意外中，驚異的發現了一個奇特的常數，這個常數和其他所有的宇宙常數 (如 圓周率，自然對數) 一樣，有一共同特性，就是他們都是無限循環的無理數。這個被稱為 “費根堡常數” 的數，也有這項特點 (它約等於 4.6692016090…)，且不論所討論的問題的domain 是什麼，滾滾流水也好，晃動的鐘擺，電子振盪器，甚至生物圈，或股票市埸裡，皆可看到有此一常數的存在 [註1, 註2, 註3, 註4, 註5, 註6, 註7]。

　

   生物體中的碎形

碎形還有一個奇妙的特性，讓我們先以一個問題來開始: 想想看有什麼樣子的東西，會是有非常非常大的表面積，卻同時有非常非常小的體積呢?



照這樣一直重覆挖空下去，它的表面積就會極大，而所佔有的實際體積又極小。無疑地，他是碎形的一個例子。我們人和動物身體裡的肺，其實正是這樣的一個東西! 為了充足的供應我們做劇烈運動時所須的氧氣，我們人類的肺部的大大小小的肺氣泡若張開成一個平面，其面積要像一個網球場那樣大的一個面，來吸收氧氣才夠我們的所須。然而，如何將這麼大的一個平面的東西，塞到我們的身體裡? 而且還不能佔太多身體的空間，因為身體裡還要放其他的器官啊! 這時就須要用到碎形的方法，如剛剛那張圖所示。這樣，肺這個器官就可以塞在人體裡，而又佔了一個頗小的空間而已。

在生物體裡還有許多類似的碎形的應用。譬如血管；我們體內有許許多多的細胞，而平均而言，每兩到三個細胞之間，就必需要有血液流過，透過極小極細的微血管，將養分送到每個細胞。否則的話，細胞便死掉。人體有那麼多的細胞，血管得要多長才行呢? 而且重要的是，他會佔掉身體多少百分比呢? 結果由於血管的構造，也是由碎形的方式，大血管分成小血管，又分成小小血管，…… 一直下去。用這種方式，人的血管只佔去了我們身體的 5% 而已，真是不可思議！另外，像腸裡面的絨毛，腦細胞等等，都是由這種碎形的方式，使得不但能達到他們的功能，卻又只佔去了身體的極小的體積。

至此，我們可以簡單的推論，大自然在創造一切的生物和無生物之初，早已使用了所謂的 “碎形” 的方法，來造出物體的樣式，這也是為什麼目前，碎形的研究人員都認為 “碎形無所不在”的原因。

　

    我們來看看聖經中碎形的表顯

了解了什麼是碎形，讓我們來看看它和聖經有什麼關係。我們首先對聖經作一小小的簡介。聖經是由一卷卷的”書”合成，共有66卷 (包括新、舊約)。每一卷”書”，其實並非我們一般所想的一本厚厚的書那樣，而只是記載了一段歷史，或者傳記，甚或詩歌，散文之類的書卷，譬如說，聖經的第一卷書是”創世記”，第二卷書是”出埃及記”，最後一卷書是”啟示錄” 等等。這66卷書是一共由四十多位作者寫出來的。這四十多位作者的第一位（約三千五百年前）到最後一位 (約二千年前)，間隔了大約有一千五百多年的時間。所以大都是不同時代的人，也有一些是同一時代的人寫的。所以他們之間，當然有許多是不認識的 (連面都不可能見過)，也有些是認識的。聖經雖是經由這些人的手所寫的，但基督徒都知道，也承認聖經是由 神的靈在背後啟示這些人，才能使他們寫的出這樣的一部看似平面的話語中 (書是一種二度空間的知識的表達 (knowledge representation))，背後的靈意又含有超高維度的複雜的書。由這麼多人寫的一本書 (早期的作者當然甚至不會知道後來他的作品居然被後人稱為”聖經”)，按照常理判斷，應該是互不太相干的，或甚至是雜亂無章的，因為他們絕無法事先計劃好來寫一部書，因為他們是不同時代的人! 譬如說，我們怎麼可能叫諸葛亮(三國)，孔子(戰國)，李白(唐)，成吉斯汗(元)，蘇東坡(宋)，乾隆皇帝(清) 等人，合寫一部小說，故事情節還要貫穿一致，高潮迭起，有頭有尾，複雜到每一段，甚到每一句話，在一個作者自己的部分沒有說明的，卻都可在別的作者(不但可能是在他之後的，也可能在他之前的作者的)部分裡，找到解釋。任何人都會認為這是絕不可能的事。但是，我要告訴您，聖經就是這樣的一部書，且他的複雜度，還遠非這個例子可以表達出來呢! 因此，基督徒都相信聖經雖是借由人的手寫的，但聖靈才是真正的作者。

聖經的複雜度太高了，然而卻又用了表面上非常淺易的方式，將真理表達出來。雖然沒唸過書的人，要讀懂他也並不吃力，可是就算是拿了諾具爾獎的大科學家，信主四十年，讀聖經讀個四十年，也不能盡歸窺聖經的全貌。是的，他就是如此的神奇 (否則那個基督徒願意去相信這本書是神所啟示的話呢)。

現在我僅就我個人所看到的聖經中的碎形的部分，拿出來與諸位談談。我且從例子開始。這裡有一段聖經”創世記”裡大家所熟知的一段話:

(以下 x:y 之x表”章”，y表”節”；如2:4表示第2章、第4節)

2:4 創造天地的來歷、在耶和華 神造天地的日子、乃是這樣．

2:5 野地還沒有草木、田間的菜蔬還沒有長起來、因為耶和華 神還沒有降雨在地上、也沒有 人耕地。

2:6 但有霧氣從地上騰、滋潤遍地。

2:7 耶和華 神用地上的塵土造人、將生氣吹在他鼻孔裏、他就成了有靈的活人、名叫亞當。

2:8 耶和華 神在東方的伊甸立了一個園子、把所造的人安置在那裏。

2:9 耶和華 神使各樣的樹從地裏長出來、可以悅人的眼目、其上的果子好作食物．園子當中又有生命樹、和分別善惡的樹。

2:10 有河從伊甸流出來滋潤那園子、從那裏分為四道。

2:11 第一道名叫比遜、就是環繞哈腓拉全地的．在那裏有金子、

2:12 並且那地的金子是好的．在那裏又有珍珠和紅瑪瑙。

2:13 第二道河名叫基訓、就是環繞古實全地的。

2:14 第三道河名叫希底結、流在亞述的東邊。第四道河就是伯拉河。

2:15  耶和華 神將那人安置在伊甸園、使他修理看守。

2:16  耶和華 神吩咐他說:”園中各樣樹上的果子、你可以隨意喫．

2:17 只是分別善惡樹上的果子、你不可喫、因為你喫的日子必定死。”

2:18  耶和華 神說、那人獨居不好、我要為他造一個配偶幫助他。

2:19  耶和華 神用土所造成的野地各樣走獸、和空中各樣飛鳥、都帶到那人面前看他叫甚麼．那人怎樣叫各樣的活物、那就是他的名字。

2:20  那人便給一切牲畜、和空中飛鳥、野地走獸都起了名．只是那人沒有遇見配偶幫助他。

2:21   耶和華 神使他沉睡、他就睡了．於是取下他的一條肋骨、又把肉合起來。

2:22   耶和華 神就用那人身上所取的肋骨、造成一個女人、領他到那人跟前。

2:23   那人說:”這是我骨中的骨、肉中的肉、可以稱他為’女人’、因為他是從男人身上取出來的。”

2:24  因此、人要離開父母、與妻子連合、二人成為一體。

2:25  當時夫妻二人、赤身露體、並不羞恥。

3:1 耶和華 神所造的、惟有蛇比田野一切的活物更狡猾。蛇對女人說:” 神豈是真說、不許你們喫園中所有樹上的果子麼。”

3:2 女人對蛇說:”園中樹上的果子我們可以喫．

3:3 惟有園當中那棵樹上的果子、 神曾說:’你們不可喫、也不可摸、免得你們死。' "

3:4 蛇對女人說:”你們不一定死、

3:5 因為 神知道、你們喫的日子眼睛就明亮了、你們便如 神能知道善惡。”

3:6 於是女人見那棵樹的果子好作食物、也悅人的眼目、且是可喜愛的、能使人有智慧、就摘下果子來喫了．又給他丈夫、他丈夫也喫了。

3:7 他們二人的眼睛就明亮了、纔知道自己是赤身露體、便拿無花果樹的葉子、為自己編作裙子。

3:8 天起了涼風、耶和華 神在園中行走。那人和他妻子聽見 神的聲音、就藏在園裏的樹木中、躲避耶和華神的面。

3:9 耶和華 神呼喚那人、對他說:”你在那裏?”

3:10  他說:”我在園中聽見你的聲音、我就害怕、因為我赤身露體．我便藏了。”

3:11  耶和華說:”誰告訴你赤身露體呢? 莫非你喫了我吩咐你不可喫的那樹上的果子麼?”

