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发表于 2008-9-23 22:53:37
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为了产生新的和谐音,回顾一下前面说的一对八度音和谐的理由是近似于共鸣。数学理论告诉我们:每个音都可分解为由一次谐波与一系列整数倍频率谐波的叠加。仍然假定 c 的频率是 1 ,那么它分解为频率为 1,2,4,8,…的谐波的叠加,高八度的 c 音的频率是 2,它分解为频率为 2,4,8,16,…的谐波的叠加,这两列谐波的频率几乎相同,这是一对八度音近似于共鸣的数学解释。由此可推出一个原理:两音的频率比若是简单的整数关系则两音具有和谐的关系,因为每个音都可分解为由一次谐波与一系列整数倍谐波的叠加,两音的频率比愈是简单的整数关系意味着对应的两个谐波列含有相同频率的谐波愈多。( M% q% N9 x+ K! A9 u d
/ N$ O/ B4 \/ Y" C$ I& f2 g# {; }: x6 j
次于 2∶1 的简单整数比是 3∶2。试一试,一根空弦发出的音(假定是表 1 的 C,且作为 do)与 2/3 长度的弦发出的音无论先后奏出或同时奏出其效果都很和谐。可以推想当古人发现这一现象时一定非常兴奋,事实上我们比古人更有理由兴奋,因为我们明白了其中的数学道理。接下来,奏出 3/2 长度弦发出的音也是和谐的。它的频率是 C 频率的 2/3,已经低于 C 音的频率,为了便于在八度内考察,用它的高八度音即频率是 C 的 4/3 的音代替。很显然我们已经得到了表 1 中的 G(so)与 F(fa)。
" q i' ?' d$ N# E4 _: q
" p- b) h/ w& q. `; B; s 问题是我们并不能这样一直做下去,否则得到的将是无数多音而不是 7 个音!
1 Q/ W0 o' s& B: m
8 t1 _ A# e6 i 如果从 C 开始依次用频率比 3∶2 制出新的音,在某一次新的音恰好是 C 的高若干个八度音,那么再往后就不会产生新的音了。很可惜,数学可以证明这是不可能的,因为没有自然数m、n会使下式成立:, }9 u3 O" s' M( q
' c; K/ ~) @; M; ]6 {
(3/2)m = 2n # l! |; v P" i6 W. K
7 y2 n3 l7 d$ h3 L
此时,理性思维的自然发展是可不可以成立近似等式?经过计算有 (3/2)5 = 7.594 ≈23 = 8,因此认为与 1 之比是 23 即高三个八度关系算作是同一音,而 (3/2 )6 与 (3/2)1 之比也是 23 即高三个八度关系等等也算作是同一音。在“八度相同”的意义上说,总共只有 5 个音,他们的频率是:2 U% e7 a5 k6 p8 `" w& f
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1, (3/2), (3/2)2, (3/2)3, (3/2)4 (1)
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折合到八度之内就是:
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q9 Z3 ]* j9 N* W/ @5 M 1, 9/8, 81/64, 3/2, 27/16 3 P( B W8 }) P) `
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对照表 1 知道这 5 个音是 C(do)、D(re)、E(mi)、G(so)、A(la),这是所谓五声音阶,它在世界各民族的音乐文化中用得不是很广,不过我们熟悉的“卖报歌”就是用五声音阶作成。) O- ~8 k4 n- g5 \6 J
8 z: Z# }9 x+ G 接下来根据 (3/2)7 = 17.09 ≈ 24 = 16,总共应由 7 个音组成音阶,我们在 (1) 的基础上用 3∶2 的频率比上行一次、下行一次得到由 7 个音组成的音列,其频率是
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(2/3), 1, (3/2), (3/2)2, (3/2)3, (3/2)4, (3/2)5' k" }8 C- x- V6 s) g( P- a8 D* B7 s
* x5 k, ^& J( J) d1 p2 z- |折合到八度之内就是:
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1, 9/8, 81/64, 4/3, 3/2, 27/16, 243/128 9 A) ~& _' _; w4 b2 F
; r: x( T/ U! `* O9 _得到常见的五度律七声音阶大调式如表一。
' `7 D) P1 s6 c" }% a9 W" \
" ?+ I7 L1 J, P2 L3 H; }( Y 考察一下音阶中相邻两音的频率之比,通过计算知道只有两种情况:do-re、re-mi、fa-so、so-la、la-si 频率之比是 9∶8,称为全音关系;mi-fa、si-do 频率之比是 256∶243,称为半音关系。 |
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