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标题: 余数（转载） [打印本页]
作者: hippe    时间: 2010-11-29 16:51
标题: 余数（转载）
余数 定义 在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。 取余数运算： a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c 如 7 除3 = 2 .。。。。。。1
. L7 T2 n5 q& L! m余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）： ) T% V0 {+ a+ b) p3 e: I) K
3 p7 K% ?: e3 J- l" R' G
　　（1）余数小于除数。
. i2 z* u+ I$ |) [
/ s+ \0 y0 Z( ?! h# l　　（2）被除数=除数×商+余数； + e2 D0 @9 I* S0 R: ^

0 n+ w( L- R5 D　　除数=（被除数-余数）÷商； 8 r2 x3 x* H  B* ~2 q
5 {5 I9 z* `2 l$ o
　　商=（被除数-余数）÷除数。 5 _/ I5 W. [; `* t1 o

8 r- s; y7 C2 }　　（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。 4 ^7 m8 o* R, ~% }

0 `6 O0 i; [! Z) g　　（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。 : j/ h0 Y0 Z0 d3 B
! |* y" B1 l; R5 z, r  k: d. a% z1 i8 m
　　（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
8 E3 i# {9 m6 H. F- z* r, Z& k' E  S/ F
　　性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。
3 j9 v% `7 V; s& M! ]7 N
3 R: g) W1 l  n& K5 W( N　　而当被除数小于除数的情况下，商为零，余数就是被除数！
( w) d! z; e- i! X
4 A9 p3 d% x, N3 Y: d8 u2 w# \5 P8 J! k
例题例1　　5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。 / E0 {% O! b, S! D3 d3 N
8 _, d8 t% B. p
　　分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。 , h8 f  K, X6 j3 }

, z8 Z4 D% @3 Z( Q2 p. y7 X& a　　5122-66=5056，
" _$ o! f' e3 O+ l( `6 E. D/ a: p8 X! D' ~
　　5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到 0 ]9 G2 z+ F+ O3 X! B

* k* d  v, r: f% V7 d　　5056=64×79。
2 k0 Y  S/ |! j  {8 @( w1 M2 B8 J; u$ V8 Q( [8 ^' r+ D
　　由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。 6 A" p; j: P8 S
例2　　被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
, y1 x# L! H# n7 K# O( j  U
$ j. b/ ^/ ]' _# j　　解：因为被除数=除数×商+余数
0 I5 D6 H) U- S1 m( {6 h
: J4 Y. e3 U( u, N　　=除数×33+52， 0 I) c8 y3 [. g, A
& |9 s3 J& P4 t4 ^
　　被除数=2143-除数-商-余数 ' W0 i, f6 _% ~5 x5 `0 R5 |1 p: I

/ h* u! |- q  ~　　=2143-除数-33-52 " o. P3 R4 O! b9 Z1 J

3 [! M8 k" `" j2 W6 X' G' p　　=2058-除数，   q- W' V: ^6 U, [

+ \  p+ a7 [) P: \　　所以 除数×33+52=2058-除数， 0 C5 `7 p5 D$ Z

& Q$ t$ b: d( Z3 p4 s7 ]$ @5 @　　所以 除数=（2058-52）÷34=59，
5 `. v* V7 J- X1 \8 n0 k1 x' C5 N' f9 K
　　被除数=2058-59=1999。
2 i. R1 e/ `( `/ U- _; q3 Z8 Q& L5 S+ ^
　　答：被除数是1999，除数是59。 8 D  e1 B8 x) A6 }2 H
例3　　甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
4 ?8 Z4 t6 e& }
6 x2 w1 c5 U( g1 U3 e　　解：因为 甲=乙×11+32， 6 y  N' t; x9 e; y( U- r+ S) O
+ I0 s% u& a" S* W' ~6 V/ p
　　所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，   w2 \0 _3 F9 I, P) y& a
9 R" G. p' D# \/ h
　　所以 乙=（1088-32）÷12=88，
9 D: A/ h! w  o9 _$ o0 A' x: _1 e, s. N9 W1 j
　　甲=1088-乙=1000。 9 s5 U- q8 u2 k$ @