3:12  那人說:”你所賜給我、與我同居的女人、他把那樹上的果子給我、我就喫了。”

3:13  耶和華 神對女人說:”你作的是甚麼事呢?” 女人說:”那蛇引誘我、我就喫了。”

3:14  耶和華 神對蛇說:”你既作了這事、就必受咒詛、比一切的牲畜野獸更甚、你必用肚子行走、終身喫土。

3:15  我又要叫你和女人彼此為仇、你的後裔和女人的後裔、也彼此為仇．女人的後裔要傷你的頭、你要傷他的�旄�。”

3:16  又對女人說:”我必多多加增你懷胎的苦楚、你生產兒女必多受苦楚．你必戀慕你丈夫、你丈夫必管轄你。”

3:17  又對亞當說:”你既聽從妻子的話、喫了我所吩咐你不可喫的那樹上的果子、地必為你的緣故受咒詛．你必終身勞苦、纔能從地裏得喫的。

3:18  地必給你長出荊棘和蒺藜來你也要喫田間的菜蔬。

3:19  你必汗流滿面纔得糊口、直到你歸了土、因為你是從土而出的．你本是塵土、仍要歸於塵土。”

3:20  亞當給他妻子起名叫夏娃、因為他是眾生之母。

3:21   耶和華 神為亞當和他妻子用皮子作衣服、給他們穿。

3:22   耶和華 神說:”那人已經與我們相似、能知道善惡．現在恐怕他伸手又摘生命樹的果子喫、就永遠活著．”

3:23   耶和華 神便打發他出伊甸園去、耕種他所自出之土。

3:24   於是把他趕出去了．又在伊甸園的東邊安設基路伯、和四面轉動發火燄的劍、要把守生命樹的道路。

　

這段聖經的敘述，相信很多人都聽過，當你看過去時，看出了什麼特別的結構嗎? 我們在不信的時候，常對這段裡描述的事情，嗤之以鼻，因為對這一段聖經有太多的疑問，譬如人怎麼可能是這樣造的? 神既然不希望人吃善惡樹上的果子，為何要放那棵樹在伊甸園? 他是神，他怎會不知道亞當吃了那果子沒有，還要問亞當? 神說人吃的日子必定死，亞當吃了，可是亞當怎麼沒死?…… 諸如此類的問題，光從這一段聖經，我們就會有一堆問題。

要知道答案，如前面所提到的，聖經對問題的探討，都是分散在各處，各卷書中的，所以光看這裡一小段聖經的話，當然得不到答案的。記得我剛提過聖經是一部奇特的書嗎? 它的問題和答案都是散佈在各卷書中的，一個問題的答案，常常並非在一處可找到，而是要在許多處才能找到，所以要回答聖經的問題，若沒有對聖經看過至少幾遍，是沒法掌握住什麼概念的。而我們提過這些各卷書，又大多是由不同人所寫，他們寫的時間又在不同時代，而妙的是這些散布在各處的答案，合在一起來看，卻是沒有多餘的，也沒有不足的。而整本聖經充滿了這樣的問題與答案，所有這些問題與答案的核心，又全指向”基督”。所以看起來，真像是一部極高維度的書；一部自我滿足，自我完整的書 (self-contained)!也是一個高維度的拼圖，要將各處的片斷拼在一塊，就可看到一付完整的圖畫。而這個圖，又是更大問題的答案 (也就是我們這裡所謂的圖畫) 的片斷而已。他們又可以拼出更大的圖畫，希奇嗎! 這讓你感覺到了一點 “碎形” 的影子了嗎? 我沒法在此處細談聖經的結構與其複雜性，盼望有興趣的人，自己來體驗。讓我們還是回到我們的主題。

　

回到上面的一段聖經，讓我們將他重新稍做整理如下:

2:7                                    A. 神造人、又賜給人祂的靈。

2:8-15                              B. 神立了伊甸園、讓人去管理。

2:16-17                          C. 神禁止人吃善惡樹的果子。

2:18                          D. 神造一個配偶賜給人。

2:19-20                    E. 亞當為被造物命名。

2:21-25                F. 神設立夫妻關係。

3:1                 G.蛇性狡猾，引誘女人。

3:2-6a          H.女人犯罪。

3:6b         I.男人犯罪。

3:7       J.人發覺自己赤身露體。

3:8    K.神來親近人，人卻躲藏

3.9   L. 神向人呼喚:”你在那裡?”

3:10   K'. 人躲開神是因知道自己犯了罪

3:11      J'. 神從人的赤身露體知道人犯了罪。

3:12         I'. 男人企圖掩蓋罪過。

3:13            H'. 女人企圖掩蓋罪過。

3:14-15              G'. 神處罪蛇。

3:16-19                 F'. 神處罰夫妻，但保留夫妻關係。

3:20                       E'. 亞當給妻子起名。

3:21                          D'. 神為夫妻作衣服。

3:22                             C'. 神再禁止人吃生命果。

3:23                                B'. 神把人趕出伊甸園、人要自己去耕種。

3:24                                   A'. 神看守生命的道路。

　

看到這樣的整理，你發現了什麼嗎? A 對應到A’，B 對應到B’，……，而正中央的是 神向人呼喚: 你在那裡? 兩邊的經文，成對的圍繞著中央這一句話。而中央這句話正是千古以來，神一直向人發出沈痛的呼喚，呼喚人出來，承認他的罪性、悔改、得生命。這些經文是有這麼清楚的對稱性，可是在前面的時候我們讀過去，卻一點也沒發現! 或許你會以為這只是個特例，倒底聖經中這樣的結構有多少呢? 結果是令人驚訝的，聖經裡面充滿了這樣的結構。有興趣的你，可參看[註8]。該書中只列出舊約前半部的所有章節的對稱關係，而其實其他的各卷書，甚至一直到新約，這樣的pattern仍然一直出現，甚至以更為隱藏的方式出現在聖經中。譬如說，新約的第一卷書是”馬太福音”。在馬太福音裡，記載了許多耶穌說的話，這些話可分散在五個段落:

                第五至第七章: 登山寶訓

        第十章: 傳講天國的福音

    第十三章: 耶穌講天國的奧秘

        第十八章: 天國的生活

                第廿四至第廿五章: 末世的預兆

這五段話，相當的長，看過去更難發現他們的內容上是互相呼應對稱的，也就是第一段和第五段的內容是對稱的，第二段和第四段是互為對稱的，中心點是第三段，也就是”天國的奧秘”。告訴我們天國像什麼。而很有趣的是，在這第三段 (第十三章) 中，耶穌用了七個比喻，來形容天國像什麼；這七個比喻又是前後兩兩對稱的。您可以到這裡來查看聖經的內容，讀讀看其中的對稱關係是多麼的隱密。

其他，像約翰福音裡頭，在洋洋灑灑長達二十一章的文章裡，耶穌提到了七個”我是…”，這七個”我是”，又是前後互為對稱的:

            我是生命的糧 (第六章三十五節) ------------------------------- 糧

        我是世界的光 (第八章十二節) --------------------------------- 指引

    我是羊的門 (第十章七節) --------------------------------------- 門

我是好牧人，好牧人為羊捨命 – 又指向基督 (第十章十一節)

    復活在我，生命也在我 (在原文中有”我是”的字；第十一章廿五節) - 門

        我是道路、真理、生命 (第十四章六節)---------------------------- 指引

            我是真葡萄樹 (第十五章一節)   --------------------------------- 糧

這些個 "我是"，分散在不同的章節裡，是在談不同的事情時提到的，很難想像一個人如果只憑自己的意思，如何能夠將這些個 "我是"，安排的恰到好處，在該出現的時候，就出現了，而且七個 "我是"，還要互相對稱!

在聖經中的對稱，還不只這些拘限在一處的、語句上的對稱呢! 還有太多太多橫跨整本聖經，意義上前後互相呼應的呢! 舉一簡短的例子:

            神造人在樂園裡

        亞當犯罪，所有人陷入罪中

    基督死, 基督復活

        洗淨所有人的罪

            恢復與神和好

　

所以整個聖經，及其在靈裡面的含意，好像一個個小圈圈，這些小圈圈可能是聖經某章的某些節，小圈圈的中心是基督，而許多小圈圈又圍著一個大些的圈圈 (可能是幾章，甚或一卷書)，大圈圈的中心仍是基督，大圈圈又圍成更大的，又圍成更大的，…… 如此一直下去，中心一直是基督。就如同碎形裡，同樣的pattern一直自我模仿，從最小的尺度，到最大的……。這也就是許多的聖經學者和解經家，為何會說聖經裡，不論是66卷書裡的那一卷書，或是那一章，甚或是任一段文字，乃至於任何一句話裡，都有基督的影子。譬如，我們可以從亞當這個人身上看到許多基督的影子 (對映於基督的關係):

　

      亞當:                                       基督:

屬血氣者的祖宗   ------------------ 屬靈者的祖宗

在亞當裡人人都被定罪 ------------- 在基督裡眾人都得稱為義

因亞當人都遠離神  ----------------- 因基督人得與神親近

因亞當人都要死亡 -----------------  因基督人得以復活

因亞當人都被逐出地上的樂園-------- 因基督人得以進天上的樂園

因亞當人都伏於撒旦的權下---------- 因基督人都得以勝過撒但

因亞當地受咒詛而生出荊棘---------- 因基督戴荊棘的冠冕而地得贖

亞當的皮衣，保暖------------------ 基督的義袍，遮蓋罪

皮衣取自被殺的牲畜---------------- 救恩因基督的死而成全

亞當與夏娃------------------------ 基督與教會

        :                           ：

        ：                          ：

　

