距离的模式是一个谜，但速度的模式却清楚得多。球开始时以50 米/秒) {+ J7 p8 C6 G c
的向上速度出发，1 秒后速度减到大约40 米/秒；再过1 秒，速度是30 米/
/ W% S2 D* y/ w9 h- X秒；然后是20 米/秒，10 米/秒；最后是0 米/秒（静止）。再过1 秒后，球' b1 E7 _ V( D+ T. U* r9 p
向下运动的速度是10 米/秒。采用负数，我们可以把这当作-10 米/秒的向上
+ f$ S& M, m* p+ |% c速度。随后的数秒，球继续向下运动：-20 米/秒，-30 米/秒，-40 米/秒，
- O6 m- ^- C4 o Q－50 米/秒。最后球触及地面。因此，每隔1 秒测得的速度序列是：
% C k# U7 Y, q* D# }! a50，40，30，20，10，0，-10，-20，-30，-40，-50 ( i% U; \1 q! N; j3 o" \+ t7 e
现在有一个几乎不会被忽视的模式，但让我们再进一步来看一看加速度。就
z! K! A- r1 J+ b. U. k炮弹的加速度而言，相应的序列（用负数代表向下运动）是
* f; v; e: f" T# [7 c-10，-10，-10，-10，-10，-10，-10，-10，-10，-10，-10
. `- C& Q. w8 R我想你会同意，这模式极其简单。炮弹向下的恒定加速度为10 米/秒2（真& O% H2 t* N1 b% C
正的数值约为9.81 米/秒2，这取决于你在地球上的什么地方来做这一实验。
4 i6 b! z% D ^但10 比较好记）。8 M/ O4 ]; H6 C
我们如何来解释隐藏在动态变量中的这个常数呢？当其他所有变量都在
/ _% I+ Z& w5 Y1 m* ^3 G* k, q: h发生变化时，为什么加速度不变？一个引人注目的解释分成两个因素。第一
; a$ `' P1 I% o' U个因素是地球引力一定在将炮弹向下拉，即存在着作用于炮弹的重力。预期
3 _; |/ r9 l/ |3 s/ D3 |' W这个力在距地面不同的高度上保持相同是合理的。确实，由于重力把我们身
+ b$ \2 `0 ]& k: E体向下拉，我们感受到了重量。要是我们站在高楼的楼顶，我们仍然有相同- ]+ A9 |6 N9 ^! E5 ?6 Z
的重量。当然，这种日常的观察并未告诉我们倘使距离变得足够大——如大- x: C- v) r# p+ O4 ?
到月球与地球之间的距离——会发生什么情况。不久我们将回到这个问题上
/ B0 _7 ?2 N. u/ v1 f4 H1 W j* B9 i8 T来。
6 J M- y, ]& x: U# A. I第二个因素是真正的突破。我们有一个在不变的向下力的作用下运动的
' B+ N) O( r1 e7 Q) c9 S) N5 I: H物体，并且我们观测到物体的运动有一个不变的向下的加速度。为方便起见， + G J- Q# Q; C) n
我们假定重力强一些，这样向下的加速度也大一些。我们没有到过重力较大+ k% {6 |) F& j1 I# R
的行星，如木星，因此无法验证这一概念，但它似乎是合理的。同样有理由/ k* k( v& ~6 Y/ o
假设木星上向下的加速度也是常数，但它与地球上的常数不同。与这一真实
+ z: @, d; A2 Q' d9 e' W实验和理想实验混合物相容的最简单理论是，当一个力作用于物体时，物体
3 h& X; N" W" P具有一个正比于该力的加速度。这正是牛顿运动定律的核心。唯一缺失的成2 o ?' u8 Y8 c2 J3 v
分是，对一切物体和一切力，无论这些力是否保持不变，这一假设总是正确，
( H) r' ^8 ^9 H- a并且比例常数的确认与物体的质量有关。准确地说，牛顿运动定律表述为： & P- X5 j3 G: ~7 x/ o
质量×加速度=力/ I' E( c2 K8 G; e0 \ T+ c4 [
这一定律的巨大价值在于，对于任何质量和力系统，包括随时间改变的质量
" i; i. R# w2 o9 x7 {和力，它都有效。我们通过论证得出这个定律的时候，未曾预料到这种普遍# y# T- A" N$ `+ O
性，但结果正是如此。
7 \; X! m; {' e! X! y) }" @$ S牛顿表述了3 条运动定律，但现代研究把它们视为单一数学方程的3 个
* b7 _2 z+ ~9 S7 s2 V侧面。所以我将用“牛顿运动定律”这个短语指代这3 条定律。- O( j+ m. O# m% O v5 H/ @
