【阳光飞狐__与财富同行】
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余数（转载）
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作者:
hippe
时间:
2010-11-29 16:51
标题:
余数（转载）
余数 定义 在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。 取余数运算： a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c 如 7 除3 = 2 .。。。。。。1
8 n" Y/ K- [# i0 f2 f+ ^6 e
余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：
2 j* a6 a+ X) K! j. L
) E$ `0 Y5 ~! N5 a
（1）余数小于除数。
3 s7 n" }' K, e: d
' m" A& U0 T4 y' G& {" |3 r5 X
（2）被除数=除数×商+余数；
& B9 Q' l' f+ K% o1 C. [
% n# `3 g4 R1 M5 A
除数=（被除数-余数）÷商；
& |/ u# u5 ]+ p: R6 O8 ?& i9 l" O
1 u& [: K; z% b
商=（被除数-余数）÷除数。
+ C5 Y! x2 {" a. I: D. b! n
+ y q l8 X1 P5 b% U. A
（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
; K$ m; u6 Q9 o% t: d0 ] i
1 U. \. ^" n8 u- F Y% A$ `
（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
( q0 ^3 @$ X. Y
" g. z1 Q1 m: M1 f
（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
* F/ @* i+ g5 y2 \' O0 ^- e6 k; e
7 j- T* v, k" T* p. R* d
性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。
f8 ?, T: S+ l3 S# m$ _ T, Q
0 w' i4 {# E9 L, l6 g
而当被除数小于除数的情况下，商为零，余数就是被除数！
3 t* @- p) D8 S
, L5 Q; q4 M! p( O# I0 p
0 J \9 N+ _- ?% y/ u! ^! ?' G
例题例1 5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
3 W% H5 M& f% p
T7 M \4 ^7 @$ V+ C6 B% R
分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
. _7 {: ?5 P. H* @ I3 d
9 Y1 d1 I4 n) h2 ~3 A8 K. I: k
5122-66=5056，
9 u: `7 g/ X, P1 {, x
3 ^ z7 [' ]* x6 Y
5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到
; h8 b4 @$ j1 A1 E0 Z8 o4 T f
, G+ g D) x# F" `( T
5056=64×79。
" M( v1 c: \ H; I1 D* o2 @7 k
$ G% A' T( p( s6 z% A4 ?
由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的
约数
只有79，所以这个两位数是79。
: I; q% d6 H1 ]
例2 被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
; T, K! L& J6 ~, ~2 {6 N
3 s* \7 _& T1 P' x0 i" r# `! f, P4 S5 I
解：因为被除数=除数×商+余数
* y! |0 V4 {$ Q* ~8 J) _
D0 Q6 a. Y* s: i: @. M
=除数×33+52，
4 E3 L' s) {2 ]. Q
+ q9 q9 r5 K) @. _& G% k
被除数=2143-除数-商-余数
) ? V% F+ C O% P$ k
2 u2 p& P4 a' H7 J- o
=2143-除数-33-52
5 X# \- q* |/ ~5 f1 f# o4 H" B
" n5 ~" l9 @1 Q6 b- B: y6 F
=2058-除数，
& B5 m8 L0 P7 A; L* |" L3 x
. W& S+ @9 R5 b
所以 除数×33+52=2058-除数，
& `& p8 u( H" |
4 V- `8 v& r0 r9 S6 c/ s
所以 除数=（2058-52）÷34=59，
2 h9 ~5 i( c Y
/ F9 y9 } Y0 j- P+ e, N% A
被除数=2058-59=1999。
7 M6 i H; R4 s1 a! Y0 c9 Q7 t
9 V8 M! k4 x4 ]' m% A% V
答：被除数是1999，除数是59。
% o9 z0 m7 |, X' u; E
例3 甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
2 _& u4 h- M1 x& Y' C, D9 D
! W \% R& E4 e G5 H
解：因为 甲=乙×11+32，