其他的聖經人物，如亞伯拉罕、以撒、雅各、約瑟、摩西、大衛、所羅門……等，全都預表基督的某個方面，因此也都與基督有類似的呼應關係；甚至連以色列人的整個歷史，也呼應到基督徒信主以後的靈裡面的路程 (所謂的 “靈程”)。整個聖經也呼應到我們的靈程，若單獨看舊約或單獨看新約，也表現出每個人信主的靈程，每卷書，甚或一章，一節，亦是表示我們靈程的某個階段。還不僅僅表現基督這一個主題而已，我們若以救恩的角度來看，同樣的，聖經裡的任何一個大部分，或小部分，甚或以色列人的整個歷史，仍然也表現出救恩的影子，………。其他的主題亦然，如罪，生命，義，審判……等。這就如同在碎形裡，我們一般所說的例子，如果將一天的股票上下震動的變化情形劃成一個表，再將一個月的股票震動情形也劃成一個圖表，也將一年的股票劃成一個圖表………，我們會發現這些表看起來沒有多大的差別，若不告訴我們那一個表是一年的，那一個是一天的，我個絕無法從圖表看出來。像天空的一片雲，也有這個特性，一片大些的雲，或是很小的一片雲，外貌上看起來總是差不多。聖經中表現出來的碎形，亦復如此。這是聖經中的碎形。

而我們在前面提過，碎形有一個奇特的功能，就是能將本來是極大的東西，塞在極小的空間裡，看起來，聖經裡也使用到了這個奇特的方式，來交待 神要告訴人的話。因此，聖經能讓人有永遠讀不完的感覺；從古至今，不論是信主幾十年的，讀了聖經幾十遍的，或是神學教授，教了聖經幾十年的，沒有人敢說他能完全了解聖經 (儘管這本書看起來並不算太厚)，我想或許就是因為它如同碎形，可以在任意的尺度上游走，使得這本書的複雜度，遠超過任何一個人所能了解的吧!

聖經告訴我們，這個宇宙是神所造的，聖經也是神所啟示的 (聖經中也的確這麼說)，那麼神在造宇宙上面，和啟示聖經上面，都用到了相同的，也是最基本的方式 (碎形)，實在是極其自然的事，不是嗎?

最後，別忘了，聖經是四十多個人，在不同時代裡寫的 (他們寫的時候，還不知道他們自己的東西以後要變為聖經呢!)，所以若沒有聖靈在背後運行，如何有可能做的到呢? (而這裡所談的也只不過是和"碎形” 相關的部份而已。尚有其他太多奇妙的特性，無法在此一一敘述。) 更何況，整個舊約所談的，幾乎全是以色列人的歷史，誰能讓一個民族的歷史，投映到一個由基督、救恩、贖罪……等概念，所匯聚而成的一個巨大的聖經的碎形裡呢? 奇哉! 妙哉!

談完了聖經中奇異的碎形的表現，我必須要提醒各位看官的是，聖經是 神所默示的一本書 (提摩太後書三章十六節)，因此它蘊藏了豐富的科學知識，有些很明顯可以看出來，有些是隱藏著的，甚至有些連現在的人類也未能完全明白的。但更重要的是，聖經是一本講「生命」的書，因為 神賜予人生命，祂最盼望人能得著的，就是 “生命”，但這個生命，並非我們一般人所以為的肉體的生命，因為肉體的生命是會毀壞的， 神所盼望我們得著的是“靈”裡能活過來，只有靈裡活過來了，人的生命才會豐富，才能得著基督裡豐盛的生命，而脫離那永遠填不滿的黑暗 (耶穌說: 我就是道路、真理、生命)。至於聖經中隨處出現的一些科學性的話語，他們就像是 神隨意撒出的一些與創造宇宙萬物時用到相同方法的一些方法 (methodology; algorithm) 或概念而已，這些科學性的話語和思想，可供我們這些不太相信真有神的人來把玩，並進而認識神。但這些個科學的東西，決非聖經中所主要要探討的問題，我們千萬別對聖經有錯誤的認識。豐盛的生命才是基督來的目的: “我來了，是要人得生命，而且得的更豐盛” (約翰福音第十章十節)。

river.

另種數學密碼 碎形：以小窺大
分類：碎形
2008/07/19 16:47

另種數學密碼 碎形：以小窺大

除了費氏數列外，「碎形」也是自然界中極常見到的數學規則。所謂碎形，簡單講就是具有不規則形狀的物體，放大或縮小觀察時，仍然會「自我相似」；例如雲朵，若將其中一小部分放大，看起來會跟一大朵雲很像。

雪花 是碎形代表

台大數學系教授謝南瑞指出，「碎形」是法裔美籍數學家曼德布洛特在1970年代提出，自然界中最有名的碎形就是雪花。雪花六角形構造，其實是正三角形的每一邊，中間1/3突出，另成新的正三角形；而六角形的每一邊，中間1/3又會再突起，再成為新的正三角形。

由於雪花若不斷重複「每一邊中間1/3突起成為一個新的正三角形」的過程，用顯微鏡將某一小段邊界，放大很多倍來觀察，會跟用肉眼看到的某一大段一模一樣。這也就是數學的「卡區曲線」。

樹枝海浪都常見

自然界中常見的碎形還有河流、血管、樹枝的分岔、海岸線、海浪等；聲音也有碎形；中山大學海洋生物研究所教授方新疇說，槍蝦的叫聲間隔變化，也是碎形，可能是槍蝦內在資訊的表現。

可辨抽象畫真偽

碎形定量化標準叫做「碎形維度」，台大物理系教授陳義裕表示，碎形維度不是整數。

碎形不只出現在自然界，美國知名抽象畫家帕洛克的很多幅畫作，都有相同的碎形維度，只要檢驗碎形維度，就可知是真品還是贗品。

river.

黃金比例／作者／ LIVIO, MARIO
分類：黃金比例
2008/07/05 08:21

媒體推薦
這部以黃金比例為核心的數學簡史不僅引經據典、耙梳古今中外各種史料與故事，指出黃金比例的無所不在，舉凡西方的五角形、中國的八卦圖、盤懸星系的漩渦、鸚鵡螺的貝殼，都有著它的蹤跡。作者也不厭其煩地進行許多搜證功夫，證明古代偉大建築、藝術與音樂中都沒用到黃金比例，點出數學理論未必萬能的道理，留給讀者不少思索與想像的空間。  


內容簡介
兔子的生育、玫瑰花瓣、鸚鵡螺的外殼、鳳梨的外皮鱗片、到巨大星系、《蒙娜麗莎的微笑》、股市指數的波動和現在流行的美體雕塑之間究竟有何關聯？答案是：1.6180339887……，也就是「黃金比例」這個數字。
黃金比例的發現究竟源起於何時？幾乎已不可考。不過，有一點倒是可以確定的，歐幾里德(325-265 B.C.)這位幾何學大師用一條簡單的幾何定理「中未比」就為黃金比例下了完美的定義，即把一條直線(或線段)一分為二，則長線段與短線段之比恰等於完整直線與長線段之比。

黃金比例的趣味或許在於它跳脫了最原始的幾何意義，從數學延伸至繪畫、建築、音樂乃至發展成為對完美人體身形比例的終極追求，搖身一變成定奪感官之美或和諧之美的最高裁判官，相較於多數人可以朗朗上口的π值3.1416，黃金比例顯然與我們日常生活的關係更為密切。也因此，我們容易「眼見為憑」，將許多充滿視覺驚嘆之美的結構，誤判為是依據黃金比例而設計，譬如神祕的古埃及金字塔與雅典充滿簡約風格的帕特農神廟等等，許多黃金數字的狂熱崇拜者全都將之記在黃金比例的豐功偉績裡，但果真如此嗎？本書作者李維歐不僅是一位稱職的嚮導，用平實的語言引領讀者展開這趟黃金比例的深度考古之旅，追本溯源，沿途也發揮科學家的偵探精神，抽絲剝繭，為讀者撥開層層迷霧，直達真相。

■作者簡介

李維奧（Mario Livio）
哈伯太空望遠鏡科學研究所(Hubble Space Telescope Science Institute)科學部門負責人，研究主題廣泛，集中於宇宙學和天文物理學領域。他對星體爆炸、宇宙擴張、黑洞附近的物理過程及智慧生命的出現等議題尤其感興趣。之前著有《加速的宇宙》(The Accelerating Universe)一書；出版超過三百篇的科學論文，經常受邀在史密森博物館(Smithsonian Institution)和海頓天文台(Hayden Planetarium)對公眾演講。目前定居美國巴爾的摩市。

■譯者簡介

丘宏義
美國康乃爾大學物理博士，美國航太總署（NASA）哥達德太空飛行中心太空科學家及天文物理學家。退休後專事寫作與翻譯，著有《新封神榜--紂王與妲己》、《吳大猷──中國物理學之父》，譯有《預約新宇宙》、《億萬又億萬》、《抓時間的人》、《數學與頭腦相遇的地方》、《物理學家的靈感抽屜》、《物理與頭腦相遇的地方》、《光錐．蛀孔．宇宙弦》、《宇宙的六個神奇數字》、《量子重力》等書。



