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river.

從數字認識神----拉瑞‧傑克森（Larry Jackson）

分類：聖經數字
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! \$ Q9 S3 S& ^3 M1 W* Y& ]# I2008/09/13 12:14
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從數字認識神----拉瑞‧傑克森（Larry Jackson）
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拉瑞‧傑克森的這篇教導《從數字認識神》，真是精彩萬分，令人回味無窮。無疑，許多信徒將因此對神有更深的認識，更多體會祂的能力威嚴與全知全能。我們將與拉瑞一起慶祝這個日子（8-8-08）。
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“2008年8月8日”
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/ \$ K. g8 g2 ?/ x) A9 s在人的一生中，有時神會先要求人順服，然後才將祂的計畫啟示於人，對此，我深有體會。在2008年1月1日淩晨1:30，我剛剛在教會中經歷了一場令人振奮的新年慶祝會，天父就指教我要在“2008年8月8日”舉辦另一場慶祝會。

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為什麼要在2008 年8月8日？
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那時，我從神聽到的就那麼多，當時我周圍的弟兄姊妹都忙著擁抱，互賀新年的來到。這個時間場合都不適宜分享這個資訊，因此我將它藏在自己心中，我知道在這一年裏還有更合適的時間分享它。
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" Z8 i$ Z) y4 y8 o5 m- N" G我知道數字8的特殊意義（8代表新的開始），另外剛剛步入2008年，有預言說我們的教會將要除去舊的，步入新的開始。
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& ~7 P3 s8 n$ X3 `教會一般將數字8的意義，與主並新約所喻表的嶄新開始，聯繫在一起。例如，耶穌是在一周的第 8天復活的。

2 n8 X, H2 u! F$ ~* _  b3 ?* ^我從未料到這個簡單的字將為我的生命帶來怎樣的改變，這不可思議的變化除了主，無人能夠成就。
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新年晚會後一周，在我去開會的路上，天父再次對我重聲了這個指示。這一次，我感到了這個指示的重要性，而且迫切需要現在就開始為之準備。這個感動是如此強烈，我開始告訴身邊的人，我要在2008年8月8日舉辦一場慶祝會。

# k6 d# p$ |% k& A" f0 G那時，我完全不知道要慶祝什麼，為什麼這個日子對主那麼重要！
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/ o" b! h( r# V4 R萊昂納多‧斐波納契（Leonardo Fibonacci）

幾周後，在研究一些經濟資料時，我看到了萊昂納多‧斐波納契這個名字。

萊昂納多‧斐波納契是中世紀一位極有天賦的數學家。他將正統的數學知識與阿拉伯和印度的數學知識綜合彙編，補充在一起。他也因代數和數位理論方面的重要貢獻而聞名。

儘管我是學電腦電子學出身，擅長與數學相關的課程，卻從未聽聞他。自然，我對他的好奇心大增。然而，我認為這些知識與幾周前天父對我的指示，並無關係。我再一次錯了！

那時，我絲毫沒有意識到，神正在引領我走上一條嶄新的道路，以我未曾想過的方式認識祂。

斐波納契的發現，點燃了我心中的火花，使我開始看見神蘊藏在創造中的奇妙設計：無數的數學公式和次序。在食物中、在植物的生命中、在人體構造中，甚至是人臉中，在數不勝數的創造中，都包含了數學公式與次序。我們看見、聽見、摸到、聞到、品嚐到的每一樣東西，都有與之相關的數學公式。隨著我對斐波納契作品的進一步研究，這個觀念逐漸明朗，我認為，經濟如此，自然亦如此。

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( M' W7 i# ?$ E/ j邁克‧布郎博士（Dr. Michael Brown），一位希伯來學者

開始這項研究數周後，我被引薦給邁克‧布郎博士，一位知名的希伯來學者。他也是【火焰事工學校】的負責人。目前，他正住在北卡。

# |. d2 U+ w* ?* I4 ~) s5 {7 n/ C我與布郎博士談到了這個令人興奮的發現，正在此時，一個念頭出現在我的心中：「從希伯來文化的角度看，神的話語中是否也存在數學公式？」
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布郎博士解釋了希伯來文字母與英文字母的區別。與英文字母不同，每一個希伯來字母也代表了一個數值。布郎博士指出，他曾讀過許多希伯來書籍，在每一頁的底部是以字母而不是數位表示頁數——因為字母就是數位。
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稍後，我發現有一個詞 Gematria（希伯來字母代碼）——表示希伯來和希臘字母的數值。我在一次外出開會時，遇見了布郎博士。他向我介紹了伊凡‧潘甯博士（Dr. Ivan Panin）。早在十九世紀晚期，潘甯博士就發現了聖經中蘊涵的數學公式，因著這個發現，他將自己的生命獻給主。潘甯曾是一位堅定的不可知論者，他是如此執著，以致後來當他放棄不可知論，轉而接受基督教信仰時，他的轉化成了報紙的頭條新聞！

, u5 i0 @4 m2 s* j與布郎博士的談話讓我感到加倍激動，我迫不及待地回到旅館裏，又投入了研究中。但我仍然沒有看出，這與天父在新年之際對我的指示有任何關聯。這些知識可以加深我對聖經的理解，它們只能用於教導和講道中，不是嗎？我又錯了！神正在引導我，而我幾乎毫無察覺。


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  d$ n1 I7 M7 @& w6 B開始研究
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% f# U. u1 o- c+ ]2 G9 C+ g" H: J% s; D我打開電腦，開始了對伊凡‧潘甯博士的研究，隨之而來的發現令我永生難忘！在電腦還不存在的時代裏，潘甯博士花了四年時間學習希伯來文與希臘文，由此他發現了聖經的數字次序。潘寧表示，如果我們試圖證明聖經是出自人手的作品，那麼它的可能性比十億分之一還要小。潘甯曾說：「只要我在此提出的資料是真實的，只要人類的邏輯還起作用，我們就只能得出如下結論：『人永遠不可能做到這點。』」

他向讀者提出挑戰：寫出一段話，只要與聖經中的家譜裏所發現的數字條件一致即可。他也對報紙的讀者提出挑戰，歡迎他們對他的發現提出辯駁與質疑。但是無人敢迎戰！
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* R/ n/ e! Z+ `$ I* A" ^在旅館的房間裏，我已興奮得像一個小學生一樣！然後就在那時，這不可思議的發現突然臨到了——就在我閱讀潘甯博士對數字8的發現時。

+ v) v: M3 u" Y$ k# D# R. x8 s他發現耶穌，這個名字所代表的數字是：888。

簡直難以置信！天父指示我，在代表主名的日期，舉辦慶祝會。雖然，旅途勞累，明天又有好幾場講道，但是我無法離開電腦直到淩晨2:30，之後仍興奮得難以入睡。
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4 @% p6 @' @& v2 R數學大師——代表主名的數字
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雖然我們很少（如果有的話）從這個角度去認識他，然而宇宙的創造者也是一位偉大的數學大師。數千年來，神一直使用數學語言表達自己，然而我們從未聽見，因為沒有人意識到那是祂的聲音。

現在，我開始明白為何神指示我要在2008年8 月8日舉辦慶祝會。
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在希臘文裏，耶穌一詞所表示的數值是888，而且大多數主的名字與稱謂都是8的倍數。主指示我們要慶祝「表示主名的數字。」 2008年8月8日，不僅代表新的開始，這個數字，（在我們的日曆上已有1000年沒有出現），還表示主自己。

聖經中的每一個字、詞、短語、句子、段落和章節，都不僅僅是語言，它們也是數值。我的結論是：聖經不僅是一部文學書籍 ——聖經也是一本數學書籍。
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在互聯網上有許多關於希伯來字母代碼的資訊，我深受吸引。有許多個深夜，妻子都要求我上床休息，明天再繼續研究。現在，通過對聖經和它所蘊涵的許多數位意義的研究，我對神有了新的認識。

在聖經中數值為888的詞語和短語有：耶穌、彌賽亞、我是主；我不改變；主已被高舉直到永遠；我是生命；佩帶烏陵和土明的祭司；我們神的救恩；至高者的憐憫；我的良人；諸天述說神的榮耀；他們必得安慰；第三日。另外，猶大族的人，但以理、哈拿尼雅、米沙利、亞撒利雅的名字加起來等於888。啟示錄（關於耶穌的啟示），在希臘文裏共有888個字。



; k0 m; B/ [9 U! U數學語言
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在研究中，我發現了一些希伯來字母代碼和聖經數學專家，高邦妮（Bonnie Gaunt）即是其中一位。高邦妮已發表了好幾本著作，透過希伯來字母代碼探索聖經中隱藏的偉大啟示。耶穌是我們新的開始，也是一個全新、偉大國度的君王，我們可以進入這個國度，開始一個新的生命。

大多數教會都明白，主耶穌是我們的生命的新開始，也是我們的一切。希伯來字母代碼所表示的數字，更進一步證實了這一點。

例如：下面表示了希臘文中，耶穌名字的數值：

耶穌（希臘文為Iesous）加起來等於 888：
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Iesous =
, q- t5 ?% d' A* x% \1 VI (10) + e (8) + s (200) + o (70) + u (400) + s (200) = 888
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- g7 L7 o: S( w- D+ R新約裏大部分表示耶穌的名稱都是8的倍數。見下：

主= 800 = 8 x 100

耶穌= 888 = 8 x 111

基督= 1,480 = 8 x 185
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基督救主= 1,408 = 8 x 176

彌賽亞= 656 = 8 X 82

主 (800) + 耶穌 (888) + 基督 (1,480) ＝3,168。

這些數字可以使我們的信心增長，從事實看見耶穌已為我們預備新的生命，我們無須再繼續活在舊人裏。「若有人在基督裏，他就是新造的人，舊事已過，都變成新的了。」（林後5:17）

6 @7 h3 u  J6 j' l' o我們肯定明白主耶穌基督這個稱呼對教會有多重要，在整個宇宙裏，它同樣重要。請思想一下，如果神希望宇宙中的每個人，都明白祂就是神；如果祂要用一種所有人都能領會的語言，祂會用什麼語言？數學語言是一種嚴肅的語言，它不會撒謊。假如有一個數字改變了，整個意思也就改變了！
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經文裏的數學

; o( @. U* ~. l/ x「仰望為我們信心創始成終的耶穌。祂因那擺在前面的喜樂，就輕看羞辱，忍受了十字架的苦難，便坐在神寶座的右邊。」（來12:2）

所有的作家、藝術家都在作品中留下自己的簽名。從這個角度講，主也不例外。我們所生存的宇宙留有主的簽名——就是數值3168。

' P1 `! L9 d" L5 b例如，小城伯利恒位於北緯31.68度，我們的生存空間，從地表下10英里（熔岩層之上），到地表上50英里（大氣層邊緣），這兩個距離之和是60英里。把60英里換算成英尺，就是316,800英尺（5,280 英尺 x 60 = 316,800)。


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% f% h8 S' Q* F/ ^: j# a' u繼續關注3168!
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9 U+ n- P# h& S. d; p7 d「我們生活、動作、存留，都在乎祂。就如你們作詩的，有人說：『我們也是他所生的。』」（徒17:28）
, z/ R0 e5 p$ e3 I* j  _) s
/ \9 }, G& W) ~" U: A聖經指明我們生活、動作、存留都在乎耶穌，而數字證明了這一點。
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) e  _3 k! n4 A, B) G( Y% I如果在地球周圍放一個盒子，剛好把地球裝入其中（盒子的每一邊都接觸到地球），這個盒子的周長等於31,680英里。

1 g  H  E  U- k4 }將月球放在地球北極之上，畫一個圍繞地球與月球的大圓圈，這個圓圈的周長等於31,680英里。
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; d  n+ `. Q% d7 x& Y31,680＝神與人的中保，天國的福音。

「祂必看見自己勞苦的功效，便心滿意足。有許多人因認識我的義僕得稱為義，並且祂要擔當他們的罪孽。」（賽53:11）

「你們將誰比我，叫他與我相等呢？你們向上舉目，看誰創造這萬象，按數目領出，祂一一稱其名，因祂的權能，又因祂的大能大力，連一個都不缺。」 （賽40:25-26）

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3 a) n$ [3 M4 ^
* o) j2 d3 V& Z) v6 z4 E如何慶祝？

發現神在數字裏的簽名，更證實了神的心願，祂希望在2008年8月8日有慶祝會。但有一個小細節，祂沒有告訴我：哪種形式的慶祝？如何慶祝代表祂名的數字？
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( d( c! w+ A5 H  I4 f有一天早晨，我醒來，我知道那是父在叫我。祂終於指示了我，現在，我知道該如何做了。

8 |3 g1 n" h2 u) [( j4 p) h我們將要有一個12小時的慶祝，人們將「走遍摩西的會幕」。會幕的每一部分都喻表主。第一個數字的立方是數字 8（2 x 2 x 2 = 8）。

整個會幕的體積是按立方計算。主指示我要在每個部分停留 4 個小時，從早上8點開始，到晚上8點結束。


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# _0 t. X5 c: P$ N. q9 p( C) r數字12也很重要

2 B3 m1 b7 J2 y, w整本聖經中，神都使用數字12，因為數字12也代表主。
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你可以記起，以色列的12支派，12根柱子，12塊石頭，12個銀盤子，12個銀碗，12個金盂，12個探子，12使徒，12根基，12道門等等。
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亞倫大祭司佩帶的胸牌上有12個寶石，每個寶石代表一個支派。記住，每個名字也有一個數值。

最後三個支派便雅憫、瑪拿西和以法蓮的數字和等於888。

在胸牌上的最後一列寶石裏，可以看見十字架，即雅各交叉著雙手為瑪拿西和以法蓮祝福。便雅憫是約瑟唯一的同母兄弟，而約瑟得了雙倍的福分。現在這個世代生活在十字架的祝福之下，並將要行走在主的雙倍恩膏之中。

以下是亞倫的胸牌上所佩帶的以色列的12個支派。每一個支派都有一個希伯來字母所表示的數值。從中也有與耶穌有關的數值，父神在他們出生之前就已知道他們的名字。

「我未將你造在腹中，我已曉得你；你未出母胎，我已分別你為聖；我已派你作列國的先知。」（耶1:5）
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$ c& A4 U& t+ d8 o7 o; A5 F8 ^猶大(30) 西緬 (466) 流便 (259)
迦得 (7) 拿弗他利 (570) 但 (54)
. }: k1 P$ e& y" N% H9 ?西布倫 (95) 以薩迦 (830) 亞設 (501)

0 n. L( L- b/ K3 ~3 ?瑪拿西 (331)
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' x. r: V' c, U& n& i以法蓮 (395)
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3 S8 c! _( f+ [* ~4 K8 S便雅憫 (162) = 這最後三支等於"888"
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胸牌上的每一支都很重要，但是最後一排是我們在此要強調的重點。記住，便雅憫在出生時，他母親為他取的名字是便俄尼，意思是「悲傷之子」。便俄尼的數值是119，這樣的話最後一排的總和就為845。

. a1 J; ]* N0 {0 {9 c7 l$ g) n然而，雅各把他的名字該為「便雅憫」，數值也就升為162（如上所示），最後一排的總和也增加到888，即表示耶穌的數值。
" @3 o2 |' V- O) e# l# v' E+ m9 B
, |0 J4 t5 W2 z; W父親永遠不會希望兒子的名字是“悲傷之子”，而情願叫他“右手之子”。
. ?0 i" U: l' X" L0 K
1 Y7 K, F8 y* R& a. |& L* g在晨星教會的特會上發言時，我與雷克‧喬納、威靈頓主教、鮑伯‧鐘斯夫婦分享了這個資訊。鐘斯夫人與我分享了她幾天前做的一個關於2008年8月8日的異夢。在夢中，神告訴她，在那一天，她將會發現約瑟公司。主還告訴她，她將要花上40天時間發現他們（從2008年6月29日開始）。我知道她在尋找要出席這個慶祝的人，40天時間指向2008年 8月8日，這也是一段潔淨與預備的時間。
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靠主名蒙拯救與保守

（註：記住只有在事情成就後，我們往往才能看出它的完整含義。因此，我們不知道以下所指——饑荒，是實際的饑荒，屬靈的饑荒，還是兩者兼而有之！當然，有很多人無法參加這個慶祝，但無論是日曆上的哪一天，你都可以尋求主，將你的生命與神對那一天的旨意調整一致！）
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我相信天父告訴我，有一場饑荒要臨到我們所住之地，而這個慶祝可以預備祂的子民面對它。他們將因此處於受保守的位置，即在主的名裏！
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$ T0 U: m8 ]! L$ ]我們將要面對一個變化無常的季節，教會必須認識耶穌並主名的大能。我們必須帶著耶穌的能力進入街市商場。我們即將進入人類未曾見過的收割季節，它是最重要的收割之一。
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在復活以後，耶穌指示門徒把網撒在船的另一邊（他們已經回去打魚，而且一整晚什麼也沒有打著）。當門徒按照主所說的去做，立刻網裏滿了魚。
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" U9 _4 k; Z: U* x聖經告訴我們網裏有153條魚。你是否曾問過，為什麼是153條魚？

153＝“逾越節”
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“祂是信實的”

“神的兒子”
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“祂將使人承受”

7 E/ G- A; c7 z, S$ n  x以及“我是主，你的神”
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主是否在告訴我們，神的兒子將在末世最大的收割中顯現出來？我們現在所處的季節，是教會歷史上最重要的季節之一，而大多數時候，我們的經歷只侷限於教會服事。我相信現在是神的國顯現在街市商場中的日子，在那些地方將收穫大量的莊稼——而不僅僅是在教會建築的四面牆內。
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世界奧運會將在2008年 8月8日舉行

從8月8日那天開始，世界的目光將關注在奧運會上，到時世界將目睹它的榮耀與激情，而我們也要慶祝王的榮耀與主名的能力！這個預言性的日子，將會來到，隨後又消失在歲月的河流裏，但數字888是永恆的，因為耶穌是永恆的。
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9 ~6 h2 E3 L. q" {「我們因信祂的名，祂的名便叫你們所看見、所認識的這人健壯了。正是祂所賜的信心，叫這人在你們眾人面前全然好了。」（徒3:16）

# {% U) {/ Y0 M, j, X我邀請你加入這個完全注目仰望耶穌的慶祝。主也指示我不要在這個慶祝上出售任何東西，因為沒有任何東西可以與祂相比。我們將在代表主名的那一天相聚一堂——2008年8月8日。如果你不能加入我們，你可以在這一天自己慶祝，進入888，這喻表主名的數字！

[ 本帖最后由 river. 于 2010-10-14 21:26 编辑 ]

kkkk66

J11

真棒

楼主

zgcmabo

功夫，

length

太长了

happy19683

水王

river.

river.

碰巧咯 呵

本来快要关电脑了 结果碰到这些文章 哈

river.

river.

即使不看也得先收集起来  哈

river.

river.

圣经数字与《达芬奇密码》--《圣经中隐藏的数字结构》第九章免费如果您对这个题目有兴趣，特别是对我们所翻译的<a href="http://www.theologospublications.com/chn_gb" target="_blank" title="点击开启新窗口">《圣经中隐藏的数字结构》</a>一书有兴趣，请在此讨论。
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1 s3 w& \* {$ F7 d9 x0 u  N. S                                                                圣经数字与《达芬奇密码》--《圣经中隐藏的数字结构》第九章免费                        by TLP_GB » Sun May 21, 2006 9:20 am
. [; e7 h: U+ M) K, n* V                                                我们出版的《圣经中隐藏的数字结构》第九章因为翻译版权的缘故原本同上册只能付费下载，但最近因《达芬奇密码》一书及电影风靡全球，用小说和电影的方式诋毁圣经最核心的真理，我们决定将第九章单独制作，免费叫世人阅读。
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8 j: H8 j0 g9 T4 T- ]6 s《圣经中隐藏的数字结构》第九章（点击这里看本书全部目录）含有原作者对达芬奇及其名画（如《最后的晚餐》）的评论，特别是其中关于“法埃数值”（黄金分割率）的分析，让我们看到以达芬奇为代表的艺术家那“人本主义”的本质。因为他们所持守的“人本主义”，他们在创作中不知不觉地成为撒旦迷惑人的工具。
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说到人本主义，本书中有下列精彩的描述：
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第九章的题目是“撒旦的符号”--特别对撒旦的第三个数字（法埃=1.618...）同撒旦教的各种手势和标记的关系作了透彻的阐释：
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4 ^) B% n/ S" A: @http://lifechat.net/ebook/tptpJianti_chapter9.pdf （请用右键点击下载）

1 D% }5 D0 I7 Y4 g我们相信，当您看完本章内容，必会对《达芬奇密码》一书的真正背景一目了然。愿神救我们脱离撒旦的各样网罗！

river.

空間-靈界與物質界
分類：真理拾穗
( Y) _# \' I. b: @3 c. G$ p2007/06/13 09:47
空間-靈界與物質界
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補充篇 [時間與空間的限制]的概述
% e. \; u' t3 d) c! e有些話不能用言語一一概述.只能就其精要概述.

這空間中有三種天.

[第一層天]:指地球至大氣層的範圍.指地上活物生存的空間
8 a2 Z5 ~/ k& u1 O* n# z- p  ~+ I[第二層天]:指地球的大氣層至外太空-宇宙的極處.指天上之物.活動的空間.
. t: {# L0 r  p# P* V9 A2 v' Y[第三層天]:指靈界活動的空間.在[北極星]那裡.類似有[蟲洞]的性質.
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[第一層天]:指地上活物生存的空間

& O3 F9 G  n) P) _- X: m+ r地上活物包括人類及其他活物活動的空間.
這空間中有空氣.


空氣是什麼？ 空氣是看不見、摸不到，但到處都會存在的物質，
$ Q. b6 x# i$ x. g& Q  j% w/ R1 i空氣是我們賴以生存的重要物質，也是動、植物能生存的要素。
9 T! z+ F3 j3 C! z事實上，空氣是有重量的，空氣的重量造成了大氣壓力。
/ m9 E1 r, o5 ~* z+ G# x5 G
空氣有其重量.看不見的物質並非沒有重量.
空氣密度為何？ 空氣大部分80%是氮氣 .一莫耳氮氣有28克 約22.4升 .
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[第二層天]:指地球的大氣層至外太空-宇宙的極處.指天上之物.活動的空間.


' ]) w% B1 k& P0 }創造者-創造了許多天上之物.指的是天使.

; M) Z  v4 ?: b天使中有一位天使長因著驕傲背叛成了魔鬼.
5 Y+ q/ W+ H% @7 c. X7 X1 m有三分之一的天使跟著魔鬼一起背叛成了邪靈.
  i2 m) w. c' W# ?# n- S第二層天就成了邪靈活動的空間


1 G5 J% \* o5 E; \  v$ k& @# a& M2 z4 ~-------------------------------------------------------------------
5 c- s- M  G8 X/ Y% z[第三層天]:指靈界活動的空間.在[北極星]那裡.類似有[蟲洞].
; Q8 G( f5 q, z0 H8 o& i% M( Z
9 _, f9 k: \9 `: \2 o* _創造者居住的地方.及天使活動的空間.
0 Y6 E) m9 O: A( u5 c# q8 X* k; x創造者有從何而來.祂說祂是自有永有者.

