【阳光飞狐__与财富同行】

标题: 余数（转载） [打印本页]
作者: hippe    时间: 2010-11-29 16:51
标题: 余数（转载）
余数 定义 在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。 取余数运算： a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c 如 7 除3 = 2 .。。。。。。1
. d$ \: N  H5 r1 V余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：
; E: `% C9 u9 A7 g. O9 U* }: X) ]4 \- d4 q4 c( F7 h
　　（1）余数小于除数。
6 t& o! N4 k/ P4 ~- ?5 c6 y: z) u0 ]4 s5 N7 o6 G& N
　　（2）被除数=除数×商+余数； , y- F6 ~  v. Z/ E7 u* D
" [  J5 ~& w  W  ]' N, C
　　除数=（被除数-余数）÷商；
, p! Q" w7 S9 U. j1 u: f" `) g" Q: A! Z  Z1 V- j0 p6 r7 e) U, f, Q
　　商=（被除数-余数）÷除数。
3 X$ X: l9 z- K$ V$ P& R. u: h* o/ C
　　（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。 / {3 l4 Y6 h7 J4 H6 e
$ x- V* Z5 i! i7 N( d$ R* d
　　（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。 6 z  v  x$ V. Q9 I& h' f7 H: z

$ U- K9 [( s3 S+ x/ a　　（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。 ' j- T/ ~9 j8 v

7 E' w; ?! `+ o( c& G  d　　性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。
2 ?; W$ o) ~( Q2 U, P) p9 P# F; Q2 l+ N6 D, U" }; a6 X7 N
　　而当被除数小于除数的情况下，商为零，余数就是被除数！ 3 [4 x. y% T1 L' x6 a, Q
# G: l" J; F4 I3 F6 ]
3 q) R; O8 u; e
例题例1　　5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
1 M+ P8 N; [2 i6 o  G9 A  f
# k1 x& Z# l! c6 e4 g# ~　　分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。 ( _  Z1 J2 U" E9 }# O' y8 P9 ^

9 q& |6 I! }" x: l　　5122-66=5056， ' J4 [: C3 v- J

/ p2 v( O' N/ D8 |) i　　5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到
4 C# s! T1 V, [4 M1 M0 r! t9 l- v3 D" f4 r4 p% p  ^! W. }3 |. w9 Q
　　5056=64×79。
9 N' U& D- n( `2 a5 L; |' L% i( C
　　由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。 * L7 L. P: [3 |. d5 E: g- _
例2　　被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
5 t7 B8 d; P0 V2 s5 Z  |0 Z) u! r4 e  \9 Q( f
　　解：因为被除数=除数×商+余数 ( M$ l  T1 Q0 Q! m
9 ^, E7 F( U0 O) P
　　=除数×33+52， 6 W0 v4 ^  b; ~" q

: |& @8 Y/ C/ c! o　　被除数=2143-除数-商-余数 , p( Z1 [0 n9 ?6 e" z2 J2 Q- \3 \6 I

3 A3 x+ B* X6 F- x; k. }　　=2143-除数-33-52 4 E/ b/ {' f6 M& j" [3 R

6 j2 b& n; ~8 U7 G6 f　　=2058-除数， ; C) _% k2 ~  t% \) |8 i
$ R7 S) P# f$ `
　　所以 除数×33+52=2058-除数，
1 u9 X' J& |! E2 }. E
+ V- Y! K3 h( g; r. Z% J% ]　　所以 除数=（2058-52）÷34=59， ) `) G6 k% i5 h5 Q- O5 T
/ N+ V. c( H2 Y  [& N! y, {9 T
　　被除数=2058-59=1999。
* N2 Y# N0 ~% F, H4 s/ |3 E5 r& h( W2 A: F+ y3 j! A- p$ U
　　答：被除数是1999，除数是59。 ) r8 `* Z$ m8 L$ n8 Z
例3　　甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。 & x* ^6 b! ], Z7 X& f) O. S
( t7 V5 e" t9 y4 d( B4 E
　　解：因为 甲=乙×11+32， $ w: ^# I( [/ U9 U/ [6 z