《黃金比例》譯序－從數學到藝術，及我們所知的數學是否萬能？ 文 / 丘宏義



從上古到現在的數學

本書可是說是一部以黃金比率φ為核心的數學簡史。黃金比率牽涉之廣，幾乎在所有的數學中都插進一腳，即使插進的份量最多可以說是當配角而已。本書提到，圓週率π成為配角或主角的角色可能要比黃金比率還要多得多，可是從任何一點說來，π太「嚴肅」了，沒有φ這麼的多彩多姿。有許多計算π的系列，最準確的的第一項就可以把π算到48位小數。而計算黃金比率的公式只牽涉到5的平方根而已。為甚麼老天爺對數字5特別加以青睞，而對其它的數字如3，7 或者11這麼平淡地對待呢？我想，這也是為甚麼黃金比率會有這麼大的吸引力的原因。

各種古文化都知道計數。對我們說來，他們計數的方法可能很笨拙－即使對他們的語言最自傲的法國人，也對他們到現在還在天天用的quatre- vengts（四個二十，即八十）只好苦笑，因為這實在太違背他們發明出的公制的精神了－可是對他們來說，不用「八個十」而用彆扭的「四個二十」是天經地義的事。中國人稱3/4為四分之三，英語則稱為三個四分（three fourth），我們認為他們的說法彆扭，他們也認為我們的說法彆扭。如果把四分之三的中文逐字譯成英文，應當是 four's three(雖然文法較對的說法應當是three out of four，即四個中的三個)。中文把「被屬於X」的某物放在後面，而英文把「被屬於X」的某物放在前面。我想原因大約是，中文的意思是，這某物屬於X，因此X是主人，應當在前面；而西方認為我們講的是這屬於 X 的某物，因此這「某物」為主，應當放在前面。

從計數（序數或數字，見第二章）到認為數字可以單獨存在，不需要物件的抽象觀念，發展最早的在希臘。（中國在很早也建立了這觀念，可是覺得並不太重要，以後也沒有像希臘人那麼專誠地發展。南美的馬亞族 Maya 也發展出同樣的觀念，可是要遲得多。其它的文化也有，有些相當早。）而希臘人對數字的抽象觀念之崇拜到達幾乎有宗教熱誠的地步。各種派別之中以畢達哥拉斯（他的信徙總稱為畢派）為首。他們建立了許多數論，包括證明了無理數的存在。他們認為無理數不應當在宇宙中存在，因此有很長一陣子不得把這秘密洩露出去。畢派也發明了所謂的「中末比」：把一條線分割成兩段，使得長的一段和短的一段的比率等於全線長和長的一段的比率相等。得到的就是黃金比率，也是無理數。傳說一位名為希巴修斯的畢派信徙把這信息透露出去，因而被畢氏信徙把他丟在海中淹死（見第一章）。

如果中末比的故事到此為止，那就是歷史上的另一個壓抑發現的故事而已，下面就沒有甚麼可說的了。可是如作者所說，中末比－現在稱為「黃金比率」或其它帶有「黃金」頭銜的名字－最令人驚奇的地方是，它在想不到的地方跳出來。以一個以5的平方根為主的數字，其後果卻一直延伸到今日，很可能還有許多尚未發現的成果。相比之下，圓週率π的確在幾乎所有的物理公式及理論中出現（其出現之頻繁，使得有些物理理論家嫌太煩了，因此自訂出一個「單位，」4π=1 〔請別問我怎樣去應用這單位〕），可是π卻不會像黃金比率在想都想不到的地方冒出。如上所說，π在數學及物理公式中的出現似乎是不能沒有的，可是－原諒我說一句毀損π的話－在許多情形中，就像食之無味，可是棄不得的雞肋，或者是不能沒有的盲腸，到處都不嫌其煩地出現，可是又不能沒有。天知道在不知道多少的數學及物理的考試中，因為遺落了這麼一個煩而不能不用的π，有多少學生丟了分數或被「當」掉。而從另一方面來說，黃金比率－數學遊戲式的線的分割－非但在五角形及西方認為，和中國的八卦圖一樣有避邪功效的五角星形中出現，居然也在植物的葉子的安排，向日葵的葵瓜子的安排，盤旋星系的漩渦，鸚鵡螺的美麗盤旋貝殼，物理上的準晶體，如何鋪不重覆花式的地磚，理論上養育兔子的「兔口」等等風馬牛不相及的命題中不請自來，成為趕也趕不走的不速之客。

最美的矩形，神的比率，文學及藝術的規範 我在上初中時（1944 年，在福州），一位很好的數學老師趙省身在幾何課上講到以黃金比率製成的矩形，只提了一句，說這是最美的矩形。這句話一直銘於我的心中。我真的拿起筆及直尺來，畫出黃金矩形。可是我嫌它太寬一點，要窄一點就好看一些。也許我覺得我自已的審美觀點不夠格，就沒有再繼續下去，也不敢向「權威」挑戰。當時所有電影銀幕的縱橫比都是3：4=1：1.25。所謂35mm相機的底片的縱橫比是1：1.46，可是在美國印出來的相片的典型尺寸是（以英吋計，1英吋= 2.54公分）3×5，4×6，5×7，8×10，11×14，縱橫比各為：1：1.67，1：1.5，1：1.25，1：1.27。沒一個是黃金比率（3×5的較接近，可是有人嫌太小一點）。現在還在用的電視系統採用以前的電影銀幕的縱橫比的格式，即1：1.25。

有人告訴我，這樣的縱橫比會使人看上去要胖些。（對性感或美麗的女明星這當然是壞消息，因為又加上對她們體重的要求。）而呼之欲來的高分析度數字型的寬銀幕格式的縱橫比為9：16 = 1：1.78，比黃金比率又要大上不少。現在美國用的紙張（8.5×11.5吋）的縱橫比是1.35，而台灣用的A4紙的縱橫比是1.39，都和黃金比率 1.618…差上一大節。最接近黃金比率的是美國稱為「法律文件紙 legal size，」大小是8.5×14吋，縱橫比為1.65。較接近黃金比率，可是一般人都嫌太長。因此，無論怎麼說，似乎「最美的（黃金）矩形」在實用上無用武之地。就就令人懷疑，是否真的是那麼美。如果真的那麼美，為甚麼不用。因此，我很高興，在這本專論黃金比率的書中，並沒有把黃金比率捧到像皇帝的新衣服一樣，看成「美的至高規範。」按本書所說，心理研究似乎決定不出甚麼是最美的矩形的規範。

本書給我印象最深的是，作者不嫌其煩地做了許多的搜索及考證，證明在古代的偉大建築，藝術，及音樂中都沒有用到黃金比率。不如說，因為（第六章）一位中古時代的作家柏奇歐利寫的《神的比率》一書，使受了基督教的教義熏陶了將近兩千年的歐洲人一聽「神」就「生畏，」有意識地或下意識地把黃金比率認為既然是神的比率，一定神聖不可侵犯。到現在，如本書所說，有許多黃金比率的熱衷迷不惜纂改歷史藝術以資可以把「神的比率」安在不應當安上的地方。可是，似乎只有少數幾位的藝術家真正地用到黃金比率，如第一章中達里的畫《最後的晚餐聖餐》。後來有些法國藝術展抬出了「黃金」的大名，可是只是用這名詞來做招牌而己。實質上和黃金比率沒有甚麼關係。

如果能平心靜氣來想一下，絕對的「美的規範」實在是個太籠統而沒有實質的觀念。舉一個例子，有沒有一個美麗的女人的絕對規範？如果到藝術博物館去看，每一個時代都有一個不同的美的規範。中國歷史上認為最美的女人大約是唐朝的楊貴妃。可是以現在的標準去衡量，她大約應當去減肥學院中好好地去減上十幾磅（連白居易在「長恨歌」中都提出暗示式的「洗凝脂」）。要說文學（或藝術）有一個絕對的美的規範，更可笑了。中國古代的駢文之美，到現在還在贊之不絕。可是有沒有現代人去寫？我們經常罵某人太落後，用的是「八股」兩個字。在清朝初年時這種文章的文風（破題，承題，起講，提比，虛比，中比，後比，大結等八段）的確也流行了一陣子，因為可以  →下一頁...〉