每当遇到一座山时，登山队员的自然冲动是攀登它；遇到一个方程时，
) P4 T; p9 _4 Q6 I5 C6 y数学家的自然冲动是求解它。但怎么解呢？已知物体的质量和作用于物体上* Y+ o: g( v* g9 g% E
的力，我们不难解这个方程，求得加速度。但这是对错误问题的解答。已知: w) O# p( I2 z! W9 N. Z+ B
炮弹的加速度总是-10 米/秒2，这并未告诉我们关于弹道形状的任何明显东
2 X, Z# \+ j3 T! ^, f1 L西。这是名为微积分的数学分支一显身手的地方，牛顿（以及菜布尼兹）为
/ E9 B, g \# W' o& C- [8 I$ X此才发明了微积分。微积分提供了一种方法，如今叫积分方法，它使我们能 i7 E' J# z/ T. o
从任意时刻的加速度得出任意时刻的速度。我们同样可以用它来得到任意时, [2 Z2 M' K/ s* {' `
刻物体的位置。这才是对正确问题的解答。
( Q6 i; a6 y0 B. J+ b我前面说过，速度是位置的变化率，加速度是速度的变化率。微积分则' ^& T. L/ u! N1 Y, M+ ^" [
是被发明出来处理变化率问题的数学方法。尤其是，它提供了求变化率的方
4 Q7 l0 e4 x! X9 ~6 }- O7 d法——微分方法。积分“消除”微分的效果；积分两次消除微分两次的效果。
6 [0 B/ K+ Q7 G. ^& M' q* g好像罗马神杰纳斯（Janus）的两张面孔①朝向相反，这些孪生的微积分方法
; K/ y" U- f; b' a0 c# a作用相反。如果知道任一时刻任意一个函数——位置、速度和加速度，就可0 z$ O7 O7 ?% u9 d, [- x5 h1 ?
以算出另外两个函数。
: m! `: J8 X/ e/ P牛顿运动定律给我们上了重要一课。这就是，从自然定律到自然行为的9 B; M. N0 Q7 r" w3 R* ~& b; @$ C
道路不一定是直接的、明显的。在我们观察到的自然行为和产生这些行为的
t. c: d1 |& I, n; _+ \9 T自然定律之间是一道鸿沟，人类心智只能借助数学计算来跨越它。这并不表
% S8 ]. W7 U9 l$ b' f' g p明自然界就是数学；不表明“上帝是数学家”[物理学家保罗·狄拉克（PauI
& x8 e2 A0 r2 ]' A2 X3 lDirac）如是说]。或许自然之模式和规律有其他起源，但无论如何，数学对
1 r/ }2 W& b+ s于人类把握这些模式是一条极为有效的途径。, i+ k5 N1 q/ d1 }
贯彻牛顿的基本思想，即自然界中的变化可用数学过程来描述，正如自, X o+ T* M" q' J. u- M+ ^
然界中的形式可用数学上的事物来描述一样，所发现的物理定律都有一个相
& D& }% V( L5 a1 M5 j5 b( J% W. V! q似的特征。这些定律都以方程的形式表述。方程不是与最初感兴趣的物理量
" j7 c5 P" S' e1 ?6 X% ^6 y% I有关，而是与那些物理量随时间变化的速率或那些速率随时间变化的速率相9 J; n' {& f, F: ^% ]. l7 W
关。例如，决定热量如何通过导体的“热流方程”是关于物体温度的变化率# _" f; I, r/ G4 U+ n) x
的方程；支配水、空气或其他材料中波运动的“波动方程”，则与波高的变
% w, o0 R* h! g. l9 r6 @化率的变化率有关。光、声、电、磁、材料弹性弯曲、流体流动和化学反应" y( `% Q/ l0 W3 T/ [
进程的物理定律，都是有关各种变化率的方程。) M' \3 K$ j% Z
由于变化率涉及某个量的现在与将来某时刻的数值之差（ difference ） ，
* ^* {, E1 D# j所以这种方程叫微分（ differential ） 方程， 微分0 k f" K! `& ]/ \
（differenti-atiOn）这个术语就是这样得来的①。自牛顿以来，数学物理
^ }& ?6 q+ t$ K% M- M学的策略成为用各种微分方程来描述宇宙，然后求解方程。
0 G; a/ |/ W ~7 S/ ^, _6 r$ S+ d4 @. r然而，随着我们把这一策略用于更为复杂的领域，我们对“求解”这个, U7 t# x9 x+ C' U; ~% C4 U, q
词的认识经历了一系列重大变化。最初它意味着找到一个描述系统在任意时