1 T9 Q4 c' p2 U8 y2 b- s---------------------------------------

在地球中心.就是在海的深處.就是所謂的陰間.
# Z5 V0 _6 d0 D7 C陰間有兩個地方.一個是樂園.一個是受苦的地方.
人死了[信主的人稱睡了].靈魂都到這兩個地方的其中之一.

; z( P$ a2 S1 e  V7 ^, r8 N6 B人有三個部份就是靈、魂、體.

/ [2 Q* l+ w0 _- i' e0 z& `
在靈界稱呼:

創造者=真神=神的靈= 真光
天使=真神的使者

魔鬼=假神=背叛的天使長
邪靈=背叛的天使
污鬼=背叛的古代活物.居住在[深淵]，就是[海的深處].
* v* Z  {! `7 ]( |  ]7 K
! K6 J, F7 x: [7 x---------------------------------
看不見的物質並非沒有重量.

人的靈魂也有重量.當人死去時.靈魂離開身體.在醫學上有實驗證據.身體鄭有減輕一些.

靈界的活物也有其重量及形體.

有的人有看見天使或是污鬼的形狀.

5 E, r8 m% c9 |( K當污鬼與人相撞交錯時.
7 k! D& C4 u) n4 m6 `有的人有感覺陰涼.
有的人沒有感覺.
0 P3 u, W, u1 G: r2 Q6 ]
: J9 z" S4 B% a. l) O6 [9 Q2 r/ ?一般人正常情況下.是不會看見污鬼或碰到牠.
! t2 v4 t* p( Q+ q) _牠們向空氣的氣一樣.存在某一環境中.

舉例:就像磁鐵一樣.有南極與北極的磁場.
. M* o2 Y+ y" }! ^+ s當同是帶有南極的兩個磁鐵.要互相靠近時.
如果磁力越強.就越不能靠近.

人如果有正氣. 養天地浩然之氣.
污鬼是邪氣.自然無法靠近有正氣的人體.
) k+ b1 s) E/ m0 _$ q+ Q* ~" a
" V/ X' O+ D5 G. u7 ^8 n- h6 |8 D但當人的自由意志選擇願意讓邪靈附體.
那邪靈就有機會侵入進到人的裡面.就是進到人的心思.人腦部某個地方.
! n4 S5 Z& H6 q+ a2 H3 M就成為邪靈的住處.人的重量也會增加.

, t3 u" [* i$ c1 ]4 T一旦邪靈離開那人時.
+ @+ X0 _& M0 N% }) V那人就會有如釋重負的感覺.
; Z0 B9 ~* f4 m* T) e' C* @
- x- a9 t1 k- M7 S( N6 r; K  G' G當人碰到邪靈時.有的人會感覺陰涼.就是污鬼存在水蒸氣中.
& b9 _+ B3 V, G+ K當人在湖潭中.遇到有水鬼在拉人體.就是污鬼住在汙水中.

5 B/ S: e2 k# n+ Z6 D5 ?7 _' r------------------------------------------
: f* h4 {* z8 o. X7 g1 T) b, L; a
光有兩種特性.就是波與粒子

創造者是真光.祂如何傳輸進到人裡面的靈.如何作用.
6 b$ x3 R: Z# q, D( o) _! a就因祂有波與粒子的特性.才能進到人裡面與人的靈是一.

! a& Z  {  Z% b; V8 Y9 s0 \$ D
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愛因斯坦的質能觀
4 C+ p6 ]. ]$ x0 Q
+ p; y4 D6 a! T; n6 t* W# g  P! a光的速度恆定。特別相對論推論：質量和能量相關，質量也是能量的一種型式，
質量和能量可以依 E=mc2 公式轉換。依這個公式：
微小的質量一旦消滅，可以產生極為巨大的能量；
一克的物質消滅，所產生的能量可以讓一顆100瓦的燈泡點亮三萬年。


& u; n: v! ^! w( o" q( E2 Z波=粒子=電磁場=能量
! L/ o7 f  f* j
所以質量和能量可以互相轉換.
當統一論出來.就更能了解它的作用
  {' m0 H. t  D

-----------------------------------
出三14 神對摩西說：『我是自有永有的』；
又說：『你要對以色列人這樣說：「那自有的打發我到你們這裡來。」』
" V. m5 K; \) @' `" t  ~+ O
% J2 K9 j, v; ~6 h林前十五40 有天上的[形體]，也有地上的形體；但天上形體的榮耀是一樣，地上形體的榮耀又是一樣。
# z! B6 o5 j- P彼前一 12 他們得了啟示，知道他們供應這些事，不是為自己，乃是為你們；
- D: R6 j; _* s6 S6 q% a那些靠著從天上差來的聖靈，傳福音給你們的人，現在將這些事報給你們；
3 j) o1 Y( [8 n% P& f+ [5 h! X& P. K7 S[天使]也渴望詳細察看這些事。
啟十6 指著那創造天和[天上之物]、地和地上之物、海和海中之物，
! F. ?/ O& C: n6 Q8 ?4 h! ~直活到永永遠遠的，起誓說，不再耽延了。
! M1 v! E7 y) y8 Z* Y: w6 \
林後十二2 我認得一個在基督裡的人，十四年前，這樣的一位被提，直到[第三層天]裡，
（或在身內，我不曉得，或在身外，我也不曉得，只有神曉得。）
8 X$ V: e* q/ m- A, J- `: ]# D
路十一24 [污靈]從人裡面出來，在無水之地蕩來蕩去，尋找安歇之處，卻尋不著，
便說，我要回到我所出來我的[屋裡]去。
路八31 [鬼]就央求耶穌，不要吩咐牠們到無底坑裡去。
路十六26 不但這樣，在我們與你們之間還有[深淵]隔定，
! ?$ l' K5 p6 w以致人想要從這邊過到你們那邊是不能的，從那邊越過來到我們這邊也是不能的。
  L$ T1 k3 B9 e" C: ^拿二3 你將我投下[深淵]，就是[海的深處]，大水環繞我；你的波浪洪濤，都漫過我身。
8 K  l- p# e4 f8 V0 f路十六23 他在[陰間]受痛苦，舉目遠遠地望見亞伯拉罕，又望見拉撒路在他懷裡，
結三一15 主耶和華如此說：『它下[陰間]的那日，我便使人悲哀。
我為它遮蓋深淵，使江河凝結，大水停流；
2 C# w! I6 {4 J我也使黎巴嫩為它悽慘，田野的諸樹都因它發昏。
路二三43 耶穌對他說，我實在告訴你，今日你要同我在樂園裡了。
7 W9 Z' k- z3 w9 f3 P4 |林後十二4 他被提進樂園裡，聽見不能言傳的話語，是人不可說的。
7 Y, b: h8 k/ v! U7 J& ~( p; e太十二40 因為約拿怎樣三日三夜在大魚腹中，人子也必照樣三日三夜在地心裡。
- G3 a, W; @3 p帖前五23 且願和平的神，親自全然聖別你們，又願你們的靈、與魂、與身子得蒙保守，
  ?$ N  a: Z& p" O+ R- \0 e在我們主耶穌基督來臨的時候，得以完全，無可指摘。
: ]4 @/ I. g' L, a( o/ h( v約一9 那光是真光，來到世上，要照亮每一個人。
林前六17 但與主聯合的，便是與主成為一靈。

river.

追求真理必須付出代價
. S& N) F  x" ~  q2 @! K2 p+ H分類：真理拾穗
2007/06/13 09:51
追求真理必須付出代價:

% c- Q" D  `$ g  \  j8 i7 j- A9 @
% w1 e3 X5 U, `( ^' z" B這個代價就是心思的轉變.
一個人固有的思考模式.
: J9 h# l4 n* C- H固有的行為反應模式.
很自然的在生活中流露出來.
" }5 V6 L: U: M要改變一個生活行慣的模式.
就要先改變一個人的心.
要先改變一個人的心.
就先改變其固有的思考模式.


主耶穌說.我就是真理.主的話就是真理。
7 ^& E& O' w* q  d8 X# @/ n主是世界的光.喜愛真理的人.必來就光
追求真理的人.必定有主的指引來認識創造萬有的主.
8 e  |4 o9 z4 x8 a+ ^" |, B聽了真理的話.在主裡面信了.就在主裡面受了所應許的聖靈為印記.

神創造萬有天地.有祂的旨意與計劃.
這一切是為了生活在世界上.追求真理信仰的人.

而真理信仰人的靈是為著神的旨意與計劃.
- k" q+ i/ K; d一個人最寶貝的就是認識我們有一個靈的器官.
而這個靈的器官.就是為著接觸與接受是靈的神.
  o3 ]' e0 z8 [
接受生命的靈進到我們的靈裡.就會有實質的改變.

& Y# N1 x0 F5 m/ j: I/ K9 C有一個新心.有一個新靈.個性會改變.有向上提升的力量.
$ t! \& p+ k: }7 w: u想法.看法.人生觀.人生目標會不一樣.
+ _  P/ Y" w0 S8 z$ M+ _會喜愛追求.公義、和平、並聖靈中的喜樂.

' c6 E% s: @6 `$ B因為有了主的靈.才能有力量改變.
3 ?9 ^) x4 q' k0 i, }6 T與各位分享神的愛.要愛我們這個人.
要感動我們這個人.

! l# g4 @9 C/ C/ u# S人身上最大的特別.就是有愛與自由意志.
有愛就可以.去愛神.去愛自己.去愛人.
有自由意志就可以清楚選擇我們所要與所不要的.
5 f9 K5 E* ~- Q

- f3 ?5 z+ E/ Z8 b. \2 b0 c----------------------------------------------------------------
約三21 但行真理的必來就光，要顯明他的行為是在神裡面行的。
約八32 你們必認識真理，真理必叫你們得以自由。
約十七 17 求你用真理聖別他們，你的話就是真理。
+ F. m/ p+ U  D約十八37 凡屬真理的人，就聽主的聲音。
弗一13 你們既聽了真理的話，就是那叫你們得救的福音，也在祂裡面信了，
就在祂裡面受了所應許的聖靈為印記；
. g5 c$ l, F. Q帖後二13 主所愛的弟兄們，我們應當常為你們感謝神，因為祂從起初揀選了你們，
叫你們藉著那靈的聖別，並你們對真理的信，可以得救。
提前二4 祂願意萬人得救，並且完全認識真理；

! O4 M. i  }  c" S約八12 於是耶穌又對眾人講論說，我是世界的光，跟從我的，就絕不在黑暗裡行，必要得著生命的光。
約十四6 耶穌說，我就是道路、實際、生命；若不藉著我，沒有人能到父那裡去。
9 h+ u3 i1 w! A  S
亞四6 他回答我說，這是耶和華給所羅巴伯的話，說，
6 `& c8 X2 U3 Z, R, B萬軍之耶和華說，不是倚靠權勢，不是倚靠能力，乃是倚靠我的靈。
& \+ A/ s) ^- k1 m羅十二2 不要模倣這世代，反要藉著心思的更新而變化，
( k. Q% u2 j/ J$ |3 }/ z叫你們驗證何為神那美好、可喜悅、並純全的旨意。

river.

時間與空間的限制
分類：真理拾穗
2007/06/13 09:49
+ `; @3 N! ?, \2 k5 @8 ^: P% q時間與空間的限制
# B! s6 h! D0 |  R( o- b$ `7 }
對時間的限制:
* D1 ]( M4 p8 y
4 {1 o5 R/ r5 y- H: f% Q/ F1 H- Y時間對目前人類來說是屬單一性.有過去.現在.未來的分別.
對人類生命來說:人人都有一死.這是對人們生存時間所受到最大的限制.
$ I  R" O- M4 q5 i, ?& K6 d我們一生的年日是七十歲，若是強壯可到八十歲；
2 q, E4 d& @4 B7 M  l. o人們常說長命百歲.表示活到100歲.代表很長壽了.
! Y4 F) I/ H! ]1 K7 ?* D5 b
對空間的限制:

我們是被限制地球生活的.人的一生都是在地球生活的.
要從地球到月球.或到火星.是花了許多經費.人才與物力.
2 T( W# Y2 W4 o才有辦法移民到外太空的.這世代(2020年前)恐怕還無法做到.

" b3 C+ q+ k, d那我們在時間與空間的限制中.要做什麼呢?聖經說:要叫他們尋求神.
( p1 b) a( i' n- C; H: `* M' m- m

2004年發生了許多重大事件.如果有警覺心或持續觀察的人.就覺得整個局勢照這樣發展了.
時間的限制.只要時間到了.就會有某些事.足以影響人們日常生活的大事發生.
7 H4 N7 l  S. W. u# h% x: ^* L; M
今年從1月至8月.有幾件重大事件

, A% k5 ~/ A4 [' T& v% v$ n5 N: ~1月: 登陸火星.
; W& e$ m; r$ s- Q: F( \: z* V[健保ic卡實施]:
未來會直接在人身上做印記(666).全民辨識身份的事與交易買賣的事.
3月:台灣公投選舉.中共反對.引起台海危機序曲.
2 z( [& b1 H( L# N; G9 U( B  A4月:英科學家申請複製人類胚胎[挪亞的日子] .
# Y1 E9 r! o6 I+ }' K5月:[美國，俄國，歐盟和聯合國]四方 [第一次]舉行會談.推出中東和平計劃"路線圖"
' J3 ]0 O( c/ q( y[台灣複製牛技術獨步全球]
6月:[歐洲國家誕生].第一位歐盟主席出現
8月:雅典奧運會.歐盟主席可能由具有希臘或馬其頓血統而出.
9月後:兩岸小規模衝突戰爭
/ O( O. v, v4 f- x# s9 z
; i* Q3 Z/ y# _3 P
( k8 N' p! D; X
5 {' ]3 B) a6 C' Y! Z: n-------------------------------------------------------------
0 O- ?% ]3 r1 p% Y徒十七26 祂從一本造出萬族的人，住在全地面上，並且預先定準他們的時期，和居住的彊界，
  R) g8 H' K2 D$ S7 ^徒十七27 要叫他們尋求神，或者可以揣摩而得，其實祂離我們各人不遠；
' [$ n' p8 L' q3 s  \來九27 按著定命，人人都有一死，死後且有審判；
7 u. M6 U  b9 r' Z詩九十10 我們一生的年日是七十歲，若是強壯可到八十歲；

river.

聖經舊約新解
2 y, z3 i3 Q8 n' o分類：真理拾穗
4 W  g4 y; S1 w) q& y2010/09/25 07:09
- [9 @# C1 X- k/ d  y6 `
$ d8 c8 |: ]  O2 E

關於「舊約新解 」的一點交通
, _4 Z3 ^! P& b0 C+ K1 r! C    讀聖經是每一位信徒得救後必修的功課。然而許多信徒卻無法堅定持續地建立每日讀經的生活。
2 Q$ @- d+ c6 t% H9 O2 n/ k
原因不外乎：

. `1 U& N, `1 C& N一、不認識 聖經的寶貴和讀經的重要。（心的問題）

; }4 N, O( ?# s# e( e二、雖羨慕讀經，卻缺乏毅力、決心，而難以起頭，或無從建立天天定時、定 量、依序地讀經習慣。（性格問題）
/ `+ d% X% U1 G9 q" J6 R
1 Q+ q! X7 b% J6 |. n5 N% @三、年年立志讀經，卻總因讀不懂、讀不出亮光與啟示，而半途而廢。需要保羅求 「智慧和啟示的靈」的禱告（弗一17）。
- E! E# E4 n" X9 _) `7 I5 U, S8 M7 J+ y
四、勉強建立讀 經生活，也實行多年，但總覺未能登堂入室，沒有真實經歷 神的話，更無法話成肉體，而若有所缺。需要保羅求「經歷」的禱告（弗三16，17）。筆者得救後，前二十年，也曾在這四項原因中打轉，直到主給筆者興起環境，又藉恢復版聖經的出版，讓筆者跨越這四大難處，建立了穩定的讀經生活，真實經歷天天從神的話得著供應、光照，使每一天都過得喜樂又充實，且稍有話成肉體的更新、變化。筆者才深深體會沒有正常的讀經生活，對一個有心的基督徒而言，是何等的損失和虧缺。因此決定將自己二十多年來讀經的心得，記錄下來，供初讀經者參考，或可幫助一些讀經困難的聖徒，克服部分上述讀經的難處。


    一般說來，聖徒對於聖經多半較熟悉新約聖經而較忽略舊約，因為舊約多歷史、典故、豫言、豫表、表號、隱徵、隱喻等，不像新約明言較易領會、應用。因此許多得救多年並有相當追求或服事的聖徒，除對一些在新約經常引用的舊約經節和一些耳熟能詳的舊約事例外，其餘舊約聖經就較陌生或較少花時間研讀、深究。然而新約是出自舊約，新約真理可說是舊約圖畫的說明和解釋；若圖畫不清楚，其說明必定不知所指，其解釋也不易全然領悟，導致對聖經理解不夠深入、 全面，其應用與經歷自然也就不夠廣泛、多方了。所以舊約不熟，常成為新約讀經不夠專精、享受的隱藏瓶頸。再者，前面弟兄帶領讀經時，總是鼓勵那些對新約聖經己稍有基礎的聖徒，採取新、舊約並進，不偏於一端的讀經方式，以收相輔相成之效。就是因這緣故，筆者亦挑舊約先著手，以應付部分聖徒讀經之急需。
- ]0 w& _* q4 @- X# W( r, d, i
: ~; O: K/ {- s* d& l. Q
    聖經是神的話，是神所啟示的，必然博大精深。即使只限舊約，也絕非本書近四百篇信息，就能說清楚、講明白的，恐怕連摘要介紹大綱和要義，都無法完全勝任。所以筆者必須藉此聲明，本書不是解經大全，不過想示範一下讀舊約聖經的正確方法，供初讀經者學習參考；同時也試著解釋一些較難解明的經文，和點明一些隱藏在不起眼的經節中，卻有深奧 涵意的重要啟示，以幫助初讀舊約聖經的讀者，不致因經文難明瞭或看不出所以，而失去味口與耐性，使讀經無以
8 K; z, R- x. E$ _1 C; p! x
為繼，造成遺憾。


$ \6 A2 K0 F4 ]工欲善其事，必先利其器，讀經也一樣。本書選擇下列聖經、 工具書和主要參考書作依據或憑藉。因這幾本書經常被引用，若非必要，用到它時，不再加以註明。一、恢復本聖經（含 註解）；二、尋根版聖經及聖經原文字典：三、聖經提要；四、生命讀經。本書中經文全採恢復本譯文，許多發表也參考甚至錄自它的註解；而字義、字源等常取自尋根版及其字典，讀者可自行比對、參考。
% R, O+ P) t7 t( T; k* B筆者將這本讀經心得集錦（依經文順序排列）取名「舊約新解」， 實有三重意義：首先也是最重要的，就是介紹一種從新 約的觀點讀舊約的方法。更詳細的說，就是用神「新約的經論」作解讀舊約的萬能鑰匙，使讀者能將舊約、新約藉神最 深處的心意聯成一體。其次，也是筆者想盡力作到的，就是避開老生常談和枝枝節節，而盡量留在經文的主要思路和負 擔的中心線上，對較難懂、難明瞭或含有深意的經文，用新約的發表和較現代或召會實行觀點的應用加以詮釋。務使讀 者不致因細節而偏離聖經啟示的主軸焦點，也不致因難解或疏忽而錯過、漏掉聖經啟示的精髓。末了，筆者也嚐試在解經之餘，加入一些最新的科學結果，佐證聖經的正確性（對有信心的讀者，這是無庸置疑，多此一舉的），以加強初信 者或初讀經者對神話的信心，並消除一些過往對聖經原意出 於人意的過度引申，而引發批評者對聖經不必要的質疑與誤解。當然，末了這點必然受限於筆者才疏學淺的弱點，故以筆者 並不堅持己見，僅將個人淺見提供讀者參考罷了。
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* h2 F# a: K2 [" u, d% k
本書內容中相當一部分，是筆者多年來，聽前面弟兄交通，深受感動與啟發的信息要點，或一起追求聖徒分享聖經的精采片段，由筆者照記憶所及記下，或加以發揮和應用。其中也有數篇直接截取已刊登的心得（原作者名皆標示於文後），其中部分曾經筆者修訂或增刪。從這一面說，筆者不過只作了蒐集、編輯、代筆等工作而「集其大成」，文中的亮光、啟示，絕非筆者個人所獨創；不過若有錯誤、失當，必定是筆者造詣不精或引喻失當造成。謹此致歉，並請前輩聖徒不吝賜教，必誠心接受，儘速改正，以免繼續誤導讀者。



末了，筆者認為屬靈知識沒有智慧財產權，聖經解經也無個人版權歸屬。因此，本信息歡迎讀者下載、參考、引用，只求不要錯引、誤用或斷章取義即可，並無必要註明作者或提及出處。但求主使用它，光照、開啟那些用心、認真讀經的信徒。也算筆者的些許勞苦，在主裡面不徒然了。阿們！
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& c1 x$ I1 T3 T- Q. N（舊約新解—讀經心得集錦已置於新竹市召會網站首頁中，可逕至該網站瀏覽或下載） （董傳義弟兄）
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! r: _+ o% }7 K3 C  S) H. o0 lhttp://www.hcchurch.org.tw/bible_rev/menu.asp?d=e:\inet_special\hc_bible\

river.