把一個題目有條有理地寫出來。可是最後就變成形式化，所有的文章看上去都千篇一律。再最後就把「八股」變成罵人不合時代的話了。如果張畫都硬放進黃金比率，最後也會流於形式化，一旦流於形式化，就成為一個模子出來的。西洋畫家自文藝復興時期以來，畫風不知道改變了多少。把一個畫的畫風幾乎完全開拓完之後，就再去開拓另一個新彊土。最初把希臘神話的題材用盡後，就開始畫風景，畫災禍，發展光與影的技術（如第八章中所提到的佛彌爾，見第八章註 2），再下去發展印象派，過一陣子變成後期印象派，等等。音樂亦然。舉幾個例子。巴哈（Johann Sebastian Bach, 1685-1750）建立了音樂的和音風格。海頓（Franz Joseph Haydn, 1732-1809）發明了交嚮樂。莫札特（Wolfgang Amadeus Mozart, 1756-1791）以他的奇才，把自巴哈以來的音樂幾乎都開拓了。到了貝多芬（Ludwig van Beethove, 1770-1827）又更進一步地開拓出新風格出來。在他開始時（如第一及第二文嚮樂）可以聽出海頓及莫札特的影子，可是到了第九文嚮樂時，已經可以看出後來音樂的趨向了－可以聽見布郎姆斯（Johannes Brahms, 1833-1897）的樂音（應當說，在布拉姆斯的音樂中可以聽到貝多芬的樂音）。貝多芬能脫離經典音樂的傳統，創出一個極美的新方向，加上他的旋律及音樂總體之美，難怪稱他為樂聖。從這些看來，藝術不在於模仿，而在於天資的創意。在這種前提下，要硬把黃金比率放進去，是不可能的事。作者做了徹底的工作，證明黃金比率根本在藝術中沒有地位。黃金比率的地位乃是上面所說過的，在最想不到的自然現象及數學中出現，非但出現，而且還能導出一大堆表面上看來風馬牛不相及的學科，而最後都能聯繫在一起。

當然，有些藝術家一成不變（可以說以不變應萬變）。一位德裔美籍的著名現代畫家約瑟夫‧阿爾伯斯（Josef Albers, 1888-1976）就如此。他自稱他自五0年代起的後來二十年中，他的畫的畫局都相同，即一個正方形套上另一個；一共套了四個。其中一張附在下面（這張畫出現於美國一張最近的郵票上）。變化就在於色彩的對比。可是如果別人去學他，一張畫都賣不出去，因為這是他的創作。別人是模仿。（本書的圖 82，取名為《百老匯布基-烏基》的現代畫，有類似的格調。）

而在音樂中，更不能拘泥於一個簡單，和樂理無關的格式。我在第八章的註17中講到一些。作者提到一些規定了長短音節的音樂，可是都不能持久。幾十年前在台灣有人搞電腦（計算機）音樂，流行了短期後，立刻被淘汰了。問題是，這不是音樂，也不是藝術。這是以新奇為標榜的「匠術，」當然不能持久。

中國古畫，畫了幾千年，還是畫同樣的山水人物。最後流於形式。國畫大家如齊白石的畫之可愛，乃是他能脫離這些形式。一般都認為，每位畫家都應當有自己的風格。如果不滿意，就可以自創一風格，如反抗當時傳統的立體派。要不對西洋繪畫的歷史熟悉，會下這種很外行的評語：《裸女》中一點都看不到女人，頭在這裡，臂在那裡，畫不像人，等等這些外行話。（第八章討論了一些近代西洋現代畫，這位作者顯然對西方的繪畫很有修養。）

因此，一點不奇怪，黃金比率在藝術甚至於文學中都很少出現。一拘泥於某種形式，就把創意限制住了。詩也是一樣。我在第七章註20提到為甚麼以前格式化的詩已被新詩所取代的原因。任何藝術文學作品，一旦格式化之後，就受到了許多的限制。在開始的時候，因為大部份的彊土都是沒有被探測過的處女地，這些限制的因素還不十分明顯。到了作品多的時候，就覺得到處都受到限制了。

river.

黃金比例
分類：黃金比例
2008/06/22 19:04

黃金比例
作者：廖翊雲
指導老師：謝淑玲老師

目錄

一.研究動機

二.研究目的

三.研究方法

四.研究內容大綱

五.研究內容

  5.1了解黃金比例的定義。

  5.2研究黃金比例的由來。

  5.3認識有理數和無理數。

  5.4研究黃金矩形。

    5.4.1黃金矩形的介紹。

    5.4.2三個黃金矩形的實際操作。

  5.5研究黃金三角形。

  5.6認識費波納西數列。

  5.7認識其它黃金比例應用的例子。

    5.7.1建築

    5.7.2古代證據

    5.7.3人體比例

    5.7.4審美觀

  5.8結語

  5.9心得

一研究動機

  在長時間與母親的討論之後，我覺得我更確定我想完成一個有關數學方面的研究主題。最後在多次的思考尋找之後，黃金比例引起我的極大興趣，我想要了解它的秘密、定義和它是如何廣泛的應用在各種領域上。所以黃金比例成了我的獨立研究主題。

二研究目的

研究黃金比例的由來。
了解黃金比例的定義。
認識有理數和無理數。
研究黃金比例在生活中的應用。
三研究方法

以蒐集資料和實地研究的方式進行。

四研究內容大綱

了解黃金比例的定義。
研究黃金比例的由來。
認識有理數和無理數。
研究黃金矩形。
研究黃金三角形。
認識費波納西數列。
認識其它黃金比例應用的例子。
結語
心得
五研究內容

壹、黃金比例的定義。




黃金比例的定義就是把一條直線(或線段)一分為二，則長線段與短線段之比恰等於完整直線與長線段之比。如：在線段AB上，若要找出黃金分割 ﹝見注釋1﹞的位置，可以設分割點G，G會符合以下的特性：

AB：AG=AG：GB設AB=l;AG=x

則l：x=x：(l-x)

x2+lx-l2=0

解方程得 x=[(-1±√5)×l]÷2得到x的近似值為0.618。這就是黃金比例了

通常用希臘字母 表示這個值。

黃金分割奇妙之處，在於其比例與其倒數是一樣的。例如：1.618的倒數是0.618，而1.618：1與1：0.618是一樣的。因為：

黃金分割數是無理數﹝見第参章﹞，前面的1024位為：1.6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 09179805762862135448 6227052604 6281890244 9707207204 18939113748475408807 5386891752 1266338622 2353693179 31800607667263544333 8908659593 9582905638 3226613199 28290267880675208766 8925017116 9620703222 1043216269 54862629631361443814 9758701220 3408058879 5445474924 61856953648644492410 4432077134 4947049565 8467885098 74339442212544877066 4780915884 6074998871 2400765217 05751797883416625624 9407589069 7040002812 1042762177 11177780531531714101 1704666599 1466979873 1761356006 70874807101317952368 9427521948 4353056783 0022878569 97829778347845878228 9110976250 0302696156 1700250464 33824377648610283831 2683303724 2926752631 1653392473 16711121158818638513 3162038400 5222165791 2866752946 54906811317159934323 5973494985 0904094762 1322298101 72610705961164562990 9816290555 2085247903 5240602017 27997471753427775927 7862561943 2082750513 1218156285 51222480939471234145 1702237358 0577278616 0086883829 52304592647878017889 9219902707 7690389532 1968198615 14378031499741106926 0886742962 2675756052 3172777520 35361393621076738937 6455606060 5922…




連分數表示︰




平方根表示︰

  黃金比例的趣味或許在於它跳脫了最原始的幾何意義，從數學延伸至繪畫、物理、建築、美術、音樂乃至發展成為對完美人體身形比例的終極追求，在自然界裏，物體形狀的比例提供了在均稱和協調上一種美感的參考。在數學上，這個比例稱為黃金分割。但最後它搖身一變成定奪感官之美或和諧之美的最高裁判官，天文學家克卜勒曾將黃金比與畢氏定理並列為幾何學中的兩件瑰寶，可見黃金比的重要性。

注釋1：本文中黃金比例會以不同的名詞出現，例如：黃金比、黃金分割、黃金律、、和。

貳、黃金比例的由來。

    黃金比例是屬於數學領域的一個專有名詞，但是它最後涵蓋的內容不只是有關數學領域的研究，以目前的文獻探討我們可以說黃金比例的發現和如何演進至今仍然是一個謎。但有研究指出公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，因此現代數學家們推斷當時畢達哥拉斯學派已經觸及甚至掌握了黃金分割的一些規則，也發現了無理數。

  公元前4世紀，古希臘數學家歐多克索斯第一個有系統的研究了這一個問題，並建立起比例理論。

  公元前300年前後歐幾里得撰寫《幾何原本》時吸收了歐多克索斯的研究成果，更進一步將系統論述成了黃金分割，成為最早的有關黃金分割的論著﹝即中末比 ﹞。

中世紀後，黃金分割被披上神秘的外衣，義大利數家帕喬利稱中末比為神聖比例，並專門為此寫書解釋。德國天文學家克卜勒稱黃金分割為神聖分割。

到19世紀黃金分割這一名稱才逐漸通行，而證據在於德國數學家歐姆所寫的「基本純數學」的第二版一書中在注釋中寫到有關黃金比例的解釋，他是這樣寫的「人們習慣把按此方式將任一直線分割成兩部分的方法，稱為黃金分割」而在一八七五出版的大英百科全書的第九版中，蘇利有提到這一段話「由費區那……提出的有趣、實驗性濃厚的想法宣稱，『黃金分割』在視覺比例上具有所謂的優越性。」可見黃金分割在當時已經流行了。二十世紀時美國數學家巴爾也給他一個叫 phi﹝﹞的名子。黃金分割有許多有趣的性質，人類對它的實際應用也很廣泛，造就了他今天的名氣。

