标题: 余数（转载） [打印本页] 作者: hippe 时间: 2010-11-29 16:51 标题: 余数（转载） 余数 定义 在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。 取余数运算： a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c 如 7 除3 = 2 .。。。。。。1 5 K7 u9 \# b1 o: e1 M+ Q余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）： - o9 M7 O/ x% u7 l, B" N! d
& V9 W! c7 V9 z0 |! X' l+ E8 i
（1）余数小于除数。 & r7 {: M* o# z3 [7 ^( x . b$ I6 v& h s" h l% n! W9 m （2）被除数=除数×商+余数； " G! @4 b+ n+ p* s3 R/ ] , S; D. W" u$ V" H. R5 m 除数=（被除数-余数）÷商； * @9 D$ M# e1 r* x0 |1 D* h3 ]
: G; X4 t% e) N/ Q! q# E1 f
商=（被除数-余数）÷除数。 ( {4 C5 ~3 s/ {2 A/ j" Z
( U% y0 C, h: }0 P
（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。 % \3 f9 g4 {5 G4 H
. y- x7 N( C, |( D$ A
（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。 $ t& V) t" O/ Z+ N( E! W- P5 q
2 f) r h' m! I0 q0 R （5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。 - }) W8 I. z2 M" U6 P: Q: q/ O+ Z 5 K+ Z7 ]/ b' H, [9 |" O9 \5 U 性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。 w* x) o/ i C) _. z* s+ l; O7 ^" H* J, M2 |, M7 X) _" X
而当被除数小于除数的情况下，商为零，余数就是被除数！ : V( ~. Q7 ]- M/ }
" U0 I( N% l6 c" X7 w7 b
* y ^# n _. i3 `0 ~& W% O4 E例题例1 5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。 ) J$ P8 |+ v V2 { + i, b) d$ s8 U2 L, V6 V 分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。 + Y& z- e8 r. ~' k+ ^+ H! `4 i. Q) _8 }) c# w1 A! r1 M6 k/ s9 b
5122-66=5056， $ P) `+ W3 l7 s |% x9 l2 G: U2 p
: v0 I, Z" W8 t; z T0 A 5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到 " ` T' K# H9 e" e( j$ n; F, q# S, h, x, o/ a
5056=64×79。 ' v1 Z7 _# I, z# p5 ?
6 o0 V* V. b' N I. ?8 b+ w 由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。 5 y+ j& t5 L9 K
例2 被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。 - Q: f. O; Q) F" u! O. L3 p
- X% N3 T2 _* }6 A- c0 {
解：因为被除数=除数×商+余数 3 b1 ~$ I* I# Y: }8 c
; w3 G* K9 j8 D
=除数×33+52， 9 |! @2 n( J, q+ |6 c- x* ?; ]
$ R0 n: ~% _: `8 h5 c( a* f1 h, g' n
被除数=2143-除数-商-余数 " Q9 x8 H* L9 b y
2 M- h/ n7 R9 \8 a8 m! W h+ ` =2143-除数-33-52 % P1 G* X z+ q& r' R; X1 Y 7 y8 L5 U9 p7 V) N& R/ D/ G( ^# g =2058-除数， # C: ]; L; a+ k- k9 ?# _2 U
; V& H: k4 S- i4 k0 X q! f% y5 W
所以 除数×33+52=2058-除数， - V t5 r8 D0 m& [
0 M6 _. y6 Y5 f4 o7 f
所以 除数=（2058-52）÷34=59， # q L( a* ?7 o7 y: ? ' P7 y( L1 z- r, h% Z* \ 被除数=2058-59=1999。 / t' c: O- T! o; J5 w$ n! ^8 L- s* g x; d$ ?* M/ S
答：被除数是1999，除数是59。 % {. b" Z# [! C- r' N
例3 甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。 4 d; F3 h+ F1 T9 C
3 N2 K, ~; o) b2 @! X9 N$ ^1 P* r6 T 解：因为 甲=乙×11+32， * [3 ?3 f1 g8 o7 b8 L& T) \; Y* R+ v7 k
所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088， ( v9 p! }( }2 c9 J2 L, s! k
5 \1 @ ~6 }+ W |, K
所以 乙=（1088-32）÷12=88， 0 _( V; x% {" l6 m
( m: C# P, }- ^7 ` 甲=1088-乙=1000。 & ~: A) g2 x4 ?& T
+ j9 J9 b e( J: ]1 a 答：甲数是1000，乙数是88。 5 R" X& v6 f0 [ B6 F& a* g例4 有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。 6 u0 r6 k o) `0 f6 J9 _7 i
8 o- q# B' ~3 [9 m0 K. z
分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。 0 z7 e/ |6 F! o% i: M0 M; M* u
+ o; x* A9 r" I% O$ x9 r 由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。 8 N% h( k G" l: B. ?. |7 d
( Q* L2 Z7 b. R$ j 因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。 9 ?" i$ X# B7 T( A. M3 K6 |1 h
" s$ u' ~: O! c2 }+ P. h( z 例5 求478×296×351除以17的余数。 8 C# K3 {- d) O; |
) Q' P9 {) y3 L) }- x 分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。 ' A' t$ s5 ?3 r! @2 A. ` \
）