* |; v3 b% a h+ y# d b& {刻的状态的准确的数学公式。牛顿发现的另一个重要的自然模式——万有引7 Q; d" n) ^$ Z+ G
力定律——就是建立在这种解的基础之上。他将开普勒发现的行星以椭圆形. H! {. Q1 w2 T
轨道运行与另两个也是由开普勒发现的数学规律②相结合作为开始，然后探" o1 Q) G2 U+ w0 o+ Y
究作用于行星上的什么样的力必然产生开普勒发现的模式。实际上，牛顿试0 h( T& R3 X' c) J. Y7 j$ W& e
图由自然行为反推自然定律。他运用的是归纳过程而不是演绎过程。他发现. U( T+ v5 V8 {% M/ K
了一个美妙的结论：所需要的力应当总指向太阳方向；力应当随行星至太阳- R8 A! D, S0 i- d6 P! `
的距离增大而减小，并且，这种减小应当服从一个简单的数学定律——平方
' D: Z$ m- k$ _" X3 @反比律。这就是说，例如，这一距离加倍，作用于行星上的力就减小到四分
/ _3 v) K) v/ i7 h; z0 C; z! `之一；距离成3 倍，力减小到九分之一；以此类推。这一发现是如此美妙，
- O0 a, [9 T+ k) i以致它肯定揭示了关于这个世界的深刻真理。从这一发现出发，与认识到必
( z( ?* @% N; I9 r0 C, X* o- u; J然是太阳产生这个力仅一步之遥。太阳吸引行星，假如行星远离太阳，则吸
0 j% P! g$ o, q- ] P' g" Q引力变弱。这是一个很动人的思想。牛顿又实现了一个巨大的智力飞跃：他
+ v, J: v' o, v$ d5 W认为同样类型的吸引力必然在宇宙中任何地方任何两个天体之间存在。
: N, T( l) k) I至此，牛顿“归纳出”关于力的定律以后，才通过演绎行星运动的几何" A; `, V0 p4 P, \* f& t/ F" E
学来自圆其说。对于服从平方反比律的两个相互吸引着的天体系统，牛顿求; Y! w# R/ }- W
解根据他的运动定律和万有引力定律给出的方程。在当时，“求解”意味着0 i5 E- ?& T0 {: C" Y
找出其运动的数学公式。公式表明，天体必须围绕其公共质心以椭圆形轨道
6 n% J9 \0 Q s8 E. P4 S$ J4 D) E运动。当火星以一个巨大的椭圆形轨道绕太阳运行时，太阳却以一个小得其6 D) K$ N- D4 K" _
运动很难被察觉的椭圆形轨道运行。与火星相比，太阳的质量要大得多，这
# ^ {9 p0 l. H% k! m0 ^+ G& D使得两者的公共质心位于太阳表面处，这便解释了开普勒认为火星以椭圆形
7 ~0 m' v% e0 Q5 t2 ?轨道围绕不动的太阳运行的原因。" L0 |/ d( c4 o7 V
然而，当牛顿和他的后继者试图再接再厉求解三体系统或多体系统—— ( D0 w$ O" S- ~% a% {- |% q
如月球/地球/太阳系统或整个太阳系——的方程时，他们遇到了技术上的困
; b( e2 m" u6 B6 a难，而且他们只能靠改变“求解”这个词的含义来摆脱困境。他们找不到精, W* V- ]9 g0 r" p+ x l
确解出方程的任何公式，因此只得放弃这种努力，而企图找到计算近似值的& e h+ `8 S8 Q' ~
途径。例如，在1860 年前后，法国天文学家夏尔-欧仁·德洛内（Charles-
5 Z0 U8 F6 N, H' w+ W8 |Eugene Delallnay）用了几乎一本书的篇幅得到了一个在地球和太阳引力的
: H% p1 R, S' e' a+ Y/ {- C作用下月球运动的近似解。它是一个相当精确的近似，所以它有一本书的篇
. i( Y L7 c) A! x( T幅，而且德洛内花了20 年的时间才得出这一近似解。1970 年，用符号代数
$ ]6 f1 |; o( @9 d计算机程序核算它时，仅用了20 小时。在核算中只发现德洛内犯了3 个不严
# ~, f7 u) K+ W8 A: C' u2 L重的错误。
& G& D8 ]. `5 c8 t, J# g; g月球/地球/太阳系统的运动由于显见的原因叫做三体问题。它完全不同
; ^# y2 M% m8 o6 c# X8 N8 S于由牛顿干净利落地解决了的二体问题，以致于就像是在另一个星系或另一
. J7 \( L# J9 J V# Z6 z) C, m个宇宙中另一颗行星上发明出来的东西。三体问题寻求描述在平方反比律万