聖經中的混沌理論(蝴蝶效應)
: u% \1 p+ M) b" c- s/ E0 f: p$ h分類：混沌理論
: b( G7 i& c7 V0 _. r) \( q/ j2008/07/31 07:55
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政治學家威爾遜和犯罪學家凱琳提出了一個“破窗理論”。這個理論認為：如果有人打壞了一個建築物的窗戶玻璃，而這扇窗戶又得不到及時的維修，別人就可能受到某些暗示性的縱容去打爛更多的窗戶玻璃。久而久之，這些破窗戶就給人造成一種無序的感覺。結果在這種公眾麻木不仁的氛圍中，犯罪就會滋生、繁榮。“破窗理論”不僅僅在社會管理中有所應用，而且也被用在了現代企業管理中。
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    蝴蝶效應
, A! Z( q% D* f; q- d  i0 u$ I- U2 \
& N. ?3 p% v* i9 I    什麽是蝴蝶效應？1979年12月，洛倫茲在華盛頓的美國科學促進會的一次講演中提出：一衹蝴蝶在巴西扇動翅膀，有可能會在美國的德克薩斯引起一場龍卷風。他的演講和結論給人們留下了極其深刻的印象。從此以後，所謂“蝴蝶效應”之說就不脛而走，名聲遠揚了。

    “蝴蝶效應”之所以令人著迷、令人激動、發人深省，不但在于其大膽的想象力和迷人的美學色彩，更在于其深刻的科學內涵和內在的哲學魅力。

0 h- B6 ~+ O. e" Y7 U    從科學的角度來看，“蝴蝶效應”反映了混沌運動的一個重要特征：系統的長期行為對初始條件的敏感依賴性。
2 o) _% @. Q5 K2 A
    經典動力學的傳統觀點認為：系統的長期行為對初始條件是不敏感的，即初始條件的微小變化對未來狀態所造成的差別也是很微小的。可混沌理論向傳統觀點提出了挑戰。混沌理論認為在混沌系統中，初始條件的十分微小的變化經過不斷放大，對其未來狀態會造成極其巨大的差別。我們可以用在西方流傳的一首民謠對此作形象的說明。這首民謠說：

# ~% i' J" B, u# F+ a( g  o    丟失一個釘子，壞了一衹蹄鐵；
/ ]3 M2 j) a& p% \# ^  F4 r% N
    壞了一衹蹄鐵，折了一匹戰馬；

    折了一匹戰馬，傷了一位騎士；

8 |) r" x/ }, a! m" w" H0 O    傷了一位騎士，輸了一場戰鬥；
  d$ x# l$ B7 f! S  C
2 k2 Z0 A0 D( a  l9 @* K5 }! s    輸了一場戰鬥，亡了一個帝國。
5 u8 P3 W9 e( L$ c; f( D
    馬蹄鐵上一個釘子是否會丟失，本是初始條件的十分微小的變化，但其“長期”效應卻是一個帝國存與亡的根本差別。這就是軍事和政治領域中的所謂“蝴蝶效應”，聽起來有點不可思議，但是確實能夠造成這樣的惡果。一些看似極微小的事情，卻有可能造成集體內部的分崩離析，一定要防微杜漸，否則，悔之晚矣。

    “蝴蝶效應”啟示錄，古往今來知多少？

    近因效應

( L, b- S  b5 q6 W. P    最近、最後的印象，往往是最強烈的，可以衝淡在此之前產生的各種因素，這就是近因效應。有這樣一個例子：面試過程中，主考官告訴考生可以走了，可當考生要離開考場時，主考官又叫住他，對他說，你已回答了我們所提出的問題，評委覺得不怎麽樣，你對此怎麽看？其實，考官做出這麽一種設置，是對畢業生的最後一考，想借此考察一下應聘者的心理素質和臨場應變能力。如果這一道題回答得精彩，大可彌補此前面試中的缺憾；如果回答得不好，可能會由于這最後的關鍵性試題而使應聘者前功盡棄。
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: b: R, R- e+ x" b; o    青蛙效應
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$ u  a+ X- H7 H+ Z$ ]6 n$ w" {    從前有一則水煮青蛙的寓言：如果把一衹青蛙放在沸水中，它便會縱身而出；如果把一衹青蛙放進溫水中，它會感到舒舒服服的。然後你再慢慢升溫，即使升至攝氏 80°，青蛙也仍然會若無其事地待在那水裏。隨著溫度的繼續上升至90°- 100°時，青蛙就會變得越來越虛弱，在此情況下，青蛙已經失去自我脫險的能力了，直至把它煮熟為止。在第二種狀況下，青蛙為什麽不能自我擺脫險境呢？這是因為青蛙內部感應自下而上威脅的器官，衹能感應出激烈的環境變化，而對緩慢、漸進的環境變化卻不能及時做出感應。這就是一種“青蛙效應”。

    “青蛙效應”告訴我們一個道理：“生于憂患，死于安逸。”

, \% X1 _, ~5 u9 P. b    美人效應
2 O  H% ]/ o* Y
    羅馬一家自助餐廳的老板想出一個賺小費的妙計。他請來一位非常漂亮的姑娘，坐在櫃臺邊收錢，以便使男客們神魂顛倒，慷慨解囊。誰知那位姑娘上班後沒過幾天，就對老板說：“我想，我不如以前漂亮了。”老板忙問：“這是怎麽回事呢？”“現在，所有的男客都在櫃臺邊反復地數找給他們的零錢。”

    鯰魚效應

    西班牙人愛吃沙丁魚，但沙丁魚很嬌貴，極不適應離開大海後的環境。用不了多久就會死掉。為延長它的活命期，當地漁民想出了一個辦法，將幾條沙丁魚的天敵鯰魚放在運輸容器裏。為了躲避天敵的吞食，沙丁魚在有限的空間裏快速游動，反而保持了旺盛的生命力。這就是經濟學上講的鯰魚效應。為了更好地生存發展下去，懼者必然會比其他人更用功，而越用功，跑的就越快。○
5 a, l2 o# E( s
    暈輪效應
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$ l1 y4 v  B- V4 {8 j    暈輪原指月亮被光環籠罩時產生的模糊不清的現象。暈輪效應是一種普通存在的心理現象，即對一個人進行評價時，往往會因對他的某一品質特征的強烈、清晰的感知，而掩蓋了其他方面的品質。

    畢業生在求職應聘中，如果能夠巧妙地運用這種暈輪效應，把自身的優勢充分地展現出來，一定會給招聘考官留下深刻的印象，贏得對方的賞識，取得面試的成功。比如，當招聘者問及你的英語水平時，你便用英語熟練地與其交談，必然會引起招聘者的極大興趣，很可能當場便與你拍板“成交”。但在運用這一效應時一定要注意，不能刻意制造“光環”效果，那種虛妄做出的行為，往往適得其反

    木桶效應
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    在管理學上有一個著名的“木桶理論”，是指用一個木桶來裝水，如果組成木桶的木板參差不齊，那麽它能盛下的水的容量不是由這個木桶中最長的木板來決定的，而是由這個木桶中最短的木板決定的，所以它又被稱為“短板效應”。由此可見，在事物的發展過程中，“短板”的長度決定其整體發展程度。正如，一件產品質量的高低，取決于那個品質最次的零部件，而不是取決于那個品質最好的零部件；一個組織的整體素質高低，不是取決于這個組織的最優秀分子的素質，而是取決于這個組織中最一般分子的素質一樣。……此種現象在管理學中通常被稱為“木桶效應”。

9 M& j7 O* ^2 M    “木桶效應”對你有何啟示？

    馬太效應

( F; [/ H" _0 c; @& F8 x* q) ^& q  D    《聖經》馬太福音章節中有這樣一段故事:“一個人要往外國去，就叫了僕人來，把他的家業交給他們。按著各人的才幹，給他們銀子。一個給了五千，一個給了二千，一個給了一千。就往外國去了。那領五千的，隨既拿去做買賣，另外賺了五千。那領二千的，也照樣另賺了二千。 但那領一千的，去掘開地，把主人的銀子埋藏了。過了許久，那些僕人的主人來了，和他們算賬。那領五千銀子的，又帶著那另外的五千來，說，主阿，你交給我五千銀子，請看，我又賺了五千。主人說，好，你這又良善又忠心的僕人。你在不多的事上有忠心，我把許多事派你管理。可以進來享受你主人的快樂。那領二千的也來說，主阿，你交給我二千銀子，請看，我又賺了二千。主人說，好，你這又良善又忠心的僕人。你在不多的事上有忠心，我把許多事派你管理。可以進來享受你主人的快樂。那領一千的，也來說，主阿，我知道你是忍心的人，沒有種的地方要收割，沒有散的地方要聚斂。我就害怕，去把你的一千銀子埋藏在地裏。請看，你的原銀在這裏。主人回答說，你這又惡又懶的僕人，你既知道我沒有種的地方要收割，沒有散的地方要聚斂。就當把我的銀子放給兌換銀錢的人，到我來的時候，可以連本帶利收回。奪過他這一千來，給那有一萬的。凡有的，還要加給他，叫他有餘。沒有的，連他所有的，也要奪過來。”
$ V0 \9 u7 Q. u, E" J2 T5 r2 @7 B
* l0 t0 T; u1 H* r( ~( a    科學家羅卜特.默特把故事中的現象稱為“馬太效應”——即任何個人、群體或地區，一旦在某一方面獲得成功和進步，就會產生一種積累優勢，就會有更多的機會取得更大的成功和進步。
- ?  v; q1 @# X- |  _0 R- Z3 i
    現實生活中“馬太效應”無處不在。

river.

大自然的數學遊戲
分類：混沌理論
/ _- P4 P. N0 \2 P2008/08/04 07:00
( [* F1 n# X3 v. C5 f) ?
- u1 a% O. `! N9 [: t  O) \0 o如果你留心觀察這世界，任何地方總是存在圖案模式之美，與數字模式之奇。但是該怎麼用數學觀念解釋那些模式呢？闡明了那些模式之後，數學又能為我們的世界帶來什麼貢獻？本書作者史都華是全球數一數二的通俗數學作家，他說:「數學之於自然界，就有如福爾摩斯之於線索。」藉由這書，史都華希望「送您一雙數學家的眼睛，並且帶您觀光這個數學宇宙。而在這個過程當中，會盡力改變您對真實世界既有的看法。」並且他要揭櫫一門新數學「形態數學」，那是數學家眼中的美麗新世界。


0 X1 L; S% S8 Q6 H3 h  i! @大自然的數學遊戲
Nature’s Numbers
- A8 [9 B& ~& n* A
    * 作者：史都華/著
# A* ^- Z! V1 B    * 原文作者：Jan Stewart
    * 譯者：葉李華
    * 出版社：天下文化
9 v! {. {( C+ _' _
. R8 A- R0 r% y目錄
' |" F/ Q! G" b' d- w% q6 H( t
2 _& H, H6 S* i, o& w總序 激發出「半」個愛因斯坦 高希均
. |* W& U; @* e- \" `4 r( }序 模式、模式、處處皆模式 李國偉
開場白 虛擬幻境機
9 w5 `) G0 o9 w6 M" s# f第一章 大自然的秩序
第二章 數學能做什麼？
' m& }: d, J8 A) Y3 \第三章 數學是什麼？
7 Y, x$ @- }& w5 @9 b: V第四章 變與不變
第五章 從小提琴到電視機
第六章 因為失稱的緣故
, ^! c( w; m0 y& q第七章 噠噠的馬蹄聲
! G8 X6 j# Y, S) ^$ [9 H1 K第八章 骰子扮演上帝嗎？
第九章 液滴、狐與兔、花瓣
結語 開創形態數學
# |5 a) F. o3 t  U9 \- L附錄 名詞注釋
延伸閱讀

river.

紊流（Turbulence ）
. J( s4 e4 G( P分類：混沌理論
" f4 b* p4 F$ d2 O( K2010/02/13 11:55
. F) Z' p5 @7 I4 p

1 r! V5 f; B# B4 S1 ~3 |* o7 W上個世紀，和發現「相對論」的愛因斯坦，與詮釋「時間簡史」的史帝芬‧霍金齊名，發現「測不準原理」的量子物理宗師海森堡，臨終時在病榻上宣布，他要帶兩個問題去見上帝：廣義相對論和紊流（Turbulence ，大陸翻譯成湍流）。　　
1 W3 t" r, |8 |4 n
4 A8 |4 Q# _! r海森堡說：「我真的相信祂對第一個問題（廣義相對論）會有答案」。但是，對於變幻難測的紊流，海森堡斷定，連上帝也無法精準預測。　　

: n! d- C: M) M# \% S) \& ~* w9 e紊流，正是大氣物理與流體力學中最玄秘的現象，誰也無法毫無誤差的掌握。正是紊流現象，在大氣物理中，颶風、颱風和龍捲風，都是紊流現象的實例，測不準，永遠考驗著科學家。　　

連上帝都測不準了，所以，科學界才會發展出曾經風靡一時的「混沌理論（Chaos）」，以及許多人喜歡引用的「蝴蝶效應（butterfly effect）」，這樣的觀點，也被經濟學所引用了。　

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  v* A: d# W' g% P8 a, \
物理：精確測量紊流粒子運動的新方法

! J9 t" c3 ]( E編輯 MSC 報導
: }; A. j" r% Z7 }# _科學家發展出新方法，能夠精確測量紊流中粒子的運動。
! o( Q3 F. R- N" n6 a7 Y紊流(turbulence)對常搭飛機的人來說一點都不陌生。雲的形成與流體中污染物的散佈(disperse)也大受它影響。但至今，人們對紊流的瞭解仍是非常少。雖說，流體粒子的快且無法預測的速度及方向改變是紊流的特徵。但是，這類間歇又短暫的高速運動卻難以觀察。
康乃爾大學的Eberhard Bodenschatz與其同仁為克服這個困難，採用高能物理實驗常用的光偵測器。這種光偵測器每秒可以快照7萬張照片。Bodenschatz的團隊目前正對紊流中的微粒子運動做有史以來最精確的測量[1]，並已經看見小粒子做著極大加速、減速的運動。他們發現，粒子可在千分之一秒以內，以15000公尺每秒平方的加速度，從靜止加速至每秒2公尺。
半世紀前，俄國數學家Andrey Kolmogorov以機率方法來描述紊流如何影響流體。Bodenschatz的結果也顯示，在已經發展完整的紊流中，流體粒子的平均加速度與加速度的範圍跟Kolmogorov的理論預測吻合。
Bodenschatz也期待，他們的實驗結果可幫助工程師設計更有效率的化學反應爐與內燃機，並有助於科學家模擬污染物如何散佈。

) J( c& O( \( m! ?9 U
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這是梵谷的Starry Night：

0 P; c  T6 B/ P& P4 t7 q

! \6 a% [, X0 X- Q8 Q+ b
梵谷在晚期的作品中，漩渦狀的筆法是非常重要的一個特徵。例如「星夜」( Starry Night)、「絲綢與星星之路」(Road with Cypress and star)……等等。墨西哥國立自治大學物理學家亞拉岡針對這些漩渦進行研究，發現梵谷精確地畫出了自然界中實際產生的「紊流」(turbulence)。
2 n, o2 {+ V' a' [  j1 v, u
7 Z. t3 F  V/ F+ h
+ s$ {, `# Q' P. v1 g: U
" L3 l2 v3 |, A1 v% V亞拉岡在墨西哥、西班牙及美國哈佛大學多位物理學家和數學家的協助下，對梵谷晚年作品進行分析，發現梵谷畫的漩渦竟然符合俄羅斯數學家Kolmogorov於1941年提出的紊流模組理論。他們主要是分析「星夜」( Starry Night)這幅作品。這些人以「星夜」這幅畫的數位影像作為原始分析材料(300dpi, 2750*3542)，之後，利用每個像素中紅藍綠三種原色的組成比例，並以兩個像素之間的距離作為變數來進行分析。分析結果顯示，梵谷畫中色彩分布的情形與Kolmogorov的紊流理論所預測的模式相當符合。物理學家運用Kolmogorov的紊流公式，能準確預測流體中分子的流向和速度。而另外兩幅「絲綢與星星之路」(Road with Cypress and star)及「麥田裡的烏鴉」(Wheat Field with Crows)中色彩的分布也一樣符合紊流理論的預測。
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# H3 Y& D* |$ H9 Z4 j/ I% l
* s' G" ~* t" {2 ?梵谷這些漩渦狀的畫風幾乎跟他異常的精神狀態有關；長期為癲癇所苦的梵谷患有妄想症，這種疾病反而帶給他洞悉紊流運行的能力。梵谷的醫生曾指出，梵谷發病時，會陷入劇烈的狂躁，出現幻聽和幻覺，或許就是這樣，梵谷才能看見一般常人無法看到的「紊流」。
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* v4 B1 \. N1 d
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這首歌是美國民謠歌手唐麥克林(Don Mclean)在七十年代為紀念梵谷而寫的「Vincent」。他創作這首歌的靈感就是來自於「Starry Night」這幅畫。荷蘭阿姆斯特丹的梵谷紀念館前不停地播放這首歌，至今已超過二十五年。

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這是Joe Satriani的「Starry Night」：
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# M1 Y, T5 F$ q+ K
0 K. w/ R, G* g- s
梵谷的「星夜」創作於1889年，是他在法國聖雷米一處精神病院治療期間的作品,，當時因為精神錯亂而入院治療，但卻仍然在病情間歇發作的間隙瘋狂作畫，在此期間，他繪製了大量的作品，比較著名的像是「向日葵」、「星夜」等。現在，讓我們欣賞並懷念一下梵谷的畫：

  i* G' O$ [$ B
. u  L2 B7 x: W7 Z  I2 K' q

7 N; j3 y2 n9 s% L' r0 w: c) b* ?法國大文豪左拉也曾讚譽梵谷為「基督再世」。梵谷完成了油畫、素描、水彩等自成一家的獨特作品，共計一千六百九十餘件，這種超乎常人的豐沛創作慾望，至今仍被視為奇蹟和異數；然而懷才不遇終其一生，他的畫作僅賣出了一幅而已，享年37歲，於1890年自殺身亡。
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梵谷：「畫家怕空白的畫布，但空白的畫布卻怕真正熱情的畫家」。

river.

科學證明屬靈維度的存在？
分類：混沌理論
2009/05/29 14:13
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4 y& z0 ~% C% y; _9 O; p) k科學證明屬靈維度的存在？
/ y3 i% w+ u# p6 g0 E, v* d2 p0 {
# X$ E! z7 O! T+ u　【編譯趙日含／breakingchristiannews.com五月十七日報導】《華爾街日報》五月五日一篇名為《科學、靈性與配錯的襪子》的文章開頭說：「量子物理學中一個瘋狂的觀點是，兩個粒子就算離著幾十億英哩遠，也可以在瞬間彼此交流……近來一系列令人費解的實驗結果，已經使得科學家對於量子面紗的背後，有了前所未有的窺見，證實此領域確如想像中之神秘。」
4 T& O& g" K. b1 g　文章作者賴奇（Gautam Naik）用非專業術語極好地解釋了量子物理學，介紹了新研究的細節並定義了其他量子術語，比如「光子」、「糾纏」。
　當解釋「光子糾纏態」時，賴奇說：「當兩個光子『糾纏』在一起的時候，它們的表現就像是一個聯合體。即便它們相隔遙遠，只要其中一個粒子的自旋改變，另一個的自旋也立即改變……這些奇特的性能已經在一個實驗室中得以證明，並被運用於改善數據的加密術……一些哲學家將量子物理學視為一種非常偉大的不知名力量在作工的信號，同時這也支持了他們關於存在屬靈維度的觀點。」
　賴奇補充說：「正是因為這些奇異的表徵，量子物理學已被用於研究從自由意志與超自然到意識之迷的各個話題。一些認真的物理學家將其一生致力於研究這些想法，其中包括帝阿士朋能（Bernard d'Espagnat）。在三月，這位八十七歲的法國人獲得了聲望極高的坦普爾頓獎(Templeton Prize)所頒發的一百五十萬美元，以紀念他在證實『生命屬靈維度』上長期的工作。基於量子的表現特徵，帝阿士朋能博士的高見是：科學僅可以探究到甚麼是真的，但背後卻存有一個我們總也摸不透的『隱藏的真實』。」

river.

神奇的黃金比例
分類：黃金比例
2008/05/06 20:42
3 u4 g7 v6 @2 K! \0 c$ i 神奇的黃金比例
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( w+ N4 m- z6 [5 e; m, o1 l( l
5 B  d% c7 Q& o% k+ i: J壹◎前言
" z9 k9 Q: s& E; Z. H7 o$ B: V3 k/ o+ ?
. n, k& L' g2 \: n* J/ N9 J每個人都知道，圓周率 π=3.14159，不過這個數字似乎太嚴肅了，並不好玩。介紹一個更有趣的數字---1.618，又稱為黃金比例φ。黃金比例源於斐波納契數列，而這個比例更在大自然裡無所不在。

或許黃金比例的趣味在於它跳脫了最原始的幾何意義，從數學延伸至繪畫、建築、音樂乃至發展成為對完美人體身形比例的終極追求，搖身一變成定奪感官之美或和諧之美的最高裁判官，相較於多數人可以琅琅上口的π值3.1416，黃金比例顯然與我們日常生活的關係更為密切。

( s; g* t7 B# P' V* x# T# J0 O$ i貳◎正文
) C4 g/ A& O0 I; q2 F( h# n, K) O
一．何謂黃金比例  

# z: R5 @4 M$ J) N+ @7 l０１．黃金比例　　
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「黃金比例」的歷史可以回溯到古希臘時代， 歐幾里德撰寫《幾何原本》時吸收了歐多克索斯的研究成果，進一步系統論述了黃金分割，成為最早的有關黃金分割的論著。
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$ m1 S5 C) [5 c8 U) V+ S- Q　　 這位幾何學大師用一條簡單的幾何定理「中未比」就為黃金比例下了完美的定義。如果把一條線段分成長短兩段，而且「全段長：長段長＝長段長：短段長」的話，這種分割方式叫做「黃金分割」，而分割出來的兩線段長的比，就叫做「黃金比例」。通常以希臘字母 φ表示這個值。 φ ＝(1+√5)/2≒１．１６８０３３９８８７。而黃金分割奇妙之處，在於其比例與其倒數是一樣的。例如：1.618的倒數是 0.618，而1.618:1與1:0.618是一樣的。
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０２．費波納奇數列

所謂費波納奇數列是指1，1，2，3，5，8，13，21．．．．．．而這個數列的規則是：末項是前兩項之和，所以第三項是前一二項之和，第四項便是第三項加第二項，第五項則是第四加第三項，依此類推，綿延不絶下去。

　　這數列也發生很多數學上的計算巧合。將此數列的兩兩項次任意相加減乘除平方開根號，就會有很神奇的結果出現；更驚奇的是，將相鄰的兩項相除（後項除以前項），商數會越來越趨近1.618這個神聖比例 φ。

二．黃金比例的應用

從西元前三百年歐幾里德因為幾何學的研究而定義出這個比例後，黃金比例早已一直被無數的數學家、生物學家、天文學家、音樂、物理、藝術、建築、心理學等等領域專家追逐探究，在不同學門間引起過無數的討論與驚奇，激起的研究熱潮超過任何數字。
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０１．藝術上的黃金比例　　

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Ａ．維特魯威人
' z# I3 x/ j" N: H$ }! H  B
) r9 k, \! `9 ~當人張開雙手雙腳時，以人的中心點肚臍眼當圓心劃出圓時，圓周剛好會碰到手和腳(即表示肚臍到手指的距離與到腳指的距離相等；當手平伸像十字架時，雙手指距離剛好等於身高，故可以此劃成一正方形表示。文藝復興時期的達文西便根據這觀念畫出這張有名的人體比例圖，除了表達完美的人體比例只能是造物主巧妙安排的比例外，圓形表陰性，十字方形表陽性，此圖便是在陰陽調和的和諧下構成完美。

Ｂ．五角星
( N5 g: U0 B1 w" ]" o8 k
8 V+ j- u/ O# f* G6 j五角星中線段的比率都符合黃金分割率，這使得它成為了黃金分割的首要代表。正是因為這個原因，五角星總是被作為美麗與完美的象徵，並與女神和神聖的女性聯繫在一起。