參、認識有理數和無理數。         

        黃金比例是無理數 簡單一點的說無理數就是沒有規律的數字，像1/3=0.333333333333是有規律的，所以並不屬於無理數，而e、π、√2的數字，是一個並沒有一定的規律，所以就屬於無理數，例如：： 圓周率 3.14… 、根號…或是不可以用分數表示的，可是有理數是可以的…例如： 整數.小數…那一類的，<完全平方數>﹝完全平方數的性質是一個數，如果是另一個整數的完全平方，那麼我們就稱這個數為完全平方數，也叫做平方數。例如：0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，…﹞ 開根號出來的數，一定是有理數!!!亞歷山大時期的希臘數學學風漸有改變。天文、三角採用小數計算，實用問題不再完全摒棄，小數、分數才納入數的系統。有些人（如：阿基米得）用了很多分數做為平方根的近似值，另一方面，帶根號的「量」偶而也看做純粹的數來處理，但絕不像幾何那樣有嚴格的邏輯基礎。印度人和阿拉伯人更進一步，他們不但把帶根號的量當做數，而且這些數之間也可以做代數式的運算。他們不像希臘人那樣哲學心重，計算的需要使他們只重算，而未觸及無理數的邏輯問題。
  在證明幾何圖形時，有時候有理數不管用，而無理數取而代之，居然很管用。這使我們不得不承認無理數確實是數。亦即，當我們用小數表示無理數，我們發現小數沒有個結尾。既然它是那麼不確定，它就不是真正的數。因此，就像無窮大不是一個數，無理數在表示方面也不是真正的數，不可通約的量取名為“無理數”，判斷有理數跟無理數的分法就是判斷一數能不能化為最簡分數，能化為最簡分數的就是有理數、不能的就是無理數。

    肆、研究黃金矩形。







肆之一、黃金矩形介紹


圖四之一




    黃金矩形就是一個矩形的長和寬呈現1.618：1的矩形，如左圖，黃金矩形有一個特別的特性，那就是如果以寬為新正方形的邊長一直切割下去，就會完成如圖四之ㄧ的圖形，如果在上面加上弧線，黃金螺線就出現了﹝如圖四之ㄧ﹞。黃金矩形還有一個特性：三個黃金矩形可以構成一個正二十面體的頂點，也可以和正十二面體的各面的中心點相重疊。

肆之二、三個黃金矩形的實際操作。

  如果想要了解三個黃金矩形和正二十面體及正十二面體的互動關係，以下為操作的資料。

製作材料：鉛筆1枝、透光性高的硬紙2張﹝因為做正二十面體要1張，正十二面體也要1張，至於透光性和硬度，請見Ⅲ。﹞、雙面都有顏色的硬紙﹝依個人喜好1張─6張，顏色和硬度的問題，原因請見Ⅲ﹞、剪刀或美工刀1把、三角板1個、澆水或雙面膠帶1捲和量角器1個 。
製作程序：
壹、把所要製作的長度擬好。﹝可用費波納西數列﹞

貳、以黃金矩形的短邊長度畫下來成正二十面體和正十二面體。

参、把黃金矩形、正二十面體和正十二面體剪下來。

  肆、將黃金矩形和正二十面體或正十二面體拼起來。

我在實際操作時所遇到的困難以及解決：
正十二面體的中心點在各種努力下無法測量的100％精準。
在畫的時候因為鉛筆、尺和量角器的厚度會有多多少少的小誤差，但是積少成多，到最後還是會有無法挽救的錯誤。
外面的紙如果無法讓光穿透，會看不到裡面的三個黃金矩形到底長什麼樣子，那就沒意義了。
就算外面的紙能讓光穿透，看的到裡面，但是如果裡面是白色的就無法看清楚裡面到底是長的如何了，也是一場空。
而且就算是前面的情況都成立了，如果紙的硬度不高，拼湊時很容易彎來彎去的，不方便組裝，而且一不小心太用力一捏很容易毀掉的。
以上就是三個黃金矩形的實際操作。

伍、研究黃金三角形。




       所謂黃金三角形是一個等腰三角形其腰與底的長度比為黃金比值。我們若以底邊為一腰作一等腰三角形則此三角形亦為一黃金三角形，如下圖。圖中三種不同長度的線段，其中最長的線段（紅色）與次長的線段（藍色）比是黃金比例，次長的線段（藍色）與最短的線段（綠色）也是黃金比例。而這種情況下的三角形的角度成 36。、72。和72。或成36。、36。和108。，有趣的是這種圖在五角星和正五邊形裡無所不 在，像下圖都是有一點有趣得是第一個圖的紅邊背黃金比例切割後的兩個三角形也都是呢！而黃金三角形也可以像黃金矩形一樣可以切出黃金螺線，只不過比較難。




陸、認識費波納西數列。

   十三世紀的意大利數學家費波納西(Fibonacci)寫了一本書叫做《Liber abacci》那是商用的算術和代數手冊。在這本書裡，他提出了這麼一個有趣的問題：假定一對兔子在它們出生整整兩個月以後可以生一對小兔子，其後每隔一個月又可以再生一對小兔子。假定現在在一個籠子裡有一對大兔子和它們剛生下來的一對小兔子，請問一年以後籠子裡應該有幾對兔子？

  讓我們慢慢地算一下。一月底，大兔子又生了一對小兔子，但是第二代的那對小兔子還沒成熟，還不能生小兔子，所以總共有三對。二月底，第一、二兩代的兩對兔子各生了一對小兔子，連同一月底所有的三對，現在一共有五對了。三月底，在一月底已經有的三對兔子各生一對小兔了，連同二月底所有的五對兔子，現在一共有八對了。依此類推，每個月底所有的兔子對數應該等於前一個月底所有的兔子對數（也就是原有的兔子對數）加上前兩個月底所有的兔子對數（這些兔子各生了一對小兔子）。所以每個月底的兔子對數應該是3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、…，每一項都是前兩項之和。現在假定十四代同堂，那麼一年後籠子裡應該有610對兔子了。

費氏本人對這個數列並沒有再做進一步的探討。直到十九世紀初才有人詳加研究，其後各方面的文章就像費氏的兔子一樣迅速地增加，而 1、1、2、3、5、8、13、21…這個數列就被叫做費氏數列（最初的兩項代表最開始的一對大兔子和一對小兔子）。現在讓我們看看費氏數列到底和向日葵、帕德能廟、正十邊形、鸚鵡螺等等有些什麼關係： 雅典的帕德能廟 (Parthenon at Athens) ﹝如左圖﹞莊嚴、宏偉、給人以美的感覺，被認為是古希臘最偉大的建築之一。為什麼它會顯得那麼和諧。有人說它的寬度和高度正合於黃金律。報紙、書本度和寬度之比往往接近這個比值，大概是因為在這個比例之下，它們看起來很順眼，很和諧吧!建築和繪畫方面也常利用這個比值來引起美的感覺，這就叫做黃金律。




     歷史上，正多邊形的作圖很引起人們的興趣，同時在數學上也佔據相當重要的地位。我們來談談正十邊形的作圖吧!


圖一

如圖一，假定O點是正十邊形的心，那麼OAB是個等腰三角形，它的頂角 ，底角 ，作的分角線BC，則由角度的計算得知OC=BC=AB。又因和相似，得 ，所以 ，這就是說C點將OA黃金分割了。如果給一個一定的長度OA，我們能夠求出AB(=OC)，那麼就可以作圖，而正十邊形的作圖也就完成了。

但是怎麼樣把一線段AB黃金分割呢?(圖二)，引直線BD垂直於AB，令 ，連接AD，在AD上取DE=BD，在AB上取AC=AE，則C點就把AB黃金分割了。


圖二

長和寬之比為 φ 的長方形叫做黃金長方形。這種長方形有許多奇怪的性質。假如我們從黃金長方形 ABCD 的一端把小正方形 ABEF 去掉（圖三），剩下的 CDEF 還是一個黃金長方形。用同樣的方法，可別逐漸步去掉許多正方形而得到愈來愈小的黃金長方形，而黃金分割點 F，H，I，J，K，L， … 都排在一個等角螺線上，螺線的心正好是兩虛線 AC 和 DE 的交點。所謂等角螺線（圖四）就是向徑和切線的交角永遠不變的曲線。鸚鵡螺的外殼、象鼻、羊角、鸚鵡的爪子等等都是成等角螺線形的。


圖三



圖四

     仔細觀察雛菊花蕊的排列，你會發現它們也是成等角螺線形。這種排列可以有兩種看法：左旋的和右旋的。大部份雛菊的左旋數和右旋數是21和34，正是費氏數列的相鄰兩項。松果、鳳梨的鱗片也有類似的排列，而排列數各為 5 和 8 以及 8 和13，也是費氏數列的相鄰兩項。向日葵也是一樣（圖五），通常左旋數和右旋數各為34和55，更大的向日葵則有89和144，甚至144和233的排列數，都是費氏數列中相鄰的兩項。


圖五

1960年左右，許多數學家對費氏數列和有關的現象非常感到興趣，不但成立了費氏學會，在1963年居然還創辦了《費氏季刊》，做為會員發表觀察結果和個人心得的園地，是一份相當學術性的刊物。有人說未爾吉 (Vergil) 和那時候的許多羅馬詩人經常在他們的作品裏應用費氏數列；甚至鋼琴的琴鍵在一個八度音之間有黑鍵五個，白鍵八個！費氏數列到處可見。