: F9 d+ L3 l& F# }& O/ `: H( L有引力作用下3 个天体运动的方程的解。数学家几个世纪来一直想找到这样( U/ ~ N9 l1 `8 r1 a
的解，但除了得到近似值（如只适用于像月球/地球/太阳这样的特殊情形的
+ w8 k6 ?/ k8 N3 L德洛内近似）之外，未取得多少引人注目的进展。甚至连所谓的限制性三体2 k, Q4 I$ h5 W' g$ N
问题，即其中一个天体质量很小，可以认为它对另两个天体不施加任何力， 4 z4 K9 b3 z4 P9 x# x; U
都被证明完全无法逾越。这是第一个重要的暗示：了解定律可能不足以认识
& {, n! @: C) s7 Y6 w$ ~7 @系统的行为；定律与行为之间的鸿沟可能不总是可跨越的。( I- C9 L0 y' e
牛顿之后过了3 个世纪，尽管付出了巨大的努力，我们仍然没有得到关" M( x3 v) [3 `7 F4 U. L0 U
于三体问题的完满答案。不过，我们终于明白了这个问题为什么如此难以攻 W& ]; `/ C& ?) d2 E! @- H+ J
克。二体问题是“可积的”①——能量守恒定律和动量守恒定律把解限制得
) h, D- M7 ` ?5 @3 [8 |) H6 T相当严格，解被迫取一个简单的数学形式。1994 年，佐治亚理工学院的夏志" b& S- d) X3 {8 }8 l& M0 T4 h
宏（Zhihong Xia）②证明了数学家长久猜测的命题：三体系统不是可积的。# j6 ?( m* r6 p& D( f A5 ^. a
通过证明三体系统呈现一个由国立莫斯科大学的弗拉基米尔·阿诺德; ]8 ?+ w$ e" r% [
（Vladimir Arnold）于1964 年首先发现的名为阿诺德扩散的奇怪现象，夏6 z* A7 j0 k! \& V
志宏确实取得了不小的成果。阿诺德扩散在相对轨道位置上产生极其缓慢的
+ p$ m8 g7 O4 w. I; w5 }4 [% ~“无规”漂移。这种漂移并非真正无规，它是如今称之为混沌的一类行为的+ V* b0 S1 `# l+ A) q
一个例子。混沌作为貌似无规的行为可以用纯粹确定性的原因来描述。
8 `; T/ h- _. G9 l" q; L' O在此，我想请读者注意：这种研究再一次改变了“求解”的含义。起初( D8 {4 U: k% Z& o
“求解”这个词意味着“求公式”，后来其含义变成“求近似数”，最后它' Y7 F. t. C1 m" ^
实际上变成“大致告诉我解像什么样子”。我们用寻求定性解答取代了寻求
$ M9 S) l* _( l' T& A) ^3 F) p4 {7 c定量解答。在一定意义上，正在发生的事好像是一种退步：要是求公式太难，
7 J3 U. A* W' Y8 [就试着求近似；要是近似不可得，就试一试定性描述。但把这种进步视为退/ v1 Z6 E! D. I" ~2 Z/ A# j) w2 e9 `
步是错误的，因为这种含义变化给我们的启示是，对于像三体问题这样的问) X7 B* @7 F1 F, _2 U+ ]
题，不会存在任何公式。我们可以证明，存在着公式不能抓住的解的定性内5 E( Z' v# X# B+ e0 e( C7 g% B2 m
容。在这种问题中探求公式就是寻找海市蜃楼似的东西。
L' m/ h# @% s* ~: T) V) e为什么人们首先想要得到一个公式呢？因为在动力学的早期岁月，那是0 }" z; b) Y& P" w" {
证明何种运动存在的唯一一条路。之后，同样的信息可以由近似导出。如今， M9 u- W0 w2 p/ ~1 Y" f
它可以从直接又精确地处理运动的主要定性方面的理论得到。正如我们在后
7 g2 i1 b! w5 m" A面几章将看到的，这种向明显定性的理论的转变不是退步，而是一个长足的8 z$ O) ^8 I. u6 t2 z: L$ \
进步。我们第一次开始按照自然的本来面目认识自然之模式。 |
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发表于 2008-6-12 08:25:09
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发表于 2017-5-27 14:47:00
版主这个老帖，前后来回读了不下三次。有意思。受启发了。谢谢
发表于 2008-6-13 01:57:07
楼主
在大学只学了 基本的数学 看来高等数学要成我的死穴了的 