# r% h' d! I; `6 vＣ．蒙娜麗莎

美國與荷蘭的科學家們日前在阿姆斯特丹大學發表研究，宣稱利用電腦「情緒辨識軟體」分析，蒙娜麗莎的微笑中，帶有百分之八十三的快樂，百分之九的厭惡，百分之六的害怕，以及百分之二的氣憤。
9 S- G' v+ g$ P% L
% j% v  r: r& U/ }5 \- y1 u從科學與醫學的角度，解讀蒙娜麗莎微笑，一直是有趣而熱門的研究，美國哈佛大學神經生物學家甚至公開在國際研討會發表論文，但是用電腦進行如此藝術的解讀，倒是非常新奇。如果電腦解讀是正確的，那麼蒙娜麗莎是一位幸福的女人，能夠在生活中保有百分之八十三的快樂，百分之九的厭惡，百分之六的害怕及百分之二的氣憤，真是美妙的黃金比例。

０２．自然界的黃金比例
) F' q) V: Q' p8 W9 S9 o
" y8 B7 k! Q" a% e2 A9 j1 v4 yＡ．植物
' }. g" s3 D3 c( a3 Q) x; \/ t
: J: |/ @+ @: Z3 M9 O  s8 b一般枝幹上的葉子生長，爲了得到最佳的陽光照耀、呼吸空間以及雨露均沾，一片片葉子的生長會沿著莖幹而成螺旋移動，分別以二分之一轉、三分之一轉、五分之二轉、八分之三轉等比例生長（意即順著螺旋生長的第一片葉子起算，轉了三圈的範圍裡共長出八片葉子，因此稱每片葉子便是八分之三轉），不同植物有不同比例，但都是循著費波納奇數列的數字，達文西發現了，天文學家克卜勒也發現了；而且這些分布的角度，在測量計算上也和黃金比例有關，在視覺感官也似乎多了一絲和諧的味道。
9 J: D6 }) X' {/ j6 T: i
/ q% j7 L, x% n7 Q: i& yＢ．動物

鸚鵡螺的螺旋外殼可以一直延伸淡形狀不變，這種自我相似性具有一種美感。甚至連隼這種速度很快的猛禽，都以這種螺旋形的飛行方式來精準捕獵，可以達到最佳視角和節省飛行能量。
& E8 Q6 I( m4 Y8 E) X
０３．投資上的黃金比例

2 [5 g' N" M0 W當一個複合現象呈現出令人滿意的數字組合，稱之為「黃金比例」；對兩組不同現象時間數列觀察，其正向解讀數據曲線由下而上穿越負向數據曲線時，稱「黃金交叉」，反之為「死亡交叉」。
# J7 s) h) `. U( p/ C/ q
. g5 E" Q% ?- Y  k3 q０４．人體上的黃金比例

在人體軀幹與身高的比例上，肚臍是理想的黃金分割點。換言之，若此比值愈接近0.618，愈給與人一種美的感覺。很可惜，一般人的軀幹 (由腳底至肚臍的長度)與身高比都低於此數值，大約只有0.518至0.60左右(腳長的人會有較高的比值)。
% P  o4 a9 d, f5 I) R. a' v5 f
參◎結論

( P8 \/ W0 e% D  a  n* e' H- r費波納奇數列和黃金比例開啟了如此多的數學研究風潮，卻也引來相當多的穿鑿附會。除了大自然中是否真有這麼多黃金比例的驚奇之外，一般所說的人為藝術層面所包含的黃金比例的例子大半是無確切根據的。

4 [( E5 u: [. [9 Y. S6 r$ W% T         不過就我們所知道的，除了自然界裡隱含著甚多的秩序，令人驚嘆之外，自然界裡也還有甚多讓人們不解的謎題與未現的領域，仍令人困惑。科學家們探討未知的領域，需要十足的耐心與毅力。從細微的生活圈中開始尋訪，培養科學精神，進而建立起：「大膽思考，小心求證」。

river.

黃金比例：數學、藝術到大自然的瑰寶
分類：黃金比例
2008/04/05 23:58


4 C( o0 C: i% Z
' k) m- ~. u( g6 q+ R黃金比例：數學、藝術到大自然的瑰寶
, @& R  Z9 K$ I) p. Z: i
8 Q5 ?) S: c5 H8 c* G% o
文藝復興後期的克卜勒（Kepler，1571-1630）曾經說， 幾何學擁有兩件至寶，一件是大家熟知的畢氏定理，另一件便是黃金比例。歐幾里德在西元前三百年定義了「中末比」：把一條有限直線分割成兩段，當長線段與短線段之比等於全線長與長線段之比時，該比例記作 φ，也就是黃金比例，其數值約是 1.6180339887....，代數值是 x2-x-1=0 的正解。歐幾里德當初只是為了幾何推導的方便才定義出這個比例，可是，誰會想到黃金比例不但在神秘主義的五角星形出現，它還在數學與藝術的領域大放異彩！最重要的，黃金比例還隱藏在神奇的斐波那契數列（Fibonacci Sequence ）之中，因而它與大自然的演化動力學發生密切的關聯——無論是植物的葉序、向日葵小花的排列、螺旋星系的漩渦、鸚鵡螺的美麗貝殼、物質結構的準晶體，以及非週期性鋪磚、兔子繁殖問題與股市的波動起伏等等，各種風馬牛不相及的現象之中，都看得到「黃金比例」與「斐波那契數列」的蹤影。實在不能不談它們。
, H4 W2 U* y# B3 m' q7 r' K" d2 p; M
1 a1 ]6 Z% z1 C  X4 B3 Y　　斐波那契數列（費波納奇序列）是歐洲人知道的第一個遞迴數列，它的內容是 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 …… 從第三項開始， 每一項等於前兩項的和，也就是 Fn+2＝Fn+1＋ Fn， 其中 Fn 代表序列的第 n 個數字，例如 144＝89＋55。 當 n 趨近於無限大，也就是當這個數列無限地列舉下去之時，Fn+1 / Fn 居然越接近黃金比例的值，例如 144 / 89=1.617 ...！看來截然不同的兩個數學物件怎麼會扯上關係？這個證明需要藉助到黃金比例的連分數變形，詳細內容你可以在 Mario Livio 教授的《 黃金比例 》（ The Golden Ratio）一書 p.133 - p.136 找到，在這本書裡，我們還會發現斐波那契數列許多令人意想不到的特性。假如我們把情人節送的玫瑰花瓣一片一片地拆開，看看花瓣是怎麼層層相疊的，其中按照的數學規則便是斐波那契數列的傑作，同樣的現象也可以在松樹毬果殼的鱗片排列中看到，就連鸚鵡螺貝殼的生長模式也受到黃金比例的調教！為什麼會這樣呢？這是牽涉到演化動力學的問題，大家同樣可以在《黃金比例》 p.145 - p.148 找到概要的說明 ，而我將在另一篇文章，專門地談談這方面的研究。

　　黃金比例不只出現在大自然裡，自從在文藝復興時期，黃金比例被譽為是「神的比例
3 ]: U2 f2 |5 A8 n4 I, i2 y」之後，它還在若干藝術家、建築師、設計師的作品中嶄露頭角。例如，達文西在繪畫與數學的探索裡應用了黃金比例，又例如，達利在一九五五年的畫作《最後的晚餐》突顯的立體景深，還有一個例子是，義大利設計家莫茲在一九八七年將斐波那契數列創作成《衝擊波》。但是真的如某些研究所說的，諸如《聖母的榮耀》、《蒙娜麗莎》等等畫作，諸如大金字塔、巴特農神殿等古代建築結構是根據黃金比例來設計的嗎？《黃金比例
. w7 P5 L7 b, a- e3 e1 D( y9 c》這本書的作者提出了以上的質疑。作者指出：我們看到很多例子，顯示黃金比例的熱衷者檢視了許多視覺藝術作品或建築物的比例，以求能夠發現黃金比例的應用，但是除了少數幾個以黃金比例作為其構作的樣式之外
，其他許多案例很可能只是誤會一場，這個誤會主要是測量時所用參考點的不同所造成的。作者花了好幾個章節的篇幅，想要破除黃金比例在藝術領域的迷思，黃金比例所呈現的美感往往是因人而異，黃金比例在藝術創作之中，並沒有佔據那樣顯著的地位，黃金比例反而是在數學，以及最意想不到的大自然現象裡
( l/ |1 N& g( E3 x  E- s  }3 H4 g$ _，展露它的重要性。
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　　作者透過《黃金比例》這本書
，目的在於提出以下這個問題：是什麼原因使得數學，以及像黃金比例這類的數學常數，在許多領域裡
——從宇宙的基礎理論、生物的成長型態到股票市場——都扮演著關鍵性的角色？這也是愛因斯坦曾經提過的問題：數學，一個獨立於經驗之外的人類思想成果，怎麼可能與實際的物理現象契合得如此天衣無縫？而最令人震驚的是：為什麼物理定律本身可以用數學方程式來表達？難道正如古希臘的畢氏學派的格言所說：「所有的一切都是數字」？難道上帝是數學家？在最後兩章，第八章《從地磚到蒼穹》與第九章《上帝是一位數學家嗎？》，作者試圖回答這些難題——這也是我非常感興趣的謎題！

　　這是牽涉到數學哲學（在數學對象的本體論方面）最核心的爭議，在數學史上至少有兩派理論從不同的角度來回答。一派是柏拉圖主義或修正的柏拉圖主義，數學物件雖然是抽象的，但卻是獨立於時間、空間與人們的思維而客觀永恆地存在的，數學家所提出的理論不是創造，而是對於這種客觀存在的描述；假如我們要與宇宙另一邊的外星智慧文明溝通，把黃金比例 1.6180339887... 這個數字傳送過去，它們肯定瞭解我們的意思，也就是說，這個觀點認為：宇宙本身把同樣客觀的數學理型加諸於大家身上
，即使是數學家因為遊戲而提出的理論，也客觀地對應到大自然的某個結構，例如彭羅斯（Roger Penrose）當初消遣用的非週期性鋪磚（關聯到黃金比例），居然可以作為準晶體之存在的解釋。而另一派截然不同的觀點則認為，數學不能存在於人類的腦袋之外，它只是人類的創造、發明與建構，數學物件並不是客觀的實體，它們是被想像出來的；面對「為什麼數學在解釋宇宙現象時，有這麼大的威力？」此問題，這一派的回答是，純數學之所以能成功地轉為應用數學，只不過反映了觀念的生產過剩，而物理只不過是從這些生產過剩的觀念中，選出最適合它所需的而已。（其實
，關於數學基礎的看法有很多派別，包括柏拉圖主義、唯名論觀點、康德的概念論、約定論觀點、邏輯主義、直覺主義、形式主義、建構主義等等
，而這兩段所提及的問題，實際上應該分割成不同層次的子問題才對！）
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這兩派並不能提出一個完全令人滿意的答案，《黃金比例》這本書的作者認為，我們應該採用這兩派觀點的互補，首先，數學規則（例如幾何或集合論的公設）確實是人類頭腦的創造物，可是這些規則一旦被確定之後，我們也就喪失了我們的自由；黃金比例首先是在歐幾里德幾何中被定義，斐波那契數列則是來自於數論的公設，可是，相鄰的斐波那契數字之比向黃金比例而收斂，這個事實卻是強加在我們身上的——儘管數學是人類想像力的產物，但是數學的確有其真實的屬性！作者藉由複雜系統理論大師 Stephen Wolfram 的鉅作《 A New Kind of Science 》（找個時間，我要好好介紹這本書， 書裡談到了細胞自動機這類的電腦模擬程式，Wolfram
認為，大自然的秘密在於應用簡單的程式去產生複雜性）所談到的觀點來表述自己的看法：至少這個被許多人視為是構成物理基礎的既存的數學世界，可能並非是獨一無二，換句話說，確定可以有一個和現有對大自然描述截然不同的描述存在，就我們所知的數學而言，它在所有可能用來解釋宇宙運作的簡單定律集合中，它只佔了微不足道的一小部份！——簡單講
$ {& w# \1 \4 h- J; w  k，本書作者與 Wolfram 同樣認為，在歷史偶然下，數學是被發明出來的，它的「遊戲規則」是人制定出來的，可是一旦被發明出來之後，它也就有了自己的生命，而人類必須以柏拉圖觀點去發現它內蘊的所有屬性。（在另一篇文章，我將把這樣的見解與「擬經驗論」的觀點作一番比較！）
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  K& y" m: ?9 r2 \; @8 q$ V4 w6 X! ?　　這篇文章我已經寫到尾聲。這本書的主旨與珍貴之處，就是藉著「黃金比例」的奇妙性質來提出上述的問題，而作者試圖作出合理的解答，我認為這個解答雖然不夠精緻、也沒有正面回答問題，可是還算是一個不偏執的答案。這本書有一點可惜是，沒有把黃金比例與眾多大自然現象的內在聯繫作個更清楚的描寫，由於作者想要在更大的框架內，談數學與大自然／物理的關係，所以擠壓了原本可以「仔細」寫黃金比例的部分。作者還談了不少「題外話」，其中有個部分我一定要說說，作者在兩處舉例談到「看似隨機的過程，卻能夠產生決定性的結果 」， 在 p.271 - p.273，如果把斐波那契數列改成是 Fn+2＝Fn+1 ±（隨
8 J( r4 O$ f5 `2 V- p機加或減）Fn ，產生的新數列如果只看這些數值的絕對值，這個隨機數列居然仍舊以明顯可預期的速度不
斷增加，而且第一百項與 1.1319882 .... 這個數字的一百次方非常接近，符合的機率是百分之百。在 p.279 - p.283，作者提到了「 班佛（Benford）定律」：如果隨機選擇數據的分布，再從這些分布中隨機選擇數字樣本，那麼會發現，某數開頭的數字出現的頻率是趨向某個固定值，例如 1 開頭的機率是 30%，2 是 17.6%，3 是12.5%，4 是 9.7%，5 是 8%， 6 是 6.7%，7 是 5.8%， 8 是 5%， 9 是 4.6%，這個定律實在是令人大吃一驚。從這兩個例子，我們又該如何解釋這種意料之外的事實呢？似乎就如同當初我們想像不到，黃金比例與大自然有如此密切的關聯那樣！數學與物理／確定性與機率性，其實還有很多我們未知的謎團、難以釐清的糾葛。

river.

探討黃金比例在小提琴設計和樂曲結構之應用
分類：黃金比例
2008/06/22 18:23

探討黃金比例在小提琴設計和樂曲結構之應用
http://www.ntnu.edu.tw/acad/pub/j50/j502-14.htm
: T& y4 Q* ?6 t$ I
作者／翁瑞霖　(輔英科技大學應用化學系)
6 Y# ]! C# {3 \* R
$ B" R: g' j8 k5 ^( j摘要
' f1 H; h" L5 X
　　代表理性的數學，其規律、和諧與秩序所產生的美感，並無聲音之傳遞，但與音樂是根本相連的；而代表感性的音樂，其音強、音高、音色、節奏、旋律、曲式及風格，雖無明顯之數字表達，但數學的蹤影卻處處可見。本文藉由跨領域通識教育課程的講授，開啟了數學與音樂的對話，運用數學的運算探討黃金比例在小提琴的設計及樂曲結構的應用。研究結果顯示，小提琴的造形設計及其樂曲結構中，各部分之間完美的數學比例關係，展現了音樂結構之美的效應，進而產生完美的藝術創作，在在顯示出"數學與音樂"密不可分的關係。代表理性的數學，其規律、和諧與秩序所產生的美感，並無聲音之傳遞，但與音樂是根本相連的；而代表感性的音樂，其音強、音高、音色、節奏、旋律、曲式及風格，雖無明顯之數字表達，但數學的蹤影卻處處可見。本文藉由跨領域通識教育課程的講授，開啟了數學與音樂的對話，運用數學的運算探討黃金比例在小提琴的設計及樂曲結構的應用。研究結果顯示，小提琴的造形設計及其樂曲結構中，各部分之間完美的數學比例關係，展現了音樂結構之美的效應，進而產生完美的藝術創作，在在顯示出"數學與音樂"密不可分的關係。

0 W( c8 O8 F8 ~& w( {《詳全文》  http://140.122.100.145/ntnuj/j50/j50.asp?appl=j502-14.pdf

river.

自然界裏的黃金比例及其應用
分類：黃金比例
2008/06/22 18:34
- w" G) O6 J5 c; |& J
1 x, j7 M( p* S4 o" q9 ^自然界裏的黃金比例及其應用
+ `6 G/ u7 w6 C& z2 q/ p% j$ T6 Fhttp://www.tychurch.org.tw/bible/04-5.htm

黃金比例係指0.618，它是自然界中常出現的一種比例，並且許多完美的事物均與黃金比例有關。例如，眼睛位於頭部的位置，大約就是頭部長度的61.8%位置。此外，在設計、音樂及藝術創作等領域上，許多專家也常採用黃金比例的原則。例如，攝影師在構圖時常將主角安排在畫面中之四個黃金分割點上，亦即每一個黃金分割點在水平或垂直方向上，與畫面邊緣所形成的兩段距離之比例，都是0.618；另外，很多建築物的寬長比，也都是採用0.618的比例原則。聖經中，方舟的寬度是50肘，高度是30肘，其高度與寬度的比例是0.6，這些都是黃金比例的呈現。以上所提及的有趣現象，值得我們仔細加以探討，並可將相關研究成果編纂成適當之教材，以提供大學相關通識課程的授課老師加以應用。

river.

黃金比例與世界
/ \5 \$ d* ?. h8 s" I! R: {- `, o分類：黃金比例
2008/06/22 18:44

1 s/ e: ~  U3 x: R8 m黃金比例與世界


數 學 是 世 界 的 語 言 ？
3 l, q! a9 q7 P- {
0 X. j2 }  O3 N" y  E如 果 你 劃 一 道 直 線 ， 把 它 割 成 兩 截 ， 一 截 長 一 截 短 ； 而 且 讓 那 稍 長 的 一 截 與 較 短 的 一 截 的 長 度 比 ， 正 好 等 於 整 道 直 線 和 分 割 後 較 長 的 那 一 截 的 長 度 比 ， 你 得 到 的 就 是 一 條 依 據 黃 金 比 例 來 分 割 的 線 了 。 而 且 你 會 發 現 如 此 割 開 的 兩 條 線 段 的 長 度 比 例 等 於 1.6180339887 這 個 無 窮 小 數 ， 這 個 比 例 還 有 個 名 字 ， 叫 做 phi （ Φ ） 。

  Y& T0 d/ {% `7 P4 k
; u- B1 `  S2 \. s5 C! K- L只 用 文 字 ， 沒 有 圖 畫 ， 要 讓 人 一 下 子 看 懂 黃 金 比 例 的 意 思 是 有 點 困 難 ， 還 好 受 過 點 基 礎 數 學 育 的 人 都 應 該 知 道 黃 金 比 例 是 怎 麼 回 事 。 既 然 如 此 ， 我 們 不 妨 再 來 一 道 常 見 的 數 學 題 ： 某 人 放 了 一 對 兔 子 在 一 個 四 面 被 牆 包 圍 的 地 方 。 假 設 每 個 月 每 一 對 兔 子 會 生 出 一 對 兔 子 ， 而 新 生 的 兔 子 一 個 月 後 又 能 再 生 一 對 兔 子 ， 那 麼 一 年 當 中 ， 會 生 出 多 少 隻 兔 子 呢 ？ 解 答 方 式 相 當 簡 單 ， 這 是 一 個 數 字 序 列 ， 排 列 起 來 是 1 、 1 、 2 、 3 、 5 、 8 、 13 、 21 、 34 … … 。 你 會 發 現 自 這 個 序 列 的 第 三 項 開 始 ， 每 一 項 等 於 前 兩 項 的 和 ， 例 如 2=1+1 、 3=2+1 、 5=3+2 、 8=5+3 … … 。 由 於 這 道 題 出 自 十 三 世 紀 的 意 大 利 數 學 家 李 奧 納 多 ． 費 波 納 奇 （ Leonardo Fibonacci ） ， 所 以 這 個 數 字 序 列 叫 做 「 費 波 納 奇 序 列 」 。 有 趣 的 是 ， 這 個 序 列 中 前 後 相 鄰 的 數 字 之 比 ， 只 要 隨 序 列 擴 增 ， 就 會 愈 來 愈 接 近 1.6180339887.... ， 黃 金 比 例 ， 這 個 文 明 史 上 最 神 奇 的 數 字 ， 所 以 費 波 納 奇 序 列 又 被 稱 作 黃 金 費 波 納 奇 序 列 。 科 學 家 後 來 發 現 這 個 序 列 無 處 不 在 ， 黃 金 比 例 到 處 都 是 ， 植 物 葉 子 的 生 長 序 列 ， 菠 蘿 鱗 片 的 排 列 模 式 ， 老 鷹 俯 衝 撲 擊 獵 物 的 航 線 ， 鸚 鵡 螺 的 殼 ， 銀 河 的 螺 旋 … … 。
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2 M, d% ]- Q! w& ^( {7 p+ I+ a
難 怪 有 人 說 上 帝 一 定 是 個 數 學 家 ， 數 學 就 是 世 界 的 語 言 ，要 不 然 怎 麼 可 能 有 如 此 巧 合 的 事 ？ 數 學 為 甚 麼 會 成 為 物 理 上 的 定 律 ？ 美 國 哈 伯 望 遠 鏡 的 科 學 部 門 主 管 李 維 歐 （ Mario Livio ） 的 《 黃 金 比 例 》 沒 有 提 供 答 案 ， 他 談 的 是 人 類 對 黃 金 比 例 迷 的 歷 程 。 在 這 本 書 我 們 會 看 到 很 多 黃 金 比 例 散 發 魔 力 的 經 典 例 子 ， 比 如 說 有 人 在 大 金 字 塔 看 到 了 它 ， 有 人 在 達 文 西 的 畫 發 現 了 它 ， 有 人 注 意 到 羅 馬 大 詩 人 味 吉 爾 的 用 韻 模 式 暗 合 黃 金 比 例 ， 有 人 指 出 凡 是 以 黃 金 比 例 創 作 的 音 樂 都 是 最 悅 耳 的 ， 會 計 師 艾 略 特 （ Ralph Nelson Elliott ）更 在 他 知 名 《 波 浪 理 論 》 中 用 黃 金 比 例 解 釋 股 市 指 數 起 跌 的 規 律 。 讀 過 藝 術 史 的 人 一 定 聽 過 ， 黃 金 比 例 是 世 界 上 最 美 的 比 例 ， 依 照 它 設 計 的 建 築 ， 畫 出 來 的 油 畫 ， 譜 寫 出 來 的 樂 曲 ， 莫 不 人 自 然 地 感 到 愉 悅 。 李 維 歐 在 《 黃 金 比 例 》 引 用 大 量 文 獻 指 出 ， 這 無 非 是 個 最 美 的 迷 信 。 被 認 為 是 黃 金 比 例 典 範 的 許 多 藝 術 傑 作 ， 其 實 並 不 符 合 黃 金 比 例 ， 是 人 們 對 這 個 數 字 的 迷 戀 誤 導 了 大 家 。 當 然 也 有 很 多 比 較 現 代 的 藝 術 家 如 建 築 大 師 柯 比 意 ， 真 誠 地 把 黃 金 比 例 應 用 在 其 作 品 上 。 但 這 一 切 最 終 可 能 都 只 不 過 是 種 「 數 字 學 」 ， 對 特 定 數 字 的 迷 信 ， 正 如 666 被 認 為 是 魔 鬼 的 數 字 （ 順 帶 一 提 ， 用 三 角 函 數 中 的 正 弦 和 餘 弦 去 計 算 666 ， 也 會 得 出 一 組 和 黃 金 比 例 有 關 的 數 字 ， 試 試 看 ） 。
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# m8 K- i: u; ]那 麼 大 自 然 中 的 黃 金 比 例 是 世 界 本 身 的 模 式 ， 還 是 人 類 感 知 世 界 的 方 法 導 致 的 結 果 呢 ？ 答 案 正 如 Φ 這 個 數 字 一 樣 ， 無 理 無 盡 。

river.