& n9 L, f/ P2 Z$ L+ w
/ r/ T# ~! U5 H8 J2 e2 J
所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，
( ]0 _7 X0 R) d, k6 [' l
: x1 L: w* x4 O6 I6 N3 j
所以 乙=（1088-32）÷12=88，
2 I# y1 C& X8 n4 c' d7 C7 A" z
/ l) D% J% _' k+ N! m
甲=1088-乙=1000。
+ S1 `/ u* q& |5 k2 d9 p" m, ?/ w
" j3 G/ l" S' A/ d
答：甲数是1000，乙数是88。
5 W# ^# E9 z, A1 Y/ o1 {6 h
例4 有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。
% a$ Z+ F0 P. h+ ~
! k/ w, n0 e( z& K2 Z) c8 r
分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。
$ [- o. {! v( L. z6 A
/ j5 M4 V+ n1 _
由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。
0 G) o% Q4 ^- p2 X
+ q2 ?. }; r8 Z. ^
因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。
2 C4 T9 ~) i2 a. K4 x
- b H+ U2 H, l- r/ p
例5 求478×296×351除以17的余数。
& h h3 k: n; L3 {: `% Q e
2 f" r& D7 ^9 Z) E0 R, `
分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。
$ }5 E7 S4 @. O2 k: o9 C8 Y5 K8 O% T
1 p& t! c! Z1 D& z
478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。
! I3 Q& {/ b9 u+ {+ q1 v* o5 \* s1 E, T" q
3 Z0 Q7 j4 t: R( M7 k( F
所求余数是1。
+ Q* i: u; C: b! s
) P- B; ^0 X; [+ @/ Y
例6 甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？
, c& H, n6 E z+ M$ b
( C" J$ m S. x. v' l0 Z+ {- W' S! t
分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。
; X; ?. M8 p" V6 D3 ^5 {( i8 D
% C! @- P0 d7 T, Y; ~1 x
因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。
4 a% N) @5 v8 ?, m" A
6 w L d0 G1 s h+ w
（11×25）÷36=7……23，
! R; H8 m6 @7 a- j: }- P; d
8 |# O1 `" |9 c9 t/ C$ d5 g
即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。
6 ]' J7 Y6 ~- E Q1 e( J# C
3 @- f$ y2 I V( M; l7 z
由例6看出，将实际问题转化为我们熟悉的数学问题，有助于我们思考解题。
作者:
xyzabc
时间:
2010-11-29 17:26
新注册的人能够转这样的帖子是大师来点化大家的吗？
作者:
hippe
时间:
2010-11-29 17:37
我就是新人啊。一直用的方法是八分线和等周期线。因为只能看到短线。看不到时间和级别
7 Y- a7 q0 E, [% ^( K5 L
于是开始学习江恩。在网上搜索相关信息。就来到了论坛。从注册的那天到现在一直在看各位学长的帖子。发觉之前的理解。不是江恩或者和江恩有很大的偏差。
6 X! y2 b0 e E
并受到论坛先辈的指点和启发。
; I- _3 q3 x/ c1 O, v
觉得应该从基础来学习。然后加以扩展。
" E* B, o3 f: R0 {! e1 v+ x- N
于是在网上寻找资料。
% f% d# W& q% |( K0 H
找到这些觉得好像很有用。
$ _% v% U) F. ~% K* l# }& R) K
发出来成贴
8 V; D- H, B( S& s, n9 s
1.希望和大家共同学习。也希望已经通其理的人给指点迷津
5 L1 ]6 H; O" c! k
2.希望这是个起点。能给比我还新的新人一些信息。
8 x6 q) W! C& x% r: j0 w/ x! M. c: t
如果有打扰到各位坛友。或者不符合论坛的规则和要求。
- y3 E9 [4 b) Q& V
请原谅
, G5 ?9 I7 N, |! f6 v
因之前没有在论坛中进行交流（不知者不怪嘛！！
）
, U) N' ? S, ], I* m& @" M
1 i1 T& o, l$ E, b& o
xyzabc 谢谢您的关注。还谢谢你加的好多好多的分。
作者:
wuyin2025
时间:
2010-11-29 18:24
作者:
axcqy
时间:
2010-11-29 20:27
学习
欢迎光临 【阳光飞狐__与财富同行】 (http://bbs.88158.cn/)
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）, U) N' ? S, ], I* m& @" M