8 }- |7 t- J* A  ?4 t& o/ x　　所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088， + R8 o( v* V8 a

  h+ F6 G& r+ f* A, U' o　　所以 乙=（1088-32）÷12=88，
( a) F1 I; V8 \' i" Z% T+ a* U8 I/ z: X3 o+ X6 B* h+ `" R. [- d
　　甲=1088-乙=1000。 . P0 T! y# h5 Y9 T& k& Q! d

$ u0 O; Z7 h" [7 {8 E　　答：甲数是1000，乙数是88。 , y5 @( u' t0 N" N' }
例4　　有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。
- y7 |" f6 v! L) \+ P( }, a- o2 w" y9 u, }
　　分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。
, E& @6 l( ~6 O+ ]2 b* T
  v: t% H6 O5 X* J0 K　　由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。 : T+ ~4 c( G# X* F; {
+ x) @: H" W5 K- _* @
　　因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。
! |: g  o) I/ ]+ M, d* g3 K6 [! [/ \1 k
　　例5 求478×296×351除以17的余数。 % K/ g, V- F8 A& m6 n: x3 q: M

6 G" C7 n3 ]4 I  v  B% t' j　　分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。
0 N/ D( h7 _4 M! B; @# Q# ~' h- v; @* i! L) O  e: f, ^2 E
　　478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。 8 s3 G+ {0 K- R+ G
& d2 T3 l* Z% b$ ^
　　所求余数是1。
) j& k. e' ^* g' o3 n' _( v  R, G% R) o5 c. N9 j7 f
　　例6 甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？
* f' y  |: O4 q% ~! h+ h8 s" P2 Y. I4 F+ i( v, f
　　分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。
# ~( a7 @" F. _, J" c+ p3 P% S% `" ~7 z( P, G; T7 Q& _
　　因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。
, @, v% s3 g" N& i& N# p5 ?' D" m5 i. j
　　（11×25）÷36=7……23， ! ~) V# K& P8 w

8 x3 L3 s, g& M0 g  r& X% s　　即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。 / C5 B7 e0 h7 {! X9 a

! `4 @: [9 Y4 H6 S- E1 r　　由例6看出，将实际问题转化为我们熟悉的数学问题，有助于我们思考解题。
作者: xyzabc    时间: 2010-11-29 17:26
新注册的人能够转这样的帖子是大师来点化大家的吗？
作者: hippe    时间: 2010-11-29 17:37
我就是新人啊。一直用的方法是八分线和等周期线。因为只能看到短线。看不到时间和级别
( S; {6 B$ {7 G于是开始学习江恩。在网上搜索相关信息。就来到了论坛。从注册的那天到现在一直在看各位学长的帖子。发觉之前的理解。不是江恩或者和江恩有很大的偏差。9 p) V/ V0 b* g7 `8 ~' y
并受到论坛先辈的指点和启发。
- s: e& M" S0 ?) s( S觉得应该从基础来学习。然后加以扩展。: ?: `1 l- A$ I& i7 S2 {3 A7 G
于是在网上寻找资料。, K: P5 F2 {1 L0 V% D; A/ F
找到这些觉得好像很有用。$ M" m0 M: a; f2 ?0 ~3 R. x
发出来成贴
6 H- R0 B7 U3 y! r$ F! k- C1 P1.希望和大家共同学习。也希望已经通其理的人给指点迷津, @7 {0 r; I$ ^/ ]9 I& C4 z
2.希望这是个起点。能给比我还新的新人一些信息。* K/ f. y7 F+ J) Y
如果有打扰到各位坛友。或者不符合论坛的规则和要求。" j* r+ d3 e  d0 g
请原谅0 M5 ]/ u4 w& w9 w. `/ ^
因之前没有在论坛中进行交流（不知者不怪嘛！！ ）2 W. @7 ^9 U7 L$ T) H5 X# X

4 ~6 O# \' C2 D+ Y  k+ ]4 Mxyzabc  谢谢您的关注。还谢谢你加的好多好多的分。
作者: wuyin2025    时间: 2010-11-29 18:24
作者: axcqy    时间: 2010-11-29 20:27
学习



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