宇宙間最美麗的數字
# Q# b2 d/ Z, s( M) `分類：黃金比例
2008/06/22 18:55

  B, J, J2 k. f) w0 c: T宇宙間最美麗的數字
每個人都知道，圓週率 π=3.14159...
1 o. Q; k( W9 N不過這個數字似乎太嚴肅了，並不好玩。
; A! k+ r. v( O; C* T7 x介紹一個更有趣的數字---1.618，又稱黃金比例φ（唸fai），是大般人較陌生的數目字。

前年看「達文西密碼」這本書時，對於裡面第一道謎題寫到的「宇宙間最美麗的數字1.618」以及費波納奇數列很有興趣。
) M) ~" E1 k) @3 _5 R5 A
3 c: w' w! D' x8 A/ q( Z" l裡面提到，黃金比例源於斐波納契數列，而這個比例在大自然裡無所不在，例如每個蜂窩中雌蜂數除以雄蜂數目之比例、鸚鵡螺的每個螺旋之比、向日葵小花的螺旋排列間每圈直徑之比例、昆蟲身體的分節比例...都有這個神聖比例和費波納奇數列的存在。
; Y! z# ?7 z5 I- [
0 f& s, x' [& A3 x) `" p& I0 k甚至，連人的身體裡都含著這個神奇比例...如身高除以肚臍高、肩長除以手肘長、臀高除以膝蓋高...都是這個相同的比例。

2 q* r+ Q! i" l) Y8 F再來，連一些古建築如希臘帕特農神廟、古埃及金字塔裡都有這個比例的運用；甚至連米開朗基羅、達文西的等藝術家的作品都有神聖比例的應用；

$ R' ]5 E* V2 x- _. ]2 D  _* R還有還有音樂神童莫札特的奏鳴曲、貝多芬的第五號交響曲...都有利用到黃金比例的和諧之美。

只能說一句，螺絲，這簡直太神奇了。
  S$ E; ]8 b: }7 W" S/ Y. |: ?
8 T: s8 F7 A' y' N7 n8 x後來在書局裡又找到一本書「黃金比例」來延伸閱讀，進一步了解，其實打從西元前三百年歐幾里德因為幾何學的研究而定義出這個比例後，黃金比例早已一直被無數的數學家、生物學家、天文學家、音樂、物理、藝術、建築、心理學等等領域專家追逐探究，在不同學門間引起過無數的討論與驚奇，激起的研究熱潮超過任何數字。

& o& C2 u5 x' z% e( Y3 d這個屬於無理數的比例數值之所以引起如此高度的研究興趣，除了因為它本身在數學領域早已引起驚奇連連的巧合發現之外(例如它自己加1會等於自己的平方；自己減1則會等於倒數值，它一長串的小數點後面的數字都沒改變喔....等等)，而且由這比例衍生出來的黃金矩形、五角星形還可以在幾何學上作出很精采的延伸變化和螺旋線外，更在於從週遭環境裡，人們常常會在不經意的地方巧遇它的出現，而且是以美麗的圖形比例出現，不管是花花草草的植物界、動物界、或是宇宙星體現象，很多都跟黃金比例1.618以及和它也有相關聯的費波納奇數列有關。

也因著這般驚奇的發現，15世紀便有人將此特殊比例值稱為「神的比例」，因為這比例所代表的神奇和和諧之美，就這麼獨一，彷彿是上帝神耀的展現。



! h( f3 z% |% X9 s, y$ c有意思的是，在神的比例這部分，剛好看到了維特魯威人圖的說明，之前一直不曉得為什麼此圖要畫一個外圓和內方？

+ J" {, q( p/ V& ]  l) e' b( q原來早在西元前1世紀的古羅馬建築師維特魯威便曾寫著：當人張開雙手雙腳時，以人的中心點肚臍眼當圓心劃出圓時，圓周剛好會碰到手和腳(即表示肚臍到手指的距離與到腳指的距離相等,perfect）；當手平伸像十字架時，雙手指距離剛好等於身高，故可以此劃成一正方形表示(完美的正方形啊，perfect)。文藝復興時期的達文西便根據這觀念畫出這張有名的人體比例圖，除了表達完美的人體比例只能是造物主巧妙安排的比例外，圓形表陰性，十字方形表陽性，此圖便是在陰陽調和的和諧下構成完美。
9 w2 k+ H0 E5 \8 Z1 [8 F4 l厲害。

所謂費波納奇數列(Fibonacci sequence)則是指1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144....
為比薩的費波納奇研究兔子生產問題時所發現的數列。(此費波納奇也是將阿拉伯數字1234...帶進義大利然後改變羅馬數字(如Ⅱ,Ⅵ,Ⅸ)的運算規則的人。)
而這個數列的規則是，末項是前兩項之和，所以第三項是前一二項之和，第四項便是第三項加第二項，第五項則是第四加第三項，依此類推，綿延不絶下去。

' ]; Q+ F- b5 c) @& ~1 d然後，神奇的事發生了，這數列也發生很多數學上的計算巧合，例如將此數列的兩兩項次相加減乘除平方開根號亂亂玩，就會有很神奇的結果出現；還有驚奇的是，將相鄰的兩項相除（後項除以前項），商數會越來越趨近1.618這個神聖比例φ。

8 |8 h% H9 G3 a- j! h+ f是的，就是這個比例和這個數列，居然在大自然裡可以發現很多相關的神奇，例如，植物的葉序生長。
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  E0 N# V6 ?* Z3 F一般枝幹上的葉子生長，爲了得到最佳的陽光照耀、呼吸空間以及雨露均沾，一片片葉子的生長會沿著莖幹而成螺旋移動，分別以二分之一轉、三分之一轉、五分之二轉、八分之三轉等比例生長（意即順著螺旋生長的第一片葉子起算，轉了三圈的範圍裡共長出八片葉子，因此稱每片葉子便是八分之三轉），不同植物有不同比例，但都是循著費波納奇數列的數字，達文西發現了，天文學家克卜勒也發現了；而且這些分布的角度，在測量計算上也和黃金比例有關，在視覺感官也似乎多了一絲和諧的味道。
除此之外，鳳梨外皮的六角形鱗片、雛菊的花瓣數、玫瑰花瓣的分布位置、向日葵的小花排列方式和數目，也都遵循著費波納奇數列和黃金比例的安排。

但，真的是這樣嗎?
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5 e! |) ]2 ^3 P7 B& `) [

上個月我拍了幾張向日葵照片後，從中突然發現了一點驚喜，在上面這張照片裡，可以明顯地看到向日葵小花的排列形狀真的呈螺旋紋，有順時針和逆時針兩種螺旋，想起了「黃金比例」書中所寫，於是我也睜大眼睛努力算了算，嘿嘿，從逆時針方向（綠線）數來，共34排小花，從順時針方向(紅線)數來，共有55 排，34/55真的符合書中所述，遵循著費波納奇數列。我想，這也因為小花們以此螺旋形方式排列，可以讓每朵小花曬到最多太陽、沾到最多雨露、並擺放上最多小花數量吧（即留下最多的種子），這樣可以更有效益地共享空間，並且不會讓上下左右小花處在同一軸線上而彼此擋到，或許這便是能減少無謂的能量消耗，而達到最高生產力的方式，而這種方式就在藏在費波納奇數列和黃金比例裡。

而由此衍生的螺旋線也是一奇，鸚鵡螺的螺旋外殼可以一直延伸但形狀不變，這種自我相似性具有一種美感，這樣的螺旋也存在大自然裡，從向日葵、海螺、漩渦、颱風，甚至是螺旋星系都有這樣的形體，很巧。
$ f: @: y# j+ `甚至連游隼這種速度很快的猛禽，都以這種螺旋形的飛行方式來精準捕獵，可以達到最佳視角和節省飛行能量，很神奇。
6 W/ l; j0 ?4 c
而近代亦有人將黃金比例用於發展地磚形狀與排列的發展；研究碎形理論和晶體結構；研究股票市場的波動行為等，真是嘆為觀止。
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費波納奇數列和黃金比例開啟了如此多的數學研究風潮，但是也引來相當多的穿鑿附會，依照「黃金比例」書中作者的細心研究（任職哈伯太空望遠鏡科學研究所），除了大自然界真有這麼多黃金比例的驚奇之外，一般所說的人為藝術層面所包含的黃金比例的例子大半是無確切根據的，包括達文西密碼書上寫的古建築、古典音樂、繪畫雕刻等，其實大都是沒有明確證據能證明有運用到黃金比例的。
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8 I: v) I9 r6 t換句話說，我覺得這人為藝術作品雖然讓人覺得舒服、美妙、和諧，但這應該是各作者們的美學素養所展現的藝術成就，非得和黃金比例有相關吧。
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從這本書裡也發覺，原來古代歐洲是將音樂和天文、物理學都擺在數學這一門學科裡邊的，甚至很多藝術家也會研究數學，因為數學的本質可以幫助人們去理解很多的不解。而在自然界裡理解到的，原來有這麼多的驚奇巧合，難怪作者想問，上帝是一個數學家嗎?

( |2 B2 [6 r: y  T  R( l3 U% Q4 \不過就我們所知道的，自然界裡除了隱隱含著甚多的秩序，令人驚嘆之外，自然界裡也還有甚多讓人們不解的謎題與未現的領域，仍令人困惑。

我想起高中時，有一次上課剛好坐在窗邊座位發呆，我看到一排排螞蟻辛勤忙碌著，很守秩序循著一直線前進，我從牠們背後伸出一根手指頭，搓了幾隻螞蟻，擾亂了牠們的隊伍，他們根本措手不及，也渾然未知會有我的手指在背後出現。

同樣地，我們人的背後，有沒有這麼一隻看不見的手，什麼時候操控著什麼事呢?
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只能說，人啊，怎能不崇敬呢?崇敬神所布設的巧妙，崇敬我們仍有所不知的無垠世界啊。

river.

黃金比例
分類：黃金比例
& ^5 N+ u5 l3 j! ]4 m" i2008/06/22 19:04

黃金比例
4 y7 W- P4 H! |% N8 O% w作者：廖翊雲
指導老師：謝淑玲老師

目錄

5 W  I& e* l5 D) V( {% M. F( n一.研究動機

: O( @0 G' H$ M6 t% j' c二.研究目的
0 {. n2 _7 l0 O% W. k) R" B. T
, C3 g1 {) l5 n% c  d三.研究方法
# T) @# F% j5 X9 z0 Q$ l' t. g
四.研究內容大綱

" f2 d* o! u: z五.研究內容

7 F3 I- W& y/ ]4 e* x0 p  5.1了解黃金比例的定義。

0 S) D" o1 M) x- J9 s) ^- p) w8 @( F  5.2研究黃金比例的由來。

2 K/ `7 ^# ^" G; f7 o# u2 p4 f  5.3認識有理數和無理數。
) a$ V8 i: h' u7 h) z
  5.4研究黃金矩形。

    5.4.1黃金矩形的介紹。
0 v7 J; y- z% }
7 e% D, R$ i+ }* x  K& C- n    5.4.2三個黃金矩形的實際操作。
: M6 M6 Z2 n1 W
) W: Z* {1 X  E8 |" v% H  5.5研究黃金三角形。

  5.6認識費波納西數列。

% G/ Z( D' V1 Q: H# ?  5.7認識其它黃金比例應用的例子。
2 z7 ]5 v) e4 J; p; k5 f# w8 o
" C' q4 n/ t- _, P! H$ b* N/ a' r    5.7.1建築

# w' C- g' h' }    5.7.2古代證據

* R* b" F  e: c/ Y' d- F    5.7.3人體比例
/ r( C# J, E! q4 y
    5.7.4審美觀

' R5 N' u% w$ y; |. u  5.8結語

9 a5 q2 Q. W5 M! Y- l7 L* F* b" a* B  5.9心得
7 d2 j. Q7 B0 `8 D: h3 c
+ M# F9 g! F6 V. J' u* e2 Z. R. h一研究動機

+ G# J7 d: M9 O' ~- r) [& o- B  在長時間與母親的討論之後，我覺得我更確定我想完成一個有關數學方面的研究主題。最後在多次的思考尋找之後，黃金比例引起我的極大興趣，我想要了解它的秘密、定義和它是如何廣泛的應用在各種領域上。所以黃金比例成了我的獨立研究主題。
; Z3 D0 k' Z* f/ g
8 Z( i/ ^0 `& v% F* {二研究目的
- Y+ @3 \, H; m6 l9 i/ m
6 Y7 {5 M1 R4 x/ U( j0 I研究黃金比例的由來。
了解黃金比例的定義。
2 C7 K- e5 q4 u7 D4 j認識有理數和無理數。
研究黃金比例在生活中的應用。
三研究方法
2 I- z' ~+ K* A" d& f
以蒐集資料和實地研究的方式進行。
" ?7 y5 u9 V* R
四研究內容大綱
3 X7 l3 f! T: |, b  L
4 ?( ~& S; R' b1 b了解黃金比例的定義。
研究黃金比例的由來。
認識有理數和無理數。
% L2 f! p. F$ j8 |/ z' r1 L研究黃金矩形。
研究黃金三角形。
認識費波納西數列。
. s% @6 C3 n+ t+ z" ]) D: d認識其它黃金比例應用的例子。
& G4 z  C7 D7 G- `結語
+ N! l! r! S4 e& a) j! D心得
五研究內容

壹、黃金比例的定義。
! h& c" R. G4 \# w
4 z) B# i& i, N9 m" z8 Q


! \3 w6 h* g! f1 e) w- [黃金比例的定義就是把一條直線(或線段)一分為二，則長線段與短線段之比恰等於完整直線與長線段之比。如：在線段AB上，若要找出黃金分割 ﹝見注釋1﹞的位置，可以設分割點G，G會符合以下的特性：
9 p3 U3 p8 O9 n9 R' ?# l, G8 c3 X9 \
AB：AG=AG：GB設AB=l;AG=x
, }6 W4 Z/ H* \1 C+ N
則l：x=x：(l-x)
9 N1 I+ F2 k/ h. X7 J- G* W2 y
2 p0 Y7 v3 }/ ]1 s' B6 ax2+lx-l2=0

解方程得 x=[(-1±√5)×l]÷2得到x的近似值為0.618。這就是黃金比例了
+ s6 W2 `! J% E' O
$ Q2 ?) c. _& w0 w1 @通常用希臘字母 表示這個值。
" L9 Z9 _9 V: q8 Q4 y
9 x; F, n, V# ]$ J! \& U黃金分割奇妙之處，在於其比例與其倒數是一樣的。例如：1.618的倒數是0.618，而1.618：1與1：0.618是一樣的。因為：

7 E& z* F5 Y( j4 B4 N& v黃金分割數是無理數﹝見第参章﹞，前面的1024位為：1.6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 09179805762862135448 6227052604 6281890244 9707207204 18939113748475408807 5386891752 1266338622 2353693179 31800607667263544333 8908659593 9582905638 3226613199 28290267880675208766 8925017116 9620703222 1043216269 54862629631361443814 9758701220 3408058879 5445474924 61856953648644492410 4432077134 4947049565 8467885098 74339442212544877066 4780915884 6074998871 2400765217 05751797883416625624 9407589069 7040002812 1042762177 11177780531531714101 1704666599 1466979873 1761356006 70874807101317952368 9427521948 4353056783 0022878569 97829778347845878228 9110976250 0302696156 1700250464 33824377648610283831 2683303724 2926752631 1653392473 16711121158818638513 3162038400 5222165791 2866752946 54906811317159934323 5973494985 0904094762 1322298101 72610705961164562990 9816290555 2085247903 5240602017 27997471753427775927 7862561943 2082750513 1218156285 51222480939471234145 1702237358 0577278616 0086883829 52304592647878017889 9219902707 7690389532 1968198615 14378031499741106926 0886742962 2675756052 3172777520 35361393621076738937 6455606060 5922…


3 ?  s# b4 y% q
) P/ s, N5 \6 {+ {% n2 x
8 W- e" ~/ t. u% R3 {6 t連分數表示︰

( z. }: d8 Z8 I8 q' B( y
8 v5 K% O+ K8 U0 Y& G3 i5 O- k- g

1 g* e1 t9 p( g. g+ r平方根表示︰

  黃金比例的趣味或許在於它跳脫了最原始的幾何意義，從數學延伸至繪畫、物理、建築、美術、音樂乃至發展成為對完美人體身形比例的終極追求，在自然界裏，物體形狀的比例提供了在均稱和協調上一種美感的參考。在數學上，這個比例稱為黃金分割。但最後它搖身一變成定奪感官之美或和諧之美的最高裁判官，天文學家克卜勒曾將黃金比與畢氏定理並列為幾何學中的兩件瑰寶，可見黃金比的重要性。
* [9 ~. V  q1 y* i+ K- _9 x
注釋1：本文中黃金比例會以不同的名詞出現，例如：黃金比、黃金分割、黃金律、、和。

貳、黃金比例的由來。

1 ^+ m8 ]" r4 t1 M* k    黃金比例是屬於數學領域的一個專有名詞，但是它最後涵蓋的內容不只是有關數學領域的研究，以目前的文獻探討我們可以說黃金比例的發現和如何演進至今仍然是一個謎。但有研究指出公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，因此現代數學家們推斷當時畢達哥拉斯學派已經觸及甚至掌握了黃金分割的一些規則，也發現了無理數。
( F. j9 j5 w/ a$ p
# M4 a$ [& @2 u0 K+ H  公元前4世紀，古希臘數學家歐多克索斯第一個有系統的研究了這一個問題，並建立起比例理論。

  公元前300年前後歐幾里得撰寫《幾何原本》時吸收了歐多克索斯的研究成果，更進一步將系統論述成了黃金分割，成為最早的有關黃金分割的論著﹝即中末比 ﹞。

中世紀後，黃金分割被披上神秘的外衣，義大利數家帕喬利稱中末比為神聖比例，並專門為此寫書解釋。德國天文學家克卜勒稱黃金分割為神聖分割。

! ^4 a* E0 v- G到19世紀黃金分割這一名稱才逐漸通行，而證據在於德國數學家歐姆所寫的「基本純數學」的第二版一書中在注釋中寫到有關黃金比例的解釋，他是這樣寫的「人們習慣把按此方式將任一直線分割成兩部分的方法，稱為黃金分割」而在一八七五出版的大英百科全書的第九版中，蘇利有提到這一段話「由費區那……提出的有趣、實驗性濃厚的想法宣稱，『黃金分割』在視覺比例上具有所謂的優越性。」可見黃金分割在當時已經流行了。二十世紀時美國數學家巴爾也給他一個叫 phi﹝﹞的名子。黃金分割有許多有趣的性質，人類對它的實際應用也很廣泛，造就了他今天的名氣。
( E/ a5 V9 ^- X* `* D" v! D) ]# n5 d
* j6 @4 |# I+ S& u, Y! X參、認識有理數和無理數。         

        黃金比例是無理數 簡單一點的說無理數就是沒有規律的數字，像1/3=0.333333333333是有規律的，所以並不屬於無理數，而e、π、√2的數字，是一個並沒有一定的規律，所以就屬於無理數，例如：： 圓周率 3.14… 、根號…或是不可以用分數表示的，可是有理數是可以的…例如： 整數.小數…那一類的，<完全平方數>﹝完全平方數的性質是一個數，如果是另一個整數的完全平方，那麼我們就稱這個數為完全平方數，也叫做平方數。例如：0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，…﹞ 開根號出來的數，一定是有理數!!!亞歷山大時期的希臘數學學風漸有改變。天文、三角採用小數計算，實用問題不再完全摒棄，小數、分數才納入數的系統。有些人（如：阿基米得）用了很多分數做為平方根的近似值，另一方面，帶根號的「量」偶而也看做純粹的數來處理，但絕不像幾何那樣有嚴格的邏輯基礎。印度人和阿拉伯人更進一步，他們不但把帶根號的量當做數，而且這些數之間也可以做代數式的運算。他們不像希臘人那樣哲學心重，計算的需要使他們只重算，而未觸及無理數的邏輯問題。
  在證明幾何圖形時，有時候有理數不管用，而無理數取而代之，居然很管用。這使我們不得不承認無理數確實是數。亦即，當我們用小數表示無理數，我們發現小數沒有個結尾。既然它是那麼不確定，它就不是真正的數。因此，就像無窮大不是一個數，無理數在表示方面也不是真正的數，不可通約的量取名為“無理數”，判斷有理數跟無理數的分法就是判斷一數能不能化為最簡分數，能化為最簡分數的就是有理數、不能的就是無理數。

    肆、研究黃金矩形。
& Y/ f6 y! W) m. Y

+ V. \% W5 t! ~, z2 b& L1 ^
3 D7 }( e: _6 C4 g
+ ?$ Q7 e- T4 R4 n
# n% t3 m% Y) [( {2 M
: B4 M, n* W2 g/ y5 q+ N0 ]
肆之一、黃金矩形介紹
+ D5 R" H; G6 S7 _+ H
2 }& ^$ R  b# Y2 U8 f
圖四之一
6 x6 E: H( x5 U! m+ b
# \2 w. P7 }1 O$ D, L+ Y3 u- N  _
; F5 ?/ U3 }/ w) e6 ~4 c* `9 o

    黃金矩形就是一個矩形的長和寬呈現1.618：1的矩形，如左圖，黃金矩形有一個特別的特性，那就是如果以寬為新正方形的邊長一直切割下去，就會完成如圖四之ㄧ的圖形，如果在上面加上弧線，黃金螺線就出現了﹝如圖四之ㄧ﹞。黃金矩形還有一個特性：三個黃金矩形可以構成一個正二十面體的頂點，也可以和正十二面體的各面的中心點相重疊。