& T0 @3 R  }  q# }# ?+ z　　答：甲数是1000，乙数是88。
3 h2 `& B+ |9 M例4　　有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。
& J& P: ?( p" k) Z* J) y! ^% `/ X, n2 a/ k( S; A% B
　　分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。 ( r" a# t, L9 \; C$ c; V2 g. @4 `

; d" [& v5 i5 A; E- ]　　由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。
# z' B6 F! v  a5 ?
, [5 Q8 z0 m& y4 L: u5 G; B0 q　　因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。 ! t1 V* E* x( P( |- E0 H

+ {& ~% ]6 }# G+ {$ x　　例5 求478×296×351除以17的余数。 + x+ y/ D4 a% n" i: {! y

5 g( y7 K+ n) A) ?/ a: W　　分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。 # [* l( }$ g, [( M" k# b; T
1 [7 M+ g2 r8 O# `+ E
　　478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。
3 d" k! G) O/ E# n6 x7 a; A! t. x
2 Y' T, N& R* f　　所求余数是1。
- H. p; Y! X1 i
: w6 t/ z3 e4 E" I$ R+ V+ \　　例6 甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？ ) G  T; @5 w& c  z' `: c
. S  L; L% P! j" A; q$ l! O$ S% Z  U
　　分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。
3 g: d5 k, Y  C; W) _: ~% W; \9 S2 [/ S( W5 P
　　因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。
# ^4 K$ W% w. i: K
/ }8 [- W# v4 H; M4 S1 @5 g　　（11×25）÷36=7……23， ; m% H8 f: o5 @$ z- n$ }

  K  T' b: m. r0 a8 T3 e- L* r$ v　　即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。
2 S! w% Z; o  O. E; A2 N- f
; X, p9 u; u. S7 i, S5 w! z　　由例6看出，将实际问题转化为我们熟悉的数学问题，有助于我们思考解题。
作者: xyzabc    时间: 2010-11-29 17:26
新注册的人能够转这样的帖子是大师来点化大家的吗？
作者: hippe    时间: 2010-11-29 17:37
我就是新人啊。一直用的方法是八分线和等周期线。因为只能看到短线。看不到时间和级别" m! D3 p# I7 N/ w+ n7 w
于是开始学习江恩。在网上搜索相关信息。就来到了论坛。从注册的那天到现在一直在看各位学长的帖子。发觉之前的理解。不是江恩或者和江恩有很大的偏差。3 J2 N) f3 a; Y
并受到论坛先辈的指点和启发。
0 X  R  }6 _: W- z8 N# @' y6 A& P觉得应该从基础来学习。然后加以扩展。
  i; t2 k& L: R5 P0 n& o5 X, m8 M于是在网上寻找资料。
/ J: f+ `. D2 K- P. i7 Q" D找到这些觉得好像很有用。
' E4 `6 B8 D% G0 \1 u发出来成贴
* d0 E1 }4 z; y- k3 x% k1.希望和大家共同学习。也希望已经通其理的人给指点迷津9 z' O& ^8 q. E7 @" x, L+ i2 ~
2.希望这是个起点。能给比我还新的新人一些信息。
/ i# ]6 x7 X% m! O  t  O. \( H如果有打扰到各位坛友。或者不符合论坛的规则和要求。
' v& ?- ^( e( D' ^, N( N. E请原谅
' [* R1 C. f8 _+ h6 H: ^0 l因之前没有在论坛中进行交流（不知者不怪嘛！！ ）
! y$ m$ i5 C# h* e* S' [7 K0 i2 i8 O( z) }! v3 I( c0 P
xyzabc  谢谢您的关注。还谢谢你加的好多好多的分。
作者: wuyin2025    时间: 2010-11-29 18:24
作者: axcqy    时间: 2010-11-29 20:27
学习



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