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转横山春雨帖9 m! R. F* x9 S4 h% _# M3 u5 {
3 H- [; o _. t8 X6 x4 g1 u3 F& p中国传统文化的数学基础（一）) O8 } c, T' N
2 S) U- e/ ~8 x* V+ v& t----论八卦、五行、天干地支、二十四节气、洛书与黄金分割的内在联系 " y! T! p, V! s( X5 J; F6 }- z6 Y
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+ `% ]# u6 l9 c2 z- ]# a" k5 o0 _中华传统文化源远流长，整体和谐、发展演化、相反相成是东方文化思想体系的重要组成部分。* T/ E4 o6 [, E# b) M
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一、黄金分割与斐波那契级数
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, T8 b4 g0 c# F: v$ a# S（一）黄金分割! C# `- E( q( [4 ~8 N" q
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黄金分割数是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯发现，后来古希腊哲学家柏拉图将此称为黄金分割。把一条线分为两部分，此时长段与短段之比恰恰等于整条线与长段之比，其数值比约为1.618 : 1或1 : 0.618，即长段的平方等于全长与短段的乘积。% C8 |0 i% k. v A& a
0 g9 s2 N* A; L黄金分割数是一个无理数，由公式为x2+ax-a2=0可以推导出，其极值为（√5±1）/2，即0.61803398…著名的斐波那契级数，后项与前项的比值与这个值无限接近。. y, |. Z# `& n% w- x: r+ M" ~0 {7 F
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(二)斐波那契级数- s Y7 W( k8 r& j( y: w
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斐波那契级数：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377……意大利中世纪数学家斐波那契(1170-1240)提出。随着数字的增大，两数间的比值越来越接近黄金分割率，通项公式： ; B. o8 E' t' z$ M: o( h K, v. t
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这个数列有如下性质：. L: N4 J+ l' `6 L% h
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1.从第3项开始每一项均为前两项之和；第10项开始，相邻两项之比接近黄金分割数，尤其从第12项开始至后，前后相邻两项比值的小数部分均为0.6180…无限接近于黄金分割无理数；
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* c9 _) S# ?' c7 z- t2.数列第5n 项和第12n 项（n为正整数）的值与本项序列号具有相似性，即可以整除，如第5项5÷5、第25项75025÷25、第12项144÷12余数为零。: ]# }: l# ]1 R8 j" ?
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二、阴阳学说与斐波那契数列的哲学联系：7 Q" y' a! O+ J3 e0 p D9 u! n
- b3 R3 ?. g1 q# C对立统一规律是大自然的普遍规律，是事物发展的源泉和动力。中国传统的阴阳学说与西方的对立统一思想（较早的代表人物毕达哥拉斯、赫拉克里特、亚里士多德、黑格尔等）有共同之处:都承认事物具有相对立统一的两面性。我们生活在一个既相互对立、又相互统一的环境里，春去春来、日升日落、呼吸、走路、开门关门…大到银河系旋臂围绕银心旋转，小到电粒子围绕原子核运动，没有对立统一，我们这个世界就无法存在。 D2 @" g) g" {* l! z
/ ]: _' |+ H; c/ @2 e' x2 y+ e+ y对立统一学说中关于事物的发展是是这样描述的：发展的本质是新事物的产生和旧事物的灭亡。如果我们把事物发展分作A、B、C、D、E…若干阶段，在A的基础上，新生事物B萌芽并逐渐发展，相对来讲A为旧事物，B和A对立统一的结果是旧事物A消亡，新生事物B取得主导地位；当A消亡、B取得主导地位以后，新生事物C萌芽并逐渐发展，相对来讲B成为旧事物，C和B之间对立统一的结果是旧事物B消亡，新生事物C取得主导地位…如果用数学公式来表达，则C=B+A, D=C+B, E=D+C，F=E+D…这很类似于斐波那契级数的性质，即后一项等于前两项的和。% s9 P; c" Y4 n- `. P
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在斐波那契数列中，第一项和第二项都是“1”，实际上无论第一项和第二项取任何值，数列相邻两项的比值都将无限趋近于于黄金分割常数0.618（或1.618）…例如：第一项任取2，第二项任取5，则数列为2,5,7,12,19,31,50,81,131,212,343,555…，第11项与第12项的比值为343/555=0.618…；第一项任取11，第二项任取7，则数列为11,7,18,25,43,68,111,179,290,469,759,1228…,第11项与第12项的比值为759/1228=0.6180…, N+ Y! h! z' a) g7 k
* K$ }( ^5 c5 d# G. ?7 {! O由此可知，相互对立统一的两个方面，无论它们初始的差距有多大，在对立统一发展的过程中，它们相互之间的关系总是无限趋近于平衡、和谐。9 ^" J& a+ X) U5 |
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三、八卦、传统历法与斐波那契数列和黄金分割的关系
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（一）八卦、十二地支、二十四节气与斐波那契数列的联系3 \( o& k" c4 ]! a( @+ H9 [
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易经的核心思想--阴阳学说是中华传统文化的根本。事物发展的一个完整周期分为从开始到高潮、又从高潮到结束两个过程。这两个过程就是互相对立又互相统一的关系。也就是说事物的发展是以“2”为周期的，即事物发展到第二个阶段结束就会回归到与原来起始点相似的状态。在这里，我们用2进制即以2为除数，去除斐波那契数列，得到的商表示完整的2阶段周期，为方便省略不写，只将余数记下来，就会得到：1、1、0、1、1、0…可以看到每隔3位数，数字就会重复。如果事物是以黄金分割的方式（即整体和谐的方式）发展的，那么在以2阶段周期的基础上，事物的发展过程可分为3个阶段，相邻的两个阶段之间符合黄金分割数。
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以此为基础，可以将事物发展过程再细分为若干阶段，即以3为进制，如同以上的方法用3除斐波那契数列，余数得到如下数列：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0…得到以8阶段为周期的事物发展过程， 8个阶段每两相邻阶段之间的发展也符合黄金分割比例。9 l- T: F7 V& L1 I
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同理，以8为进制，用8去除斐波那契数列，得到如下数列：1、1、2、3、5、0、5、5、2、7、1、0、1、1、2、3…可推出12阶段事物发展周期，再以12为进制……，可推出24阶段事物发展周期。如果我们继续以24为进制，用24做除数去除斐波那契数列，余数如下：8 F7 v3 x$ W( c, n, r3 Z
( E4 _1 s' ]+ \ S8 O& S- f) y) K1、1、2、3、5、8、13、21、10、7、17、0、17、17、10、3、3、16、5、21、2、23、1、0、1、1、2、3、5、8、13、21…
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结果发现以24为进制所得到的仍然是24阶段周期！为了方便，我们把24这样的数称作“最终简谐数”，即：以该数为进制，在斐波那契数列中推理出的数仍为本身。
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做一个小结：在一个自然周期内，如果我们按照阴阳学说或者对立统一的观点，可以把一个自然周期分为互相对立又互相统一的两部分，如一年可分为从冬至到夏至半年、再从夏至到冬至半年，一天可分为白昼和黑夜；如果再把这个自然周期分为若干段，且每相邻两段之间的发展速度都符合黄金分割的比例，和谐而又统一在同一自然周期的整体内，那么我们就可以推理出3段、8段、12段、24段的发展周期。这与中国传统的阴阳两仪（2段）、三爻（3段）、八卦（8段）、十二个月（12段）、二十节气（24段）是相符的。 |
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