肆之二、三個黃金矩形的實際操作。

; Z; M) _- {# K' F! p% a6 Q1 B  如果想要了解三個黃金矩形和正二十面體及正十二面體的互動關係，以下為操作的資料。

2 |' o; f8 u9 V/ V8 |) ?0 D9 i) y5 p製作材料：鉛筆1枝、透光性高的硬紙2張﹝因為做正二十面體要1張，正十二面體也要1張，至於透光性和硬度，請見Ⅲ。﹞、雙面都有顏色的硬紙﹝依個人喜好1張─6張，顏色和硬度的問題，原因請見Ⅲ﹞、剪刀或美工刀1把、三角板1個、澆水或雙面膠帶1捲和量角器1個 。
製作程序：
壹、把所要製作的長度擬好。﹝可用費波納西數列﹞

% ~: M4 O/ G% H# o: i& `5 I貳、以黃金矩形的短邊長度畫下來成正二十面體和正十二面體。

7 J: @6 M9 X/ {) _参、把黃金矩形、正二十面體和正十二面體剪下來。

  肆、將黃金矩形和正二十面體或正十二面體拼起來。

我在實際操作時所遇到的困難以及解決：
正十二面體的中心點在各種努力下無法測量的100％精準。
在畫的時候因為鉛筆、尺和量角器的厚度會有多多少少的小誤差，但是積少成多，到最後還是會有無法挽救的錯誤。
外面的紙如果無法讓光穿透，會看不到裡面的三個黃金矩形到底長什麼樣子，那就沒意義了。
就算外面的紙能讓光穿透，看的到裡面，但是如果裡面是白色的就無法看清楚裡面到底是長的如何了，也是一場空。
! x: r! X5 K- `  X7 {/ l; s而且就算是前面的情況都成立了，如果紙的硬度不高，拼湊時很容易彎來彎去的，不方便組裝，而且一不小心太用力一捏很容易毀掉的。
以上就是三個黃金矩形的實際操作。

- g- Y7 L: P( a' y8 A8 c0 _伍、研究黃金三角形。
4 E$ Z2 y7 j$ \+ }1 I6 T

/ y' w( v* z' @0 D0 M

       所謂黃金三角形是一個等腰三角形其腰與底的長度比為黃金比值。我們若以底邊為一腰作一等腰三角形則此三角形亦為一黃金三角形，如下圖。圖中三種不同長度的線段，其中最長的線段（紅色）與次長的線段（藍色）比是黃金比例，次長的線段（藍色）與最短的線段（綠色）也是黃金比例。而這種情況下的三角形的角度成 36。、72。和72。或成36。、36。和108。，有趣的是這種圖在五角星和正五邊形裡無所不 在，像下圖都是有一點有趣得是第一個圖的紅邊背黃金比例切割後的兩個三角形也都是呢！而黃金三角形也可以像黃金矩形一樣可以切出黃金螺線，只不過比較難。



8 O( Y6 }$ g$ v: ~7 W: U2 F
陸、認識費波納西數列。

   十三世紀的意大利數學家費波納西(Fibonacci)寫了一本書叫做《Liber abacci》那是商用的算術和代數手冊。在這本書裡，他提出了這麼一個有趣的問題：假定一對兔子在它們出生整整兩個月以後可以生一對小兔子，其後每隔一個月又可以再生一對小兔子。假定現在在一個籠子裡有一對大兔子和它們剛生下來的一對小兔子，請問一年以後籠子裡應該有幾對兔子？
1 c0 _6 }  U$ B
  讓我們慢慢地算一下。一月底，大兔子又生了一對小兔子，但是第二代的那對小兔子還沒成熟，還不能生小兔子，所以總共有三對。二月底，第一、二兩代的兩對兔子各生了一對小兔子，連同一月底所有的三對，現在一共有五對了。三月底，在一月底已經有的三對兔子各生一對小兔了，連同二月底所有的五對兔子，現在一共有八對了。依此類推，每個月底所有的兔子對數應該等於前一個月底所有的兔子對數（也就是原有的兔子對數）加上前兩個月底所有的兔子對數（這些兔子各生了一對小兔子）。所以每個月底的兔子對數應該是3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、…，每一項都是前兩項之和。現在假定十四代同堂，那麼一年後籠子裡應該有610對兔子了。
' t7 I4 ~9 N, V5 a
% L$ _& b% L. n1 M7 R1 B0 r費氏本人對這個數列並沒有再做進一步的探討。直到十九世紀初才有人詳加研究，其後各方面的文章就像費氏的兔子一樣迅速地增加，而 1、1、2、3、5、8、13、21…這個數列就被叫做費氏數列（最初的兩項代表最開始的一對大兔子和一對小兔子）。現在讓我們看看費氏數列到底和向日葵、帕德能廟、正十邊形、鸚鵡螺等等有些什麼關係： 雅典的帕德能廟 (Parthenon at Athens) ﹝如左圖﹞莊嚴、宏偉、給人以美的感覺，被認為是古希臘最偉大的建築之一。為什麼它會顯得那麼和諧。有人說它的寬度和高度正合於黃金律。報紙、書本度和寬度之比往往接近這個比值，大概是因為在這個比例之下，它們看起來很順眼，很和諧吧!建築和繪畫方面也常利用這個比值來引起美的感覺，這就叫做黃金律。


+ s7 ?' \) m* h# v+ X" G* X
- t/ D/ U2 C4 g# Z
     歷史上，正多邊形的作圖很引起人們的興趣，同時在數學上也佔據相當重要的地位。我們來談談正十邊形的作圖吧!
# @7 U: m/ R" d+ w# _

* Y: c% k. I& B6 r- b圖一
1 q3 |- V- j) E
0 C$ Y* p+ B" z1 |" Z+ K+ G; C如圖一，假定O點是正十邊形的心，那麼OAB是個等腰三角形，它的頂角 ，底角 ，作的分角線BC，則由角度的計算得知OC=BC=AB。又因和相似，得 ，所以 ，這就是說C點將OA黃金分割了。如果給一個一定的長度OA，我們能夠求出AB(=OC)，那麼就可以作圖，而正十邊形的作圖也就完成了。
2 L* Z8 G# u2 V/ T; V* f
) m, e4 g' i2 ?1 D# |但是怎麼樣把一線段AB黃金分割呢?(圖二)，引直線BD垂直於AB，令 ，連接AD，在AD上取DE=BD，在AB上取AC=AE，則C點就把AB黃金分割了。
, x! B7 S! ?0 m4 W: t

& p; L2 O, l4 C圖二

0 }7 {9 {; I6 z4 V! \長和寬之比為 φ 的長方形叫做黃金長方形。這種長方形有許多奇怪的性質。假如我們從黃金長方形 ABCD 的一端把小正方形 ABEF 去掉（圖三），剩下的 CDEF 還是一個黃金長方形。用同樣的方法，可別逐漸步去掉許多正方形而得到愈來愈小的黃金長方形，而黃金分割點 F，H，I，J，K，L， … 都排在一個等角螺線上，螺線的心正好是兩虛線 AC 和 DE 的交點。所謂等角螺線（圖四）就是向徑和切線的交角永遠不變的曲線。鸚鵡螺的外殼、象鼻、羊角、鸚鵡的爪子等等都是成等角螺線形的。

; P! e0 S4 ^5 @% e3 K( Z1 q$ u
, z# P1 p+ ^1 L  w- F) J1 L, a圖三



圖四

     仔細觀察雛菊花蕊的排列，你會發現它們也是成等角螺線形。這種排列可以有兩種看法：左旋的和右旋的。大部份雛菊的左旋數和右旋數是21和34，正是費氏數列的相鄰兩項。松果、鳳梨的鱗片也有類似的排列，而排列數各為 5 和 8 以及 8 和13，也是費氏數列的相鄰兩項。向日葵也是一樣（圖五），通常左旋數和右旋數各為34和55，更大的向日葵則有89和144，甚至144和233的排列數，都是費氏數列中相鄰的兩項。

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圖五
6 y4 H( H. }3 J+ p+ }/ |0 }5 d1 U+ P
1960年左右，許多數學家對費氏數列和有關的現象非常感到興趣，不但成立了費氏學會，在1963年居然還創辦了《費氏季刊》，做為會員發表觀察結果和個人心得的園地，是一份相當學術性的刊物。有人說未爾吉 (Vergil) 和那時候的許多羅馬詩人經常在他們的作品裏應用費氏數列；甚至鋼琴的琴鍵在一個八度音之間有黑鍵五個，白鍵八個！費氏數列到處可見。

     費氏數列相鄰兩項的比值趨近於黃金比律，由黃金長方形又可描出等角螺線，等角螺線又出現在松果、鳳梨、雛菊、向日葵等，而它們的左右螺旋數又恰好是費氏數列相鄰的兩項，自然之造物令人嘆為觀止！
. H7 f" x, a9 L6 r: E3 ~) Y$ [
" J- ]$ V/ N/ ]4 N& C& [* z柒、認識其它黃金比例應用的例子。

一、建築：  
& Q1 {. L$ c; }2 W  Y$ I9 _2 ^
7 V$ P5 J; p4 n- |, ~$ w


% m8 d4 h' x' J8 u7 I! {( |( `
/ p: T1 Z7 `. ]9 W7 p( W9 j! o$ j

  古埃及的金字塔，形似方錐，大小雖有不同，但是金字塔底面的邊長與高的比率都接近於0.618。而近代著名的法國巴黎埃費爾鐵塔，其第二層以下和第二層以上的高度比率是0.618。目前世界最高的建築物是加拿大多倫多電視塔，高553.33公尺，其觀景樓以上和樓以下的長度之比率就是0.618。

<-----巴 黎 鐵 塔
0 O* v  V) `* C& p  多 倫 多 電 視 塔----->
( X2 \) J/ b! C* p: M( B
　
7 }) J7 S+ C! @3 z$ v$ G- V

: \4 m8 m7 N5 s  E

3 C' Z9 E& }/ P; X! k7 {! Z1 j
- H( k% ?& N/ J4 G2 @二、古代證據：
西元1863年的愛琴海小島上，一尊令人讚嘆不已的雕像--維納斯女神，從長眠的地底被挖出土，重新站在世人眼前，她是西元前一百多年希臘雕塑最盛時期的代表作，她的上半身和下半身的比率正是0.618。一般相信，古希臘的畢達哥拉斯學派應該已發現這個比率，在學派的代表徽章-正五角星形(左圖)，連接ABCDE就是正五邊形，其中AC：BC=約0.618。
; H8 Q! E5 Y. R
三、人體比例：

7 V# o( i  i1 b5 ~     人體的黃金比例也是1：1.6，例如鼻子的高(從鼻跟到鼻尖)比寬(鼻孔寬度)，幾頭身幾頭身跟人體的整個黃金比例沒有什麼太大的關係，基本上所謂人體的黃金比例是要把各個部位"分開來討論"的。
他們的研究結果發現世界上公認的美女帥哥，他們的五官和身材比例大致上都符合1：1.6的黃金比例，以往的研究發現，女性的「腰／臀」比例若是達到所謂的「黃金比例 0.7」時，男性就會不由自主地被吸引住。五官和身材比例符合的定義是精打細算　臉部黃金分割：
　　雖然「美」沒有絕對標準，但從希臘羅馬美學及數學家畢達格拉斯理論中，衍生出一套黃金比例的計算方式，此後各家提出多種計算方式，在此統整出一些常見的說法。
　　整體來說，臉的標準長寬度是：臉長=眼睛寬度8，臉寬=眼睛寬度5，最為標準。
# G% y9 E, E! `% k  s* H5 w1 s& F$ J　　著名畫家達文西認為，人臉的比例可由四條平行線區隔出三塊區域，其四條分隔線為髮際線、眉峰、鼻翼及下巴，分為上臉部、中臉部及下臉部。
8 U2 o# D6 N. ?+ k4 Z) V4 L　　一般常見的說法是，此三塊區域的比例是相等的，但以長度來說，下臉部比中臉部稍長、中臉部又比上臉部稍長，才最好看。而額頭的最佳長度，從髮際線算到眉峰，約5至6公分為最佳。
眉目距離適中好傳情。
" s( `* C" V1 z: g7 o, ~7 q3 v7 w　　除了臉部長寬外，五官比例也是影響美貌的重點；其中，會說話的大眼睛最常受到注目。但光是雙眼皮、大眼睛還不夠，與眉毛間的距離，以及眼睛的弧度也是愛美者斤斤計較之處。眼睛的黃金比例為：
" Q, r$ _+ c. a- S) m+ U7 j‧標準的眼睛長度=臉寬1/5。
‧兩眼間的最佳距離為一隻眼睛的長度。
‧眉毛的位置，女性約在眉弓骨上1公分，男性則位於眉弓骨上為最佳。
! v/ t, i' @! f- r‧眉毛至上眼瞼的折襞約為1.6公分。
‧上眼瞼覆蓋虹膜約為2-3mm。
‧眉峰至瞳孔的距離約為2.5公分。
% x! L9 m" w4 Y: W. [4 q‧內眼角與外眼角的平行線差距女性約為4.1mm，男性約為2.1mm。
( M& Q  X4 ^* \- O鼻子高挺突出有準則
# [# V, v7 _! v7 p. B　　鼻子是五官中唯一立體突出的器官，所以標準不只是長度寬度的限定，還包括了角度的美感。
. I1 V3 b( K0 n) h‧鼻子從鼻根部至鼻頭的長度約為眉間至鼻翼的67％。
‧鼻頭的高度為鼻子長度的67％。
' O# n" v$ O5 A, X* w4 O  R‧鼻根部的寬度與鼻翼的寬度等長。
‧鼻頭與人中之間的傾斜角度，女性約為105度至 108度，男性約為100度至103度。
7 ?+ q4 h$ t: `, J‧以鼻根部與下巴下拉長成一垂直線，鼻子隆起的高度與其形成的最佳角度女性約為34度，男性約為36 度。
嘴巴　鼻寬1.5最完美
　　若從鼻尖處下拉一縱切面至下巴，嘴唇的位置應是剛好落在垂直線上，但以東方人來說，下顎突出的特色往往使嘴巴突出於垂直線外。而嘴唇的厚度，下唇厚度約為上唇厚度的1.5倍；嘴巴的寬度約在瞳孔內側的垂直線範圍內，或約為鼻根寬的1.5倍。
. Y4 U+ X6 @2 z( b/ p5 D: t下巴　東方人常見內縮
　　下巴的最佳位置是從鼻子二分之一處下拉一縱切面至下巴處來評估。女性下巴位於垂直線後3mm、男性下巴位於垂直線上最為標準。但東方人常見下巴內縮，所以很少達到完美標準。
耳朵位置大小很重要
% D& P6 O1 F! S; a# K" {　　耳廓的最高處與眉峰同高，耳垂則與鼻翼同高，寬度則約為耳朵長度的55％，且耳廓與耳垂所連成的縱軸，其傾斜度與鼻樑的傾斜度平行，耳廓的邊緣至頭骨約為1至2公分。在人體軀幹與身高的比例上，肚臍是理想的黃金分割點。換言之，若此比值愈接近0.618，愈給與人一種美的感覺。很可惜，一般人的軀幹(由腳底至肚臍的長度)與身高比都低於此數值，大約只有 0.518至0.60左右(腳長的人會有較高的比值)。所以有很多人要穿高跟鞋。   

為了方便說明穿跟鞋所產生美的效應，設某女士的原本軀幹與身高比為0.60，即x：l =0.60。若其所穿的高跟鞋高度為d(量度單位必須與x 及 l 相同)，則新比值是(x+d) ： (l+d)=(0.60 l+d) ： ( l +d)。如果該位女士的身高為1.60米(約5呎3吋)，下表顥示出高跟鞋如何「改善」了腳長與身高的比值：

原本軀幹與身高的比值 身高 高跟鞋高度 穿了高跟鞋後的新比值
: |  o- K. A* s; Z; ?; X0.60 160 2.54(一吋) 0.606
0.60 160 5.08(二吋) 0.612
0.60 160 7.62(三吋) 0.618
( t+ F% N2 L5 c+ x) o5 B' e
9 m4 `- g& f; |5 Z4 G. a


    所以，女士們相信穿高跟鞋使她們更美是有數根據的。

四、審美觀：




　　賞石行為之美感認定當然可以參考此項美感原則，實際運用時，可將黃金比例採用近似值，亦即採 2：3，3：5，5：8，8：13，13：21等比值作為近似值即可。石頭的長寬比、高低比、大小比等若具有此比例關係時，看起來比較平穩而最具美感。
山形景觀石，若以黃金比例視之，山的高度若為3底若為5，此山比較平穩；或山的高度為3，山頂垂直往下到與水平面相交點向左﹝或向右﹞的距離為5，向右﹝或向左﹞的距離若8時﹝也有人說7即可﹞，此山不但平穩更具單側延伸之美；另山的後景與前景的比例若為3：5﹝也有人說4：6即可﹞也是被人認為最穩重而具有美感。

( ~6 F( C  a& |( y9 a$ Y3 A炎炎夏日，最環保的方法，是以紙扇搧走暑氣。在美觀設計上，可以考慮材料、圖案和形狀，如果從數學的觀點，我們可以黃金比例(0.618)來設計一把最富美感的扇子。

& h! O, Z1 ~0 L; B; C0 C設計紙扇張開角度（x度），考慮從一圓形（半徑為r）分割出來的扇度形的面積（A1）與剩餘面積（A2）的比值，
: R& x2 G7 N! y) h4 o
+ p* F) r3 c8 b4 t: J4 l3 ^如果比值是黃金比例(0.618)，便可以找出 x 。
2 P. v$ K# O3 ^* Q& O  Q' M
2 C; P4 R& W' ~3 z. x3 C若＝＝0.618，

則 x≒140度

9 T% N$ p$ v2 ~你可以到市面上，看一看張開角是140度的紙扇是否最美。
. D# d  V% {2 ?7 t5 h" \" ^  n5 i
樂曲的結構上也是，很多名人的曲子，例如：貝多芬和莫札特，他們的曲子中也有一些有著黃金分割的影子。巴哈音樂的準確性及音符的邏輯性無人能出其右，成為音樂領域中「黃金比例」的典範。在被喻為音樂上「舊約聖經」的《十二平均律鋼琴曲》中，巴哈以二十四個大小調寫成四十八組前奏曲與賦格，印證音樂調性自由轉調的可行性。音樂中的黃金比例
4 I; |% \) Z' Y$ o) x, `# y完全一度：完全八度 = 1 : 2
( J, ~2 n1 F1 G) J: ~/ K完全四度：完全五度 = 2 : 3
小三度：大六度 = 3 : 5
0 |, P3 l! P* r5 o# l8 R大三度：小六度 = 5 : 8
- i3 x; u! S2 T/ @- U在泛音列中尚有一近似8：13之比為一大六度音程泛音列中，前五個音便隱含 1：2：3：5：8 的數字比關係

捌、結語

9 h" }8 B( j% t( C( E# f9 z3 [8 G    黃金比例是一個數學的專有名詞，但現在它的地位是比以前高很多的，不但脫離數學，也向不同領域前進，甚至是視覺的最高評審，但是作者覺得只要自己覺得美就好，不一定要用黃金比例。
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" I5 T) g9 ~  D8 M4 ^玖、心得

% F: w9 _' N; I' D& P; }在這一次的獨立研究下，我覺得我對黃金比例的疑惑已經大部分的解決了，不過它的演變歷史悠久和脫離數學領域多元性的改變及對於黃金比例如此深入人類生活是令我非常驚訝的。在這段時間中我曾經想要研究中國的魯公尺和西方的黃金比例是否有關係，魯公尺是一種中國特有的尺它可以用來測量吉兇，古代工匠訂製陽宅建築及廚灶神桌都會依照魯班尺的尺寸，將樑的高度、房的面積(長寬)、門的尺寸等都定位在吉字上。我們研究了一個多月，由於建築物的測量需要取得授權，再加上現成的門窗尺寸大部分與魯公尺無關，經過審慎的思量，我覺得目前如果要對魯公尺和黃金比例做更深入的研究，恐怕力不從心，所以暫時放下有關魯公尺與黃金比例相關的研究。同時我也嘗試過許多的方向，也放棄了很多，而在這樣的過程中我學到很多，希望在這一次的獨立研究發表後，各位能對黃金比例有更多的了解。

river.