     費氏數列相鄰兩項的比值趨近於黃金比律，由黃金長方形又可描出等角螺線，等角螺線又出現在松果、鳳梨、雛菊、向日葵等，而它們的左右螺旋數又恰好是費氏數列相鄰的兩項，自然之造物令人嘆為觀止！

柒、認識其它黃金比例應用的例子。

一、建築：  







  古埃及的金字塔，形似方錐，大小雖有不同，但是金字塔底面的邊長與高的比率都接近於0.618。而近代著名的法國巴黎埃費爾鐵塔，其第二層以下和第二層以上的高度比率是0.618。目前世界最高的建築物是加拿大多倫多電視塔，高553.33公尺，其觀景樓以上和樓以下的長度之比率就是0.618。

<-----巴 黎 鐵 塔
  多 倫 多 電 視 塔----->

　





二、古代證據：
西元1863年的愛琴海小島上，一尊令人讚嘆不已的雕像--維納斯女神，從長眠的地底被挖出土，重新站在世人眼前，她是西元前一百多年希臘雕塑最盛時期的代表作，她的上半身和下半身的比率正是0.618。一般相信，古希臘的畢達哥拉斯學派應該已發現這個比率，在學派的代表徽章-正五角星形(左圖)，連接ABCDE就是正五邊形，其中AC：BC=約0.618。

三、人體比例：

     人體的黃金比例也是1：1.6，例如鼻子的高(從鼻跟到鼻尖)比寬(鼻孔寬度)，幾頭身幾頭身跟人體的整個黃金比例沒有什麼太大的關係，基本上所謂人體的黃金比例是要把各個部位"分開來討論"的。
他們的研究結果發現世界上公認的美女帥哥，他們的五官和身材比例大致上都符合1：1.6的黃金比例，以往的研究發現，女性的「腰／臀」比例若是達到所謂的「黃金比例 0.7」時，男性就會不由自主地被吸引住。五官和身材比例符合的定義是精打細算　臉部黃金分割：
　　雖然「美」沒有絕對標準，但從希臘羅馬美學及數學家畢達格拉斯理論中，衍生出一套黃金比例的計算方式，此後各家提出多種計算方式，在此統整出一些常見的說法。
　　整體來說，臉的標準長寬度是：臉長=眼睛寬度8，臉寬=眼睛寬度5，最為標準。
　　著名畫家達文西認為，人臉的比例可由四條平行線區隔出三塊區域，其四條分隔線為髮際線、眉峰、鼻翼及下巴，分為上臉部、中臉部及下臉部。
　　一般常見的說法是，此三塊區域的比例是相等的，但以長度來說，下臉部比中臉部稍長、中臉部又比上臉部稍長，才最好看。而額頭的最佳長度，從髮際線算到眉峰，約5至6公分為最佳。
眉目距離適中好傳情。
　　除了臉部長寬外，五官比例也是影響美貌的重點；其中，會說話的大眼睛最常受到注目。但光是雙眼皮、大眼睛還不夠，與眉毛間的距離，以及眼睛的弧度也是愛美者斤斤計較之處。眼睛的黃金比例為：
‧標準的眼睛長度=臉寬1/5。
‧兩眼間的最佳距離為一隻眼睛的長度。
‧眉毛的位置，女性約在眉弓骨上1公分，男性則位於眉弓骨上為最佳。
‧眉毛至上眼瞼的折襞約為1.6公分。
‧上眼瞼覆蓋虹膜約為2-3mm。
‧眉峰至瞳孔的距離約為2.5公分。
‧內眼角與外眼角的平行線差距女性約為4.1mm，男性約為2.1mm。
鼻子高挺突出有準則
　　鼻子是五官中唯一立體突出的器官，所以標準不只是長度寬度的限定，還包括了角度的美感。
‧鼻子從鼻根部至鼻頭的長度約為眉間至鼻翼的67％。
‧鼻頭的高度為鼻子長度的67％。
‧鼻根部的寬度與鼻翼的寬度等長。
‧鼻頭與人中之間的傾斜角度，女性約為105度至 108度，男性約為100度至103度。
‧以鼻根部與下巴下拉長成一垂直線，鼻子隆起的高度與其形成的最佳角度女性約為34度，男性約為36 度。
嘴巴　鼻寬1.5最完美
　　若從鼻尖處下拉一縱切面至下巴，嘴唇的位置應是剛好落在垂直線上，但以東方人來說，下顎突出的特色往往使嘴巴突出於垂直線外。而嘴唇的厚度，下唇厚度約為上唇厚度的1.5倍；嘴巴的寬度約在瞳孔內側的垂直線範圍內，或約為鼻根寬的1.5倍。
下巴　東方人常見內縮
　　下巴的最佳位置是從鼻子二分之一處下拉一縱切面至下巴處來評估。女性下巴位於垂直線後3mm、男性下巴位於垂直線上最為標準。但東方人常見下巴內縮，所以很少達到完美標準。
耳朵位置大小很重要
　　耳廓的最高處與眉峰同高，耳垂則與鼻翼同高，寬度則約為耳朵長度的55％，且耳廓與耳垂所連成的縱軸，其傾斜度與鼻樑的傾斜度平行，耳廓的邊緣至頭骨約為1至2公分。在人體軀幹與身高的比例上，肚臍是理想的黃金分割點。換言之，若此比值愈接近0.618，愈給與人一種美的感覺。很可惜，一般人的軀幹(由腳底至肚臍的長度)與身高比都低於此數值，大約只有 0.518至0.60左右(腳長的人會有較高的比值)。所以有很多人要穿高跟鞋。   

為了方便說明穿跟鞋所產生美的效應，設某女士的原本軀幹與身高比為0.60，即x：l =0.60。若其所穿的高跟鞋高度為d(量度單位必須與x 及 l 相同)，則新比值是(x+d) ： (l+d)=(0.60 l+d) ： ( l +d)。如果該位女士的身高為1.60米(約5呎3吋)，下表顥示出高跟鞋如何「改善」了腳長與身高的比值：

原本軀幹與身高的比值 身高 高跟鞋高度 穿了高跟鞋後的新比值
0.60 160 2.54(一吋) 0.606
0.60 160 5.08(二吋) 0.612
0.60 160 7.62(三吋) 0.618




    所以，女士們相信穿高跟鞋使她們更美是有數根據的。

四、審美觀：




　　賞石行為之美感認定當然可以參考此項美感原則，實際運用時，可將黃金比例採用近似值，亦即採 2：3，3：5，5：8，8：13，13：21等比值作為近似值即可。石頭的長寬比、高低比、大小比等若具有此比例關係時，看起來比較平穩而最具美感。
山形景觀石，若以黃金比例視之，山的高度若為3底若為5，此山比較平穩；或山的高度為3，山頂垂直往下到與水平面相交點向左﹝或向右﹞的距離為5，向右﹝或向左﹞的距離若8時﹝也有人說7即可﹞，此山不但平穩更具單側延伸之美；另山的後景與前景的比例若為3：5﹝也有人說4：6即可﹞也是被人認為最穩重而具有美感。

炎炎夏日，最環保的方法，是以紙扇搧走暑氣。在美觀設計上，可以考慮材料、圖案和形狀，如果從數學的觀點，我們可以黃金比例(0.618)來設計一把最富美感的扇子。

設計紙扇張開角度（x度），考慮從一圓形（半徑為r）分割出來的扇度形的面積（A1）與剩餘面積（A2）的比值，

如果比值是黃金比例(0.618)，便可以找出 x 。

若＝＝0.618，

則 x≒140度

你可以到市面上，看一看張開角是140度的紙扇是否最美。

樂曲的結構上也是，很多名人的曲子，例如：貝多芬和莫札特，他們的曲子中也有一些有著黃金分割的影子。巴哈音樂的準確性及音符的邏輯性無人能出其右，成為音樂領域中「黃金比例」的典範。在被喻為音樂上「舊約聖經」的《十二平均律鋼琴曲》中，巴哈以二十四個大小調寫成四十八組前奏曲與賦格，印證音樂調性自由轉調的可行性。音樂中的黃金比例
完全一度：完全八度 = 1 : 2
完全四度：完全五度 = 2 : 3
小三度：大六度 = 3 : 5
大三度：小六度 = 5 : 8
在泛音列中尚有一近似8：13之比為一大六度音程泛音列中，前五個音便隱含 1：2：3：5：8 的數字比關係

捌、結語

    黃金比例是一個數學的專有名詞，但現在它的地位是比以前高很多的，不但脫離數學，也向不同領域前進，甚至是視覺的最高評審，但是作者覺得只要自己覺得美就好，不一定要用黃金比例。

玖、心得

在這一次的獨立研究下，我覺得我對黃金比例的疑惑已經大部分的解決了，不過它的演變歷史悠久和脫離數學領域多元性的改變及對於黃金比例如此深入人類生活是令我非常驚訝的。在這段時間中我曾經想要研究中國的魯公尺和西方的黃金比例是否有關係，魯公尺是一種中國特有的尺它可以用來測量吉兇，古代工匠訂製陽宅建築及廚灶神桌都會依照魯班尺的尺寸，將樑的高度、房的面積(長寬)、門的尺寸等都定位在吉字上。我們研究了一個多月，由於建築物的測量需要取得授權，再加上現成的門窗尺寸大部分與魯公尺無關，經過審慎的思量，我覺得目前如果要對魯公尺和黃金比例做更深入的研究，恐怕力不從心，所以暫時放下有關魯公尺與黃金比例相關的研究。同時我也嘗試過許多的方向，也放棄了很多，而在這樣的過程中我學到很多，希望在這一次的獨立研究發表後，各位能對黃金比例有更多的了解。

river.