黃金比例／作者／ LIVIO, MARIO
  q- v: N- E8 z5 i9 W5 A) ~6 m分類：黃金比例
9 R0 [1 _6 {, G% H5 s/ `$ Z  @# z3 v2008/07/05 08:21
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4 m' r6 x0 m6 X4 h* B, a6 s4 R* _媒體推薦
這部以黃金比例為核心的數學簡史不僅引經據典、耙梳古今中外各種史料與故事，指出黃金比例的無所不在，舉凡西方的五角形、中國的八卦圖、盤懸星系的漩渦、鸚鵡螺的貝殼，都有著它的蹤跡。作者也不厭其煩地進行許多搜證功夫，證明古代偉大建築、藝術與音樂中都沒用到黃金比例，點出數學理論未必萬能的道理，留給讀者不少思索與想像的空間。  

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內容簡介
& i. ~" ^& }! e5 H8 D) |: f兔子的生育、玫瑰花瓣、鸚鵡螺的外殼、鳳梨的外皮鱗片、到巨大星系、《蒙娜麗莎的微笑》、股市指數的波動和現在流行的美體雕塑之間究竟有何關聯？答案是：1.6180339887……，也就是「黃金比例」這個數字。
1 u! @- q8 {) f* K& L% I黃金比例的發現究竟源起於何時？幾乎已不可考。不過，有一點倒是可以確定的，歐幾里德(325-265 B.C.)這位幾何學大師用一條簡單的幾何定理「中未比」就為黃金比例下了完美的定義，即把一條直線(或線段)一分為二，則長線段與短線段之比恰等於完整直線與長線段之比。
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! L2 N9 @8 c  ~$ ?1 S5 L# W黃金比例的趣味或許在於它跳脫了最原始的幾何意義，從數學延伸至繪畫、建築、音樂乃至發展成為對完美人體身形比例的終極追求，搖身一變成定奪感官之美或和諧之美的最高裁判官，相較於多數人可以朗朗上口的π值3.1416，黃金比例顯然與我們日常生活的關係更為密切。也因此，我們容易「眼見為憑」，將許多充滿視覺驚嘆之美的結構，誤判為是依據黃金比例而設計，譬如神祕的古埃及金字塔與雅典充滿簡約風格的帕特農神廟等等，許多黃金數字的狂熱崇拜者全都將之記在黃金比例的豐功偉績裡，但果真如此嗎？本書作者李維歐不僅是一位稱職的嚮導，用平實的語言引領讀者展開這趟黃金比例的深度考古之旅，追本溯源，沿途也發揮科學家的偵探精神，抽絲剝繭，為讀者撥開層層迷霧，直達真相。

■作者簡介

李維奧（Mario Livio）
哈伯太空望遠鏡科學研究所(Hubble Space Telescope Science Institute)科學部門負責人，研究主題廣泛，集中於宇宙學和天文物理學領域。他對星體爆炸、宇宙擴張、黑洞附近的物理過程及智慧生命的出現等議題尤其感興趣。之前著有《加速的宇宙》(The Accelerating Universe)一書；出版超過三百篇的科學論文，經常受邀在史密森博物館(Smithsonian Institution)和海頓天文台(Hayden Planetarium)對公眾演講。目前定居美國巴爾的摩市。

# R: i8 ]- l3 I/ Z' ?■譯者簡介

; C# r' ]7 D' F% r丘宏義
0 Q# c) W8 B4 p) T, ^美國康乃爾大學物理博士，美國航太總署（NASA）哥達德太空飛行中心太空科學家及天文物理學家。退休後專事寫作與翻譯，著有《新封神榜--紂王與妲己》、《吳大猷──中國物理學之父》，譯有《預約新宇宙》、《億萬又億萬》、《抓時間的人》、《數學與頭腦相遇的地方》、《物理學家的靈感抽屜》、《物理與頭腦相遇的地方》、《光錐．蛀孔．宇宙弦》、《宇宙的六個神奇數字》、《量子重力》等書。
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《黃金比例》譯序－從數學到藝術，及我們所知的數學是否萬能？ 文 / 丘宏義
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從上古到現在的數學
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4 x( d) Z2 V+ B! ^4 F本書可是說是一部以黃金比率φ為核心的數學簡史。黃金比率牽涉之廣，幾乎在所有的數學中都插進一腳，即使插進的份量最多可以說是當配角而已。本書提到，圓週率π成為配角或主角的角色可能要比黃金比率還要多得多，可是從任何一點說來，π太「嚴肅」了，沒有φ這麼的多彩多姿。有許多計算π的系列，最準確的的第一項就可以把π算到48位小數。而計算黃金比率的公式只牽涉到5的平方根而已。為甚麼老天爺對數字5特別加以青睞，而對其它的數字如3，7 或者11這麼平淡地對待呢？我想，這也是為甚麼黃金比率會有這麼大的吸引力的原因。
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1 y8 {4 T; s: Q, f/ N各種古文化都知道計數。對我們說來，他們計數的方法可能很笨拙－即使對他們的語言最自傲的法國人，也對他們到現在還在天天用的quatre- vengts（四個二十，即八十）只好苦笑，因為這實在太違背他們發明出的公制的精神了－可是對他們來說，不用「八個十」而用彆扭的「四個二十」是天經地義的事。中國人稱3/4為四分之三，英語則稱為三個四分（three fourth），我們認為他們的說法彆扭，他們也認為我們的說法彆扭。如果把四分之三的中文逐字譯成英文，應當是 four's three(雖然文法較對的說法應當是three out of four，即四個中的三個)。中文把「被屬於X」的某物放在後面，而英文把「被屬於X」的某物放在前面。我想原因大約是，中文的意思是，這某物屬於X，因此X是主人，應當在前面；而西方認為我們講的是這屬於 X 的某物，因此這「某物」為主，應當放在前面。

從計數（序數或數字，見第二章）到認為數字可以單獨存在，不需要物件的抽象觀念，發展最早的在希臘。（中國在很早也建立了這觀念，可是覺得並不太重要，以後也沒有像希臘人那麼專誠地發展。南美的馬亞族 Maya 也發展出同樣的觀念，可是要遲得多。其它的文化也有，有些相當早。）而希臘人對數字的抽象觀念之崇拜到達幾乎有宗教熱誠的地步。各種派別之中以畢達哥拉斯（他的信徙總稱為畢派）為首。他們建立了許多數論，包括證明了無理數的存在。他們認為無理數不應當在宇宙中存在，因此有很長一陣子不得把這秘密洩露出去。畢派也發明了所謂的「中末比」：把一條線分割成兩段，使得長的一段和短的一段的比率等於全線長和長的一段的比率相等。得到的就是黃金比率，也是無理數。傳說一位名為希巴修斯的畢派信徙把這信息透露出去，因而被畢氏信徙把他丟在海中淹死（見第一章）。

如果中末比的故事到此為止，那就是歷史上的另一個壓抑發現的故事而已，下面就沒有甚麼可說的了。可是如作者所說，中末比－現在稱為「黃金比率」或其它帶有「黃金」頭銜的名字－最令人驚奇的地方是，它在想不到的地方跳出來。以一個以5的平方根為主的數字，其後果卻一直延伸到今日，很可能還有許多尚未發現的成果。相比之下，圓週率π的確在幾乎所有的物理公式及理論中出現（其出現之頻繁，使得有些物理理論家嫌太煩了，因此自訂出一個「單位，」4π=1 〔請別問我怎樣去應用這單位〕），可是π卻不會像黃金比率在想都想不到的地方冒出。如上所說，π在數學及物理公式中的出現似乎是不能沒有的，可是－原諒我說一句毀損π的話－在許多情形中，就像食之無味，可是棄不得的雞肋，或者是不能沒有的盲腸，到處都不嫌其煩地出現，可是又不能沒有。天知道在不知道多少的數學及物理的考試中，因為遺落了這麼一個煩而不能不用的π，有多少學生丟了分數或被「當」掉。而從另一方面來說，黃金比率－數學遊戲式的線的分割－非但在五角形及西方認為，和中國的八卦圖一樣有避邪功效的五角星形中出現，居然也在植物的葉子的安排，向日葵的葵瓜子的安排，盤旋星系的漩渦，鸚鵡螺的美麗盤旋貝殼，物理上的準晶體，如何鋪不重覆花式的地磚，理論上養育兔子的「兔口」等等風馬牛不相及的命題中不請自來，成為趕也趕不走的不速之客。

最美的矩形，神的比率，文學及藝術的規範 我在上初中時（1944 年，在福州），一位很好的數學老師趙省身在幾何課上講到以黃金比率製成的矩形，只提了一句，說這是最美的矩形。這句話一直銘於我的心中。我真的拿起筆及直尺來，畫出黃金矩形。可是我嫌它太寬一點，要窄一點就好看一些。也許我覺得我自已的審美觀點不夠格，就沒有再繼續下去，也不敢向「權威」挑戰。當時所有電影銀幕的縱橫比都是3：4=1：1.25。所謂35mm相機的底片的縱橫比是1：1.46，可是在美國印出來的相片的典型尺寸是（以英吋計，1英吋= 2.54公分）3×5，4×6，5×7，8×10，11×14，縱橫比各為：1：1.67，1：1.5，1：1.25，1：1.27。沒一個是黃金比率（3×5的較接近，可是有人嫌太小一點）。現在還在用的電視系統採用以前的電影銀幕的縱橫比的格式，即1：1.25。
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& T$ `. g& |( q/ Y" s1 J9 [) T有人告訴我，這樣的縱橫比會使人看上去要胖些。（對性感或美麗的女明星這當然是壞消息，因為又加上對她們體重的要求。）而呼之欲來的高分析度數字型的寬銀幕格式的縱橫比為9：16 = 1：1.78，比黃金比率又要大上不少。現在美國用的紙張（8.5×11.5吋）的縱橫比是1.35，而台灣用的A4紙的縱橫比是1.39，都和黃金比率 1.618…差上一大節。最接近黃金比率的是美國稱為「法律文件紙 legal size，」大小是8.5×14吋，縱橫比為1.65。較接近黃金比率，可是一般人都嫌太長。因此，無論怎麼說，似乎「最美的（黃金）矩形」在實用上無用武之地。就就令人懷疑，是否真的是那麼美。如果真的那麼美，為甚麼不用。因此，我很高興，在這本專論黃金比率的書中，並沒有把黃金比率捧到像皇帝的新衣服一樣，看成「美的至高規範。」按本書所說，心理研究似乎決定不出甚麼是最美的矩形的規範。

本書給我印象最深的是，作者不嫌其煩地做了許多的搜索及考證，證明在古代的偉大建築，藝術，及音樂中都沒有用到黃金比率。不如說，因為（第六章）一位中古時代的作家柏奇歐利寫的《神的比率》一書，使受了基督教的教義熏陶了將近兩千年的歐洲人一聽「神」就「生畏，」有意識地或下意識地把黃金比率認為既然是神的比率，一定神聖不可侵犯。到現在，如本書所說，有許多黃金比率的熱衷迷不惜纂改歷史藝術以資可以把「神的比率」安在不應當安上的地方。可是，似乎只有少數幾位的藝術家真正地用到黃金比率，如第一章中達里的畫《最後的晚餐聖餐》。後來有些法國藝術展抬出了「黃金」的大名，可是只是用這名詞來做招牌而己。實質上和黃金比率沒有甚麼關係。

0 j5 y$ A4 E8 \$ u如果能平心靜氣來想一下，絕對的「美的規範」實在是個太籠統而沒有實質的觀念。舉一個例子，有沒有一個美麗的女人的絕對規範？如果到藝術博物館去看，每一個時代都有一個不同的美的規範。中國歷史上認為最美的女人大約是唐朝的楊貴妃。可是以現在的標準去衡量，她大約應當去減肥學院中好好地去減上十幾磅（連白居易在「長恨歌」中都提出暗示式的「洗凝脂」）。要說文學（或藝術）有一個絕對的美的規範，更可笑了。中國古代的駢文之美，到現在還在贊之不絕。可是有沒有現代人去寫？我們經常罵某人太落後，用的是「八股」兩個字。在清朝初年時這種文章的文風（破題，承題，起講，提比，虛比，中比，後比，大結等八段）的確也流行了一陣子，因為可以  →下一頁...〉
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) J* x3 {4 D5 N7 ^9 C把一個題目有條有理地寫出來。可是最後就變成形式化，所有的文章看上去都千篇一律。再最後就把「八股」變成罵人不合時代的話了。如果張畫都硬放進黃金比率，最後也會流於形式化，一旦流於形式化，就成為一個模子出來的。西洋畫家自文藝復興時期以來，畫風不知道改變了多少。把一個畫的畫風幾乎完全開拓完之後，就再去開拓另一個新彊土。最初把希臘神話的題材用盡後，就開始畫風景，畫災禍，發展光與影的技術（如第八章中所提到的佛彌爾，見第八章註 2），再下去發展印象派，過一陣子變成後期印象派，等等。音樂亦然。舉幾個例子。巴哈（Johann Sebastian Bach, 1685-1750）建立了音樂的和音風格。海頓（Franz Joseph Haydn, 1732-1809）發明了交嚮樂。莫札特（Wolfgang Amadeus Mozart, 1756-1791）以他的奇才，把自巴哈以來的音樂幾乎都開拓了。到了貝多芬（Ludwig van Beethove, 1770-1827）又更進一步地開拓出新風格出來。在他開始時（如第一及第二文嚮樂）可以聽出海頓及莫札特的影子，可是到了第九文嚮樂時，已經可以看出後來音樂的趨向了－可以聽見布郎姆斯（Johannes Brahms, 1833-1897）的樂音（應當說，在布拉姆斯的音樂中可以聽到貝多芬的樂音）。貝多芬能脫離經典音樂的傳統，創出一個極美的新方向，加上他的旋律及音樂總體之美，難怪稱他為樂聖。從這些看來，藝術不在於模仿，而在於天資的創意。在這種前提下，要硬把黃金比率放進去，是不可能的事。作者做了徹底的工作，證明黃金比率根本在藝術中沒有地位。黃金比率的地位乃是上面所說過的，在最想不到的自然現象及數學中出現，非但出現，而且還能導出一大堆表面上看來風馬牛不相及的學科，而最後都能聯繫在一起。

當然，有些藝術家一成不變（可以說以不變應萬變）。一位德裔美籍的著名現代畫家約瑟夫‧阿爾伯斯（Josef Albers, 1888-1976）就如此。他自稱他自五0年代起的後來二十年中，他的畫的畫局都相同，即一個正方形套上另一個；一共套了四個。其中一張附在下面（這張畫出現於美國一張最近的郵票上）。變化就在於色彩的對比。可是如果別人去學他，一張畫都賣不出去，因為這是他的創作。別人是模仿。（本書的圖 82，取名為《百老匯布基-烏基》的現代畫，有類似的格調。）

而在音樂中，更不能拘泥於一個簡單，和樂理無關的格式。我在第八章的註17中講到一些。作者提到一些規定了長短音節的音樂，可是都不能持久。幾十年前在台灣有人搞電腦（計算機）音樂，流行了短期後，立刻被淘汰了。問題是，這不是音樂，也不是藝術。這是以新奇為標榜的「匠術，」當然不能持久。

中國古畫，畫了幾千年，還是畫同樣的山水人物。最後流於形式。國畫大家如齊白石的畫之可愛，乃是他能脫離這些形式。一般都認為，每位畫家都應當有自己的風格。如果不滿意，就可以自創一風格，如反抗當時傳統的立體派。要不對西洋繪畫的歷史熟悉，會下這種很外行的評語：《裸女》中一點都看不到女人，頭在這裡，臂在那裡，畫不像人，等等這些外行話。（第八章討論了一些近代西洋現代畫，這位作者顯然對西方的繪畫很有修養。）
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1 e; Z1 f- g6 `/ X" M6 y; G) ~因此，一點不奇怪，黃金比率在藝術甚至於文學中都很少出現。一拘泥於某種形式，就把創意限制住了。詩也是一樣。我在第七章註20提到為甚麼以前格式化的詩已被新詩所取代的原因。任何藝術文學作品，一旦格式化之後，就受到了許多的限制。在開始的時候，因為大部份的彊土都是沒有被探測過的處女地，這些限制的因素還不十分明顯。到了作品多的時候，就覺得到處都受到限制了。

river.

另種數學密碼 碎形：以小窺大
分類：碎形
, D0 }: a9 }2 [/ I5 `2008/07/19 16:47
- s* a7 W7 M6 e5 s; N% M
另種數學密碼 碎形：以小窺大
, v2 U9 n0 z% O1 n
除了費氏數列外，「碎形」也是自然界中極常見到的數學規則。所謂碎形，簡單講就是具有不規則形狀的物體，放大或縮小觀察時，仍然會「自我相似」；例如雲朵，若將其中一小部分放大，看起來會跟一大朵雲很像。
' g+ l- Y  y8 {0 G3 A1 E4 F
) u- V. d* ]) X2 ]1 \, L雪花 是碎形代表
) |9 j/ F; D7 b  G- X/ o
台大數學系教授謝南瑞指出，「碎形」是法裔美籍數學家曼德布洛特在1970年代提出，自然界中最有名的碎形就是雪花。雪花六角形構造，其實是正三角形的每一邊，中間1/3突出，另成新的正三角形；而六角形的每一邊，中間1/3又會再突起，再成為新的正三角形。

由於雪花若不斷重複「每一邊中間1/3突起成為一個新的正三角形」的過程，用顯微鏡將某一小段邊界，放大很多倍來觀察，會跟用肉眼看到的某一大段一模一樣。這也就是數學的「卡區曲線」。

& R, ^) p4 [) _7 D3 R% B樹枝海浪都常見
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- `) w2 g; X  H$ ]1 ]( B# @3 ]3 Z; S2 \自然界中常見的碎形還有河流、血管、樹枝的分岔、海岸線、海浪等；聲音也有碎形；中山大學海洋生物研究所教授方新疇說，槍蝦的叫聲間隔變化，也是碎形，可能是槍蝦內在資訊的表現。

" |, D& b! A% a7 b* Q3 D( U/ [可辨抽象畫真偽

碎形定量化標準叫做「碎形維度」，台大物理系教授陳義裕表示，碎形維度不是整數。
- e0 j" D  m# e$ p
8 h, D) o' \/ F2 T& y$ F碎形不只出現在自然界，美國知名抽象畫家帕洛克的很多幅畫作，都有相同的碎形維度，只要檢驗碎形維度，就可知是真品還是贗品。

river.

聖經中隱藏的"碎形(Fractals)"
分類：碎形
' T3 k* x! w$ Y2 m. f0 Y2 Q2 s8 R  ^2008/07/25 23:14
0 ?7 _3 ~0 D% L8 e
   什麼是 “碎形”
  _  C/ n: W2 C- S
9 B3 m  ~8 d0 O0 |& p碎形 (fractals)，
! M4 c$ b) {/ I, _0 t  T4 s簡單的說，是在大約十多年前，人們利用計算機能做高速計算的特性，來處理一些有疊代性 (recursive) 的式子，所繪出來的圖形。這些式子通常非常的簡單(如 Zn+1 = Z2n + c，待會會說明其意義)，但也有複雜的如非線性微分方程等。這些式子要看出他們的”解” (如式子 X-5=0之解為X=5) 的集合，在空間裡長的是個什麼樣子，是很困難的，因為這些式子都太古怪了。然而，借著計算機的幫忙，人們可以輕易地將這些式子的解的集合，繪在電腦螢光幕上，並從而看出這些古怪的式子，所含有的奇異的特性。視領域的不同，碎形及其相關的問題也被稱為 “混沌” (chaos)，”非線性動力系統” (nonlinear dynamics)，和 “複雜” (complexity)。
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5 a, j$ z% K( V+ n" p$ Q在碎形的圖案裡，一些很常被人提及的有 Mandelbrot set (曼德布洛特集合)，Julia set, Cantor set, 等等 [註1, 註2, 註3, 註4, 註5, 註6, 註7]。
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& |1 T7 ^* Z' |9 V從這些碎形的圖案，我們可發現到他們都有一共通性，就是似乎都會一再重覆它自己的圖形 (自我模仿 self-similarity)，從最小的，到最大的。其結果是經由一再的疊代運算，造成極為複雜的巨觀圖案。重要的是，由於它是不斷的疊代的運算，前一次的結果會代回原式子去算得下一代的結果，因此只要一點點的改變 (如某項變數前的參數由2變為1.999)，就會在數次疊代之後成為淘天巨浪，翻騰在你所給的式子裡。它一會兒使你得到一個如而結果成為一個可能和原式子的結果是完全不一樣的圖案波浪般的圖案(圖一)，一會兒又會產生一個有如蜈蚣般的圖(圖一)，一會兒水像個水母(圖三)，甚至可以“產生”出一片美麗的樹葉(圖四,圖五)，甚至於整個灌木叢 (圖六)。
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注意，以上圖的樹葉為例，整片樹葉的形狀和一個分支出去的小片的是一樣的，和一個分出去的小小片的形狀還是一樣的，如此不斷的重覆下去。這些圖案的產生，並不是用所謂的電腦繪圖來繪出來的，而是用一個如假包換的非常簡單的疊代式子所產生出來的，如

. G) Z; k1 Y% u9 y3 C. T5 j    Zn+1 = Z2n + c
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其中，Z為一複數 (例如 1+2i)，而c是一個常數，Zn+1 是由Zn代入後算出來的，當然Z0是已知的一常數。甚至一些 landscape (山、雲、風景) 亦可由這些看起來相當簡單的疊代式子可以得出。

9 i4 g: z( f; Y$ {  K% F這實在是件不可思議的事，因為直覺上，一個波浪，一叢灌木，一片雲，一個島嶼，甚至一副太空星球的landscape，應該絕對不是一堆有什麼相干的東西，可是怎麼偏偏他們的產生，可以由看起來差不了多少的簡單式子，就可以產生了呢? 原來，這其實正說明了大自然的造物主，用了一個一貫的方法，來產生出表面上看起來，是那麼不同的東西。而並不是像人們過去所以為的用不同方式造出萬物。我們可以由一個生物學上的例子來看這種碎形圖案背後所代表的意義。以一片樹葉為例，我們剛說過，它是由於不斷的疊代入一個簡單的式子而得到的。我們將這個對應到生物成長中基因的控制的機制: 一切的生物的長成皆受其本身的基因的控制。好像我們的手指頭，在我們成長的過程中，我們指頭的細胞會一直分裂成長，而指頭和指頭中間的部分，則是長到一個程度，就自動停下來了 (否則那就叫做長出蹼來了)。這完全是受控於基因的關係，我們的DNA因分裂而複製出RNA，RNA又用來製造出蛋白質，或脢，或酵素等的物質，如此一層層的長上去而成為我們一個個的個體，我們吃下去的東西又經過消化、分解，而再成為構成DNA和RNA的原料，如此循環不已。看到這裡，您有沒有開始覺得這個過程，非常類似碎形圖案裡產生碎形的方式呢? 事實上，他們的確是非常的類似，都是用recursive的方式，來製造出自身的每一個部分，也都是由其內部的某種pattern來控制外觀的長像，這pattern在生物體是DNA，而在碎形則是那個recursive的簡單式子。只是在生物體裡，這個和萬物都有關的碎形的根基 - recursive式子，化作DNA的形態，存在人體裡頭而已。當它在別的物體裡 (如無生物)，它就用了另外的方式表現出來。

在 Los Alamos 實驗室工作的費根堡 (Feigenbaum) 甚至在一次意外中，驚異的發現了一個奇特的常數，這個常數和其他所有的宇宙常數 (如 圓周率，自然對數) 一樣，有一共同特性，就是他們都是無限循環的無理數。這個被稱為 “費根堡常數” 的數，也有這項特點 (它約等於 4.6692016090…)，且不論所討論的問題的domain 是什麼，滾滾流水也好，晃動的鐘擺，電子振盪器，甚至生物圈，或股票市埸裡，皆可看到有此一常數的存在 [註1, 註2, 註3, 註4, 註5, 註6, 註7]。

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   生物體中的碎形
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/ m7 G$ O. |( d( A, @碎形還有一個奇妙的特性，讓我們先以一個問題來開始: 想想看有什麼樣子的東西，會是有非常非常大的表面積，卻同時有非常非常小的體積呢?
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) F$ f- i; ?/ c/ T6 x4 B* i照這樣一直重覆挖空下去，它的表面積就會極大，而所佔有的實際體積又極小。無疑地，他是碎形的一個例子。我們人和動物身體裡的肺，其實正是這樣的一個東西! 為了充足的供應我們做劇烈運動時所須的氧氣，我們人類的肺部的大大小小的肺氣泡若張開成一個平面，其面積要像一個網球場那樣大的一個面，來吸收氧氣才夠我們的所須。然而，如何將這麼大的一個平面的東西，塞到我們的身體裡? 而且還不能佔太多身體的空間，因為身體裡還要放其他的器官啊! 這時就須要用到碎形的方法，如剛剛那張圖所示。這樣，肺這個器官就可以塞在人體裡，而又佔了一個頗小的空間而已。
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* q$ P" f. _. ~3 d8 T; T& v在生物體裡還有許多類似的碎形的應用。譬如血管；我們體內有許許多多的細胞，而平均而言，每兩到三個細胞之間，就必需要有血液流過，透過極小極細的微血管，將養分送到每個細胞。否則的話，細胞便死掉。人體有那麼多的細胞，血管得要多長才行呢? 而且重要的是，他會佔掉身體多少百分比呢? 結果由於血管的構造，也是由碎形的方式，大血管分成小血管，又分成小小血管，…… 一直下去。用這種方式，人的血管只佔去了我們身體的 5% 而已，真是不可思議！另外，像腸裡面的絨毛，腦細胞等等，都是由這種碎形的方式，使得不但能達到他們的功能，卻又只佔去了身體的極小的體積。

* h: H8 U* V; \至此，我們可以簡單的推論，大自然在創造一切的生物和無生物之初，早已使用了所謂的 “碎形” 的方法，來造出物體的樣式，這也是為什麼目前，碎形的研究人員都認為 “碎形無所不在”的原因。
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, o1 |4 s4 Q* l" e% u    我們來看看聖經中碎形的表顯
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了解了什麼是碎形，讓我們來看看它和聖經有什麼關係。我們首先對聖經作一小小的簡介。聖經是由一卷卷的”書”合成，共有66卷 (包括新、舊約)。每一卷”書”，其實並非我們一般所想的一本厚厚的書那樣，而只是記載了一段歷史，或者傳記，甚或詩歌，散文之類的書卷，譬如說，聖經的第一卷書是”創世記”，第二卷書是”出埃及記”，最後一卷書是”啟示錄” 等等。這66卷書是一共由四十多位作者寫出來的。這四十多位作者的第一位（約三千五百年前）到最後一位 (約二千年前)，間隔了大約有一千五百多年的時間。所以大都是不同時代的人，也有一些是同一時代的人寫的。所以他們之間，當然有許多是不認識的 (連面都不可能見過)，也有些是認識的。聖經雖是經由這些人的手所寫的，但基督徒都知道，也承認聖經是由 神的靈在背後啟示這些人，才能使他們寫的出這樣的一部看似平面的話語中 (書是一種二度空間的知識的表達 (knowledge representation))，背後的靈意又含有超高維度的複雜的書。由這麼多人寫的一本書 (早期的作者當然甚至不會知道後來他的作品居然被後人稱為”聖經”)，按照常理判斷，應該是互不太相干的，或甚至是雜亂無章的，因為他們絕無法事先計劃好來寫一部書，因為他們是不同時代的人! 譬如說，我們怎麼可能叫諸葛亮(三國)，孔子(戰國)，李白(唐)，成吉斯汗(元)，蘇東坡(宋)，乾隆皇帝(清) 等人，合寫一部小說，故事情節還要貫穿一致，高潮迭起，有頭有尾，複雜到每一段，甚到每一句話，在一個作者自己的部分沒有說明的，卻都可在別的作者(不但可能是在他之後的，也可能在他之前的作者的)部分裡，找到解釋。任何人都會認為這是絕不可能的事。但是，我要告訴您，聖經就是這樣的一部書，且他的複雜度，還遠非這個例子可以表達出來呢! 因此，基督徒都相信聖經雖是借由人的手寫的，但聖靈才是真正的作者。

聖經的複雜度太高了，然而卻又用了表面上非常淺易的方式，將真理表達出來。雖然沒唸過書的人，要讀懂他也並不吃力，可是就算是拿了諾具爾獎的大科學家，信主四十年，讀聖經讀個四十年，也不能盡歸窺聖經的全貌。是的，他就是如此的神奇 (否則那個基督徒願意去相信這本書是神所啟示的話呢)。
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現在我僅就我個人所看到的聖經中的碎形的部分，拿出來與諸位談談。我且從例子開始。這裡有一段聖經”創世記”裡大家所熟知的一段話:
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(以下 x:y 之x表”章”，y表”節”；如2:4表示第2章、第4節)

2:4 創造天地的來歷、在耶和華 神造天地的日子、乃是這樣．

2:5 野地還沒有草木、田間的菜蔬還沒有長起來、因為耶和華 神還沒有降雨在地上、也沒有 人耕地。
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2:6 但有霧氣從地上騰、滋潤遍地。
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2:7 耶和華 神用地上的塵土造人、將生氣吹在他鼻孔裏、他就成了有靈的活人、名叫亞當。

& d9 T  x) {. L2 b2:8 耶和華 神在東方的伊甸立了一個園子、把所造的人安置在那裏。

2:9 耶和華 神使各樣的樹從地裏長出來、可以悅人的眼目、其上的果子好作食物．園子當中又有生命樹、和分別善惡的樹。
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2:10 有河從伊甸流出來滋潤那園子、從那裏分為四道。

2:11 第一道名叫比遜、就是環繞哈腓拉全地的．在那裏有金子、
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8 w; \  N2 k) D9 w4 e& K) B) \2:12 並且那地的金子是好的．在那裏又有珍珠和紅瑪瑙。

2:13 第二道河名叫基訓、就是環繞古實全地的。

: g: o  _0 K( p5 `& J/ K) ~- S2:14 第三道河名叫希底結、流在亞述的東邊。第四道河就是伯拉河。
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" a0 u/ t. ?# W! u1 m' E" u2:15  耶和華 神將那人安置在伊甸園、使他修理看守。

& [  I8 p$ ~1 n0 g2:16  耶和華 神吩咐他說:”園中各樣樹上的果子、你可以隨意喫．
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5 t0 G/ |. k( E, W3 \2:17 只是分別善惡樹上的果子、你不可喫、因為你喫的日子必定死。”

2:18  耶和華 神說、那人獨居不好、我要為他造一個配偶幫助他。
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2:19  耶和華 神用土所造成的野地各樣走獸、和空中各樣飛鳥、都帶到那人面前看他叫甚麼．那人怎樣叫各樣的活物、那就是他的名字。

7 v- _" o1 u' n3 G) ?! g( ?" Z2:20  那人便給一切牲畜、和空中飛鳥、野地走獸都起了名．只是那人沒有遇見配偶幫助他。
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2:21   耶和華 神使他沉睡、他就睡了．於是取下他的一條肋骨、又把肉合起來。

' I8 ^. G# E. ^* l5 y2:22   耶和華 神就用那人身上所取的肋骨、造成一個女人、領他到那人跟前。
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; b# d9 I# G$ {( o2:23   那人說:”這是我骨中的骨、肉中的肉、可以稱他為’女人’、因為他是從男人身上取出來的。”
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2:24  因此、人要離開父母、與妻子連合、二人成為一體。
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! A3 v" j" U+ H0 w2 t) _2:25  當時夫妻二人、赤身露體、並不羞恥。
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9 d3 k- Z: ^+ H& V3:1 耶和華 神所造的、惟有蛇比田野一切的活物更狡猾。蛇對女人說:” 神豈是真說、不許你們喫園中所有樹上的果子麼。”

3:2 女人對蛇說:”園中樹上的果子我們可以喫．

% T" l3 }" I( ^5 _9 p4 y! r3:3 惟有園當中那棵樹上的果子、 神曾說:’你們不可喫、也不可摸、免得你們死。' "
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% V& `4 z( o9 z) B7 d1 R6 w3:4 蛇對女人說:”你們不一定死、

" g& C. N% c' z6 l- c0 A3:5 因為 神知道、你們喫的日子眼睛就明亮了、你們便如 神能知道善惡。”

1 O$ s) s/ Y5 p, A( z7 S3:6 於是女人見那棵樹的果子好作食物、也悅人的眼目、且是可喜愛的、能使人有智慧、就摘下果子來喫了．又給他丈夫、他丈夫也喫了。
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, X; m) H, p5 f$ }, `+ C& G3:7 他們二人的眼睛就明亮了、纔知道自己是赤身露體、便拿無花果樹的葉子、為自己編作裙子。

3:8 天起了涼風、耶和華 神在園中行走。那人和他妻子聽見 神的聲音、就藏在園裏的樹木中、躲避耶和華神的面。

3:9 耶和華 神呼喚那人、對他說:”你在那裏?”

" g6 t9 t4 m( c5 Z9 T3:10  他說:”我在園中聽見你的聲音、我就害怕、因為我赤身露體．我便藏了。”
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3:11  耶和華說:”誰告訴你赤身露體呢? 莫非你喫了我吩咐你不可喫的那樹上的果子麼?”
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3:12  那人說:”你所賜給我、與我同居的女人、他把那樹上的果子給我、我就喫了。”

; G9 m8 e* _9 r3:13  耶和華 神對女人說:”你作的是甚麼事呢?” 女人說:”那蛇引誘我、我就喫了。”
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) p4 l5 \7 _/ S, E% S6 g3:14  耶和華 神對蛇說:”你既作了這事、就必受咒詛、比一切的牲畜野獸更甚、你必用肚子行走、終身喫土。
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( E% M8 H; U4 j: M5 ^9 O& c- e3:15  我又要叫你和女人彼此為仇、你的後裔和女人的後裔、也彼此為仇．女人的後裔要傷你的頭、你要傷他的�旄�。”

3:16  又對女人說:”我必多多加增你懷胎的苦楚、你生產兒女必多受苦楚．你必戀慕你丈夫、你丈夫必管轄你。”
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3:17  又對亞當說:”你既聽從妻子的話、喫了我所吩咐你不可喫的那樹上的果子、地必為你的緣故受咒詛．你必終身勞苦、纔能從地裏得喫的。
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7 L$ J, k: i" L; n7 e( h, B( a3:18  地必給你長出荊棘和蒺藜來你也要喫田間的菜蔬。
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' h+ ~, [' J& N" h$ R0 Q+ `0 w3:19  你必汗流滿面纔得糊口、直到你歸了土、因為你是從土而出的．你本是塵土、仍要歸於塵土。”
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3:20  亞當給他妻子起名叫夏娃、因為他是眾生之母。

: S4 S! c1 K( ]- u7 z% A3:21   耶和華 神為亞當和他妻子用皮子作衣服、給他們穿。

3:22   耶和華 神說:”那人已經與我們相似、能知道善惡．現在恐怕他伸手又摘生命樹的果子喫、就永遠活著．”

3:23   耶和華 神便打發他出伊甸園去、耕種他所自出之土。
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3:24   於是把他趕出去了．又在伊甸園的東邊安設基路伯、和四面轉動發火燄的劍、要把守生命樹的道路。
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# q3 g1 Q/ w/ A/ n這段聖經的敘述，相信很多人都聽過，當你看過去時，看出了什麼特別的結構嗎? 我們在不信的時候，常對這段裡描述的事情，嗤之以鼻，因為對這一段聖經有太多的疑問，譬如人怎麼可能是這樣造的? 神既然不希望人吃善惡樹上的果子，為何要放那棵樹在伊甸園? 他是神，他怎會不知道亞當吃了那果子沒有，還要問亞當? 神說人吃的日子必定死，亞當吃了，可是亞當怎麼沒死?…… 諸如此類的問題，光從這一段聖經，我們就會有一堆問題。

要知道答案，如前面所提到的，聖經對問題的探討，都是分散在各處，各卷書中的，所以光看這裡一小段聖經的話，當然得不到答案的。記得我剛提過聖經是一部奇特的書嗎? 它的問題和答案都是散佈在各卷書中的，一個問題的答案，常常並非在一處可找到，而是要在許多處才能找到，所以要回答聖經的問題，若沒有對聖經看過至少幾遍，是沒法掌握住什麼概念的。而我們提過這些各卷書，又大多是由不同人所寫，他們寫的時間又在不同時代，而妙的是這些散布在各處的答案，合在一起來看，卻是沒有多餘的，也沒有不足的。而整本聖經充滿了這樣的問題與答案，所有這些問題與答案的核心，又全指向”基督”。所以看起來，真像是一部極高維度的書；一部自我滿足，自我完整的書 (self-contained)!也是一個高維度的拼圖，要將各處的片斷拼在一塊，就可看到一付完整的圖畫。而這個圖，又是更大問題的答案 (也就是我們這裡所謂的圖畫) 的片斷而已。他們又可以拼出更大的圖畫，希奇嗎! 這讓你感覺到了一點 “碎形” 的影子了嗎? 我沒法在此處細談聖經的結構與其複雜性，盼望有興趣的人，自己來體驗。讓我們還是回到我們的主題。

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6 m8 Z4 S5 m; f9 }回到上面的一段聖經，讓我們將他重新稍做整理如下:
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' H8 c& b9 U6 h4 w) G. ?9 h2:7                                    A. 神造人、又賜給人祂的靈。
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2 a: p/ ~. p" g% j2:8-15                              B. 神立了伊甸園、讓人去管理。

2:16-17                          C. 神禁止人吃善惡樹的果子。
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2 H' Y' F, g  \2 `6 I$ q2:18                          D. 神造一個配偶賜給人。

2:19-20                    E. 亞當為被造物命名。
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2:21-25                F. 神設立夫妻關係。

3:1                 G.蛇性狡猾，引誘女人。

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3:6b         I.男人犯罪。

- k- q) O" q$ a- V3:7       J.人發覺自己赤身露體。

0 K3 _' X! D: P4 k3:8    K.神來親近人，人卻躲藏
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) d. v. I/ `3 M# w. R- V& z3.9   L. 神向人呼喚:”你在那裡?”

+ o+ |6 j2 H( O# i5 p3:10   K'. 人躲開神是因知道自己犯了罪
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- i8 W0 t$ D. a: m- B; o3:11      J'. 神從人的赤身露體知道人犯了罪。

9 Y( g7 Z7 e6 ^4 ~* G) ~3:12         I'. 男人企圖掩蓋罪過。
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3:13            H'. 女人企圖掩蓋罪過。

3:14-15              G'. 神處罪蛇。
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; s, e  k- i0 R4 l) A! T: c2 I( B3:16-19                 F'. 神處罰夫妻，但保留夫妻關係。

3:20                       E'. 亞當給妻子起名。
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3:21                          D'. 神為夫妻作衣服。
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3:22                             C'. 神再禁止人吃生命果。

( U: T9 n; J! B5 [3:23                                B'. 神把人趕出伊甸園、人要自己去耕種。
( O) T( J) K8 L4 u) w- q! s3 \4 v8 A6 _
% C9 X' [" X6 W; K4 j) P. ^3:24                                   A'. 神看守生命的道路。
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) A) D' }6 V/ f. P" U. x9 m　

看到這樣的整理，你發現了什麼嗎? A 對應到A’，B 對應到B’，……，而正中央的是 神向人呼喚: 你在那裡? 兩邊的經文，成對的圍繞著中央這一句話。而中央這句話正是千古以來，神一直向人發出沈痛的呼喚，呼喚人出來，承認他的罪性、悔改、得生命。這些經文是有這麼清楚的對稱性，可是在前面的時候我們讀過去，卻一點也沒發現! 或許你會以為這只是個特例，倒底聖經中這樣的結構有多少呢? 結果是令人驚訝的，聖經裡面充滿了這樣的結構。有興趣的你，可參看[註8]。該書中只列出舊約前半部的所有章節的對稱關係，而其實其他的各卷書，甚至一直到新約，這樣的pattern仍然一直出現，甚至以更為隱藏的方式出現在聖經中。譬如說，新約的第一卷書是”馬太福音”。在馬太福音裡，記載了許多耶穌說的話，這些話可分散在五個段落:
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% G+ b  M+ C0 O4 h" y6 M                第五至第七章: 登山寶訓

        第十章: 傳講天國的福音
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    第十三章: 耶穌講天國的奧秘
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        第十八章: 天國的生活
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. E, R/ j! n, `. H7 x7 D                第廿四至第廿五章: 末世的預兆
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這五段話，相當的長，看過去更難發現他們的內容上是互相呼應對稱的，也就是第一段和第五段的內容是對稱的，第二段和第四段是互為對稱的，中心點是第三段，也就是”天國的奧秘”。告訴我們天國像什麼。而很有趣的是，在這第三段 (第十三章) 中，耶穌用了七個比喻，來形容天國像什麼；這七個比喻又是前後兩兩對稱的。您可以到這裡來查看聖經的內容，讀讀看其中的對稱關係是多麼的隱密。
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其他，像約翰福音裡頭，在洋洋灑灑長達二十一章的文章裡，耶穌提到了七個”我是…”，這七個”我是”，又是前後互為對稱的:
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+ j# p, m) f+ i" I2 b            我是生命的糧 (第六章三十五節) ------------------------------- 糧

/ ~$ i1 j/ b  l; b/ F8 \        我是世界的光 (第八章十二節) --------------------------------- 指引

    我是羊的門 (第十章七節) --------------------------------------- 門

/ h. s' C# ~4 v1 K5 D我是好牧人，好牧人為羊捨命 – 又指向基督 (第十章十一節)
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    復活在我，生命也在我 (在原文中有”我是”的字；第十一章廿五節) - 門

. b1 x, o1 h( e# i7 z: H" p- Q4 r        我是道路、真理、生命 (第十四章六節)---------------------------- 指引
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            我是真葡萄樹 (第十五章一節)   --------------------------------- 糧
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這些個 "我是"，分散在不同的章節裡，是在談不同的事情時提到的，很難想像一個人如果只憑自己的意思，如何能夠將這些個 "我是"，安排的恰到好處，在該出現的時候，就出現了，而且七個 "我是"，還要互相對稱!
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在聖經中的對稱，還不只這些拘限在一處的、語句上的對稱呢! 還有太多太多橫跨整本聖經，意義上前後互相呼應的呢! 舉一簡短的例子:

            神造人在樂園裡
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8 V5 v. l8 o# S5 V7 J- f        亞當犯罪，所有人陷入罪中
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    基督死, 基督復活
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; u9 G# m0 t, Y: ?# ?( L        洗淨所有人的罪

: U% ]# x( t5 t# H+ l            恢復與神和好
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2 E! o) l: X+ n. {/ r所以整個聖經，及其在靈裡面的含意，好像一個個小圈圈，這些小圈圈可能是聖經某章的某些節，小圈圈的中心是基督，而許多小圈圈又圍著一個大些的圈圈 (可能是幾章，甚或一卷書)，大圈圈的中心仍是基督，大圈圈又圍成更大的，又圍成更大的，…… 如此一直下去，中心一直是基督。就如同碎形裡，同樣的pattern一直自我模仿，從最小的尺度，到最大的……。這也就是許多的聖經學者和解經家，為何會說聖經裡，不論是66卷書裡的那一卷書，或是那一章，甚或是任一段文字，乃至於任何一句話裡，都有基督的影子。譬如，我們可以從亞當這個人身上看到許多基督的影子 (對映於基督的關係):
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1 L$ U7 r- L; e7 u. u      亞當:                                       基督:
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屬血氣者的祖宗   ------------------ 屬靈者的祖宗

在亞當裡人人都被定罪 ------------- 在基督裡眾人都得稱為義
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& M2 a" i1 N3 X+ {% u$ D+ ~  q因亞當人都遠離神  ----------------- 因基督人得與神親近
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" L1 F; `5 @& P) {* J% h  Q因亞當人都要死亡 -----------------  因基督人得以復活

因亞當人都被逐出地上的樂園-------- 因基督人得以進天上的樂園

: H5 m7 y- X6 w9 v6 J& a# T因亞當人都伏於撒旦的權下---------- 因基督人都得以勝過撒但

因亞當地受咒詛而生出荊棘---------- 因基督戴荊棘的冠冕而地得贖
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亞當的皮衣，保暖------------------ 基督的義袍，遮蓋罪
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+ C. R' F7 r; Q. z8 o% Z6 Y皮衣取自被殺的牲畜---------------- 救恩因基督的死而成全
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亞當與夏娃------------------------ 基督與教會
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4 U) d' `( L& A其他的聖經人物，如亞伯拉罕、以撒、雅各、約瑟、摩西、大衛、所羅門……等，全都預表基督的某個方面，因此也都與基督有類似的呼應關係；甚至連以色列人的整個歷史，也呼應到基督徒信主以後的靈裡面的路程 (所謂的 “靈程”)。整個聖經也呼應到我們的靈程，若單獨看舊約或單獨看新約，也表現出每個人信主的靈程，每卷書，甚或一章，一節，亦是表示我們靈程的某個階段。還不僅僅表現基督這一個主題而已，我們若以救恩的角度來看，同樣的，聖經裡的任何一個大部分，或小部分，甚或以色列人的整個歷史，仍然也表現出救恩的影子，………。其他的主題亦然，如罪，生命，義，審判……等。這就如同在碎形裡，我們一般所說的例子，如果將一天的股票上下震動的變化情形劃成一個表，再將一個月的股票震動情形也劃成一個圖表，也將一年的股票劃成一個圖表………，我們會發現這些表看起來沒有多大的差別，若不告訴我們那一個表是一年的，那一個是一天的，我個絕無法從圖表看出來。像天空的一片雲，也有這個特性，一片大些的雲，或是很小的一片雲，外貌上看起來總是差不多。聖經中表現出來的碎形，亦復如此。這是聖經中的碎形。

而我們在前面提過，碎形有一個奇特的功能，就是能將本來是極大的東西，塞在極小的空間裡，看起來，聖經裡也使用到了這個奇特的方式，來交待 神要告訴人的話。因此，聖經能讓人有永遠讀不完的感覺；從古至今，不論是信主幾十年的，讀了聖經幾十遍的，或是神學教授，教了聖經幾十年的，沒有人敢說他能完全了解聖經 (儘管這本書看起來並不算太厚)，我想或許就是因為它如同碎形，可以在任意的尺度上游走，使得這本書的複雜度，遠超過任何一個人所能了解的吧!

聖經告訴我們，這個宇宙是神所造的，聖經也是神所啟示的 (聖經中也的確這麼說)，那麼神在造宇宙上面，和啟示聖經上面，都用到了相同的，也是最基本的方式 (碎形)，實在是極其自然的事，不是嗎?
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: f7 W: L! \3 G5 v最後，別忘了，聖經是四十多個人，在不同時代裡寫的 (他們寫的時候，還不知道他們自己的東西以後要變為聖經呢!)，所以若沒有聖靈在背後運行，如何有可能做的到呢? (而這裡所談的也只不過是和"碎形” 相關的部份而已。尚有其他太多奇妙的特性，無法在此一一敘述。) 更何況，整個舊約所談的，幾乎全是以色列人的歷史，誰能讓一個民族的歷史，投映到一個由基督、救恩、贖罪……等概念，所匯聚而成的一個巨大的聖經的碎形裡呢? 奇哉! 妙哉!

  F& ?5 v! m# \) r$ D% S談完了聖經中奇異的碎形的表現，我必須要提醒各位看官的是，聖經是 神所默示的一本書 (提摩太後書三章十六節)，因此它蘊藏了豐富的科學知識，有些很明顯可以看出來，有些是隱藏著的，甚至有些連現在的人類也未能完全明白的。但更重要的是，聖經是一本講「生命」的書，因為 神賜予人生命，祂最盼望人能得著的，就是 “生命”，但這個生命，並非我們一般人所以為的肉體的生命，因為肉體的生命是會毀壞的， 神所盼望我們得著的是“靈”裡能活過來，只有靈裡活過來了，人的生命才會豐富，才能得著基督裡豐盛的生命，而脫離那永遠填不滿的黑暗 (耶穌說: 我就是道路、真理、生命)。至於聖經中隨處出現的一些科學性的話語，他們就像是 神隨意撒出的一些與創造宇宙萬物時用到相同方法的一些方法 (methodology; algorithm) 或概念而已，這些科學性的話語和思想，可供我們這些不太相信真有神的人來把玩，並進而認識神。但這些個科學的東西，決非聖經中所主要要探討的問題，我們千萬別對聖經有錯誤的認識。豐盛的生命才是基督來的目的: “我來了，是要人得生命，而且得的更豐盛” (約翰福音第十章十節)。