宇宙間最美麗的數字
分類：黃金比例
2008/06/22 18:55

宇宙間最美麗的數字
每個人都知道，圓週率 π=3.14159...
不過這個數字似乎太嚴肅了，並不好玩。
介紹一個更有趣的數字---1.618，又稱黃金比例φ（唸fai），是大般人較陌生的數目字。

前年看「達文西密碼」這本書時，對於裡面第一道謎題寫到的「宇宙間最美麗的數字1.618」以及費波納奇數列很有興趣。

裡面提到，黃金比例源於斐波納契數列，而這個比例在大自然裡無所不在，例如每個蜂窩中雌蜂數除以雄蜂數目之比例、鸚鵡螺的每個螺旋之比、向日葵小花的螺旋排列間每圈直徑之比例、昆蟲身體的分節比例...都有這個神聖比例和費波納奇數列的存在。

甚至，連人的身體裡都含著這個神奇比例...如身高除以肚臍高、肩長除以手肘長、臀高除以膝蓋高...都是這個相同的比例。

再來，連一些古建築如希臘帕特農神廟、古埃及金字塔裡都有這個比例的運用；甚至連米開朗基羅、達文西的等藝術家的作品都有神聖比例的應用；

還有還有音樂神童莫札特的奏鳴曲、貝多芬的第五號交響曲...都有利用到黃金比例的和諧之美。

只能說一句，螺絲，這簡直太神奇了。

後來在書局裡又找到一本書「黃金比例」來延伸閱讀，進一步了解，其實打從西元前三百年歐幾里德因為幾何學的研究而定義出這個比例後，黃金比例早已一直被無數的數學家、生物學家、天文學家、音樂、物理、藝術、建築、心理學等等領域專家追逐探究，在不同學門間引起過無數的討論與驚奇，激起的研究熱潮超過任何數字。

這個屬於無理數的比例數值之所以引起如此高度的研究興趣，除了因為它本身在數學領域早已引起驚奇連連的巧合發現之外(例如它自己加1會等於自己的平方；自己減1則會等於倒數值，它一長串的小數點後面的數字都沒改變喔....等等)，而且由這比例衍生出來的黃金矩形、五角星形還可以在幾何學上作出很精采的延伸變化和螺旋線外，更在於從週遭環境裡，人們常常會在不經意的地方巧遇它的出現，而且是以美麗的圖形比例出現，不管是花花草草的植物界、動物界、或是宇宙星體現象，很多都跟黃金比例1.618以及和它也有相關聯的費波納奇數列有關。

也因著這般驚奇的發現，15世紀便有人將此特殊比例值稱為「神的比例」，因為這比例所代表的神奇和和諧之美，就這麼獨一，彷彿是上帝神耀的展現。



有意思的是，在神的比例這部分，剛好看到了維特魯威人圖的說明，之前一直不曉得為什麼此圖要畫一個外圓和內方？

原來早在西元前1世紀的古羅馬建築師維特魯威便曾寫著：當人張開雙手雙腳時，以人的中心點肚臍眼當圓心劃出圓時，圓周剛好會碰到手和腳(即表示肚臍到手指的距離與到腳指的距離相等,perfect）；當手平伸像十字架時，雙手指距離剛好等於身高，故可以此劃成一正方形表示(完美的正方形啊，perfect)。文藝復興時期的達文西便根據這觀念畫出這張有名的人體比例圖，除了表達完美的人體比例只能是造物主巧妙安排的比例外，圓形表陰性，十字方形表陽性，此圖便是在陰陽調和的和諧下構成完美。
厲害。

所謂費波納奇數列(Fibonacci sequence)則是指1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144....
為比薩的費波納奇研究兔子生產問題時所發現的數列。(此費波納奇也是將阿拉伯數字1234...帶進義大利然後改變羅馬數字(如Ⅱ,Ⅵ,Ⅸ)的運算規則的人。)
而這個數列的規則是，末項是前兩項之和，所以第三項是前一二項之和，第四項便是第三項加第二項，第五項則是第四加第三項，依此類推，綿延不絶下去。

然後，神奇的事發生了，這數列也發生很多數學上的計算巧合，例如將此數列的兩兩項次相加減乘除平方開根號亂亂玩，就會有很神奇的結果出現；還有驚奇的是，將相鄰的兩項相除（後項除以前項），商數會越來越趨近1.618這個神聖比例φ。

是的，就是這個比例和這個數列，居然在大自然裡可以發現很多相關的神奇，例如，植物的葉序生長。

一般枝幹上的葉子生長，爲了得到最佳的陽光照耀、呼吸空間以及雨露均沾，一片片葉子的生長會沿著莖幹而成螺旋移動，分別以二分之一轉、三分之一轉、五分之二轉、八分之三轉等比例生長（意即順著螺旋生長的第一片葉子起算，轉了三圈的範圍裡共長出八片葉子，因此稱每片葉子便是八分之三轉），不同植物有不同比例，但都是循著費波納奇數列的數字，達文西發現了，天文學家克卜勒也發現了；而且這些分布的角度，在測量計算上也和黃金比例有關，在視覺感官也似乎多了一絲和諧的味道。
除此之外，鳳梨外皮的六角形鱗片、雛菊的花瓣數、玫瑰花瓣的分布位置、向日葵的小花排列方式和數目，也都遵循著費波納奇數列和黃金比例的安排。

但，真的是這樣嗎?



上個月我拍了幾張向日葵照片後，從中突然發現了一點驚喜，在上面這張照片裡，可以明顯地看到向日葵小花的排列形狀真的呈螺旋紋，有順時針和逆時針兩種螺旋，想起了「黃金比例」書中所寫，於是我也睜大眼睛努力算了算，嘿嘿，從逆時針方向（綠線）數來，共34排小花，從順時針方向(紅線)數來，共有55 排，34/55真的符合書中所述，遵循著費波納奇數列。我想，這也因為小花們以此螺旋形方式排列，可以讓每朵小花曬到最多太陽、沾到最多雨露、並擺放上最多小花數量吧（即留下最多的種子），這樣可以更有效益地共享空間，並且不會讓上下左右小花處在同一軸線上而彼此擋到，或許這便是能減少無謂的能量消耗，而達到最高生產力的方式，而這種方式就在藏在費波納奇數列和黃金比例裡。

而由此衍生的螺旋線也是一奇，鸚鵡螺的螺旋外殼可以一直延伸但形狀不變，這種自我相似性具有一種美感，這樣的螺旋也存在大自然裡，從向日葵、海螺、漩渦、颱風，甚至是螺旋星系都有這樣的形體，很巧。
甚至連游隼這種速度很快的猛禽，都以這種螺旋形的飛行方式來精準捕獵，可以達到最佳視角和節省飛行能量，很神奇。

而近代亦有人將黃金比例用於發展地磚形狀與排列的發展；研究碎形理論和晶體結構；研究股票市場的波動行為等，真是嘆為觀止。

費波納奇數列和黃金比例開啟了如此多的數學研究風潮，但是也引來相當多的穿鑿附會，依照「黃金比例」書中作者的細心研究（任職哈伯太空望遠鏡科學研究所），除了大自然界真有這麼多黃金比例的驚奇之外，一般所說的人為藝術層面所包含的黃金比例的例子大半是無確切根據的，包括達文西密碼書上寫的古建築、古典音樂、繪畫雕刻等，其實大都是沒有明確證據能證明有運用到黃金比例的。

換句話說，我覺得這人為藝術作品雖然讓人覺得舒服、美妙、和諧，但這應該是各作者們的美學素養所展現的藝術成就，非得和黃金比例有相關吧。

從這本書裡也發覺，原來古代歐洲是將音樂和天文、物理學都擺在數學這一門學科裡邊的，甚至很多藝術家也會研究數學，因為數學的本質可以幫助人們去理解很多的不解。而在自然界裡理解到的，原來有這麼多的驚奇巧合，難怪作者想問，上帝是一個數學家嗎?

不過就我們所知道的，自然界裡除了隱隱含著甚多的秩序，令人驚嘆之外，自然界裡也還有甚多讓人們不解的謎題與未現的領域，仍令人困惑。

我想起高中時，有一次上課剛好坐在窗邊座位發呆，我看到一排排螞蟻辛勤忙碌著，很守秩序循著一直線前進，我從牠們背後伸出一根手指頭，搓了幾隻螞蟻，擾亂了牠們的隊伍，他們根本措手不及，也渾然未知會有我的手指在背後出現。

同樣地，我們人的背後，有沒有這麼一隻看不見的手，什麼時候操控著什麼事呢?

只能說，人啊，怎能不崇敬呢?崇敬神所布設的巧妙，崇敬我們仍有所不知的無垠世界啊。