【阳光飞狐__与财富同行】
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余数（转载）
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作者:
hippe
时间:
2010-11-29 16:51
标题:
余数（转载）
余数 定义 在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。 取余数运算： a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c 如 7 除3 = 2 .。。。。。。1
( ~% P' ~$ ~: d* o+ Y0 o& e6 @
余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：
3 F8 P, U9 {9 Q% e9 h
8 [6 T5 u( G; M6 n, k! k! q% z
（1）余数小于除数。
9 F3 U$ l. r* J9 R- f* K" Q
- L; a- r, @, r
（2）被除数=除数×商+余数；
& e3 B3 ]% { }4 x/ a
; b0 y& p$ D$ H9 ]( C( d) l8 {' X
除数=（被除数-余数）÷商；
, L; M: {9 @0 j8 f% \7 ~" i
* e M- I. T: d/ H
商=（被除数-余数）÷除数。
, u& {' j- C# I' B0 E' c5 X+ I" t
o2 h& t6 Y. Q1 e5 n) j% p+ R) X
（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
: o+ K y3 a* w7 ^/ {! l
; A/ B2 k; _- K$ e
（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
9 w7 } I9 c3 S
1 D8 }2 c; _3 L. H
（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
6 p P2 A \7 o6 O3 T2 c# c
) b; `: T" o4 Z
性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。
, L9 O) P# E2 u m" e7 o- m( p$ U" p
7 h& p4 Z# w4 }- T, n
而当被除数小于除数的情况下，商为零，余数就是被除数！
% `4 @8 W Y/ Y8 g! O( g# M, _
2 n5 f$ A8 d/ ]: c& I* D+ g
$ u. o1 D t. |6 a9 @% M
例题例1 5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
5 }$ |3 U y k+ w/ F# c$ c1 P, r7 W
. L7 V4 M1 S, X& Y8 X
分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
, G, W4 u& Y. a6 K
! N: c, x% c/ H; J
5122-66=5056，
+ u" Y. L, |0 D8 k5 p
8 z' N) f' _: Q% s, T5 t8 r
5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到
8 Q- l% y9 D- u: E/ r1 K3 }1 A& v
^- a5 r- ^4 o* m2 i
5056=64×79。
( O5 V6 n* Y* f8 D. s
b, A4 r% y9 x* J/ j
由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的
约数
只有79，所以这个两位数是79。
; I" L: Q1 w. P7 y- Y1 ]- I
例2 被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
9 M. U+ |! X5 Z5 o+ a
8 z( X0 W# h" u, K* ?; {
解：因为被除数=除数×商+余数
! E# L7 l ~/ T/ |/ H
V3 p. X8 K$ |+ i2 T/ \4 j* p/ X) C
=除数×33+52，
# L! \' {5 V/ M0 H! g9 v/ ~
8 ]& c ]- m& u7 d3 w% z
被除数=2143-除数-商-余数
. N5 k8 t$ I: R* d, e; N
* b5 E7 {' ?% A9 U3 z, A
=2143-除数-33-52
( `2 Y- _9 v. F! c, S
- \7 T$ y' q: b
=2058-除数，
1 p0 V! L( {6 e( b
8 _( U" G6 @+ x
所以 除数×33+52=2058-除数，
$ |/ E/ A* l0 K: p
* D# y1 z4 E0 J
所以 除数=（2058-52）÷34=59，
5 J- m$ p* a( z/ c% D1 w
# P3 H Z$ q9 Y0 K( Q; M; w
被除数=2058-59=1999。
[" C y2 x. n: g2 G1 U* S& T
0 f- b, X( l; A. E
答：被除数是1999，除数是59。
. Q1 i7 a5 L+ w! O: X
例3 甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
- Q! n4 S5 e6 p( F! Q0 c* m
9 i" V2 s/ [0 ?: p! R
解：因为 甲=乙×11+32，
) W+ u0 c% e3 k2 A& Y# M
/ h1 L$ k4 [! k* b `
所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，
6 e2 Q' j Z V. J+ i
6 a; P0 U5 D9 X- X; u4 `8 N
所以 乙=（1088-32）÷12=88，
# {; H: Z& R. z v$ o f
4 I5 Z$ h; C: Y! V7 p% X
甲=1088-乙=1000。
# s, p& ~+ c& v. i% Y
; a4 `* E$ i! a% O
答：甲数是1000，乙数是88。
% J: p( F9 _& K- O% I4 m1 [1 D
例4 有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。
) c9 |; \7 f7 ~, _: n q* E- S$ P) k
/ i% \5 D5 P" }. j2 S: N) D$ z1 r) J
分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。
! D' ^& O Y& G+ r+ k! s/ }( C
/ M( `9 A& z* l# \, M. E' m1 @$ A
由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。
9 b6 m, Y( u4 K
2 r( m. H% u! c, k# L( e# i
因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。
- Q& z1 B& S j7 q
7 ] k# b5 c: K- _- s
例5 求478×296×351除以17的余数。
1 R5 w) {4 o. G' u$ e; O# B; ?
L/ N% f/ C/ W! z: R* b
分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。
& g9 t' y3 v! {8 |; m8 C: ~2 f
: Z* m, C- Q. B( i) }& ], s5 J
478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。
- p- o7 t4 z. d
6 a# A* o6 Y& c H4 u
所求余数是1。
! N2 ~( z) E. @$ R- Y6 C
# x3 G' s. S; D6 m7 M' B
例6 甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？
# R% F- S' n& ]) r6 r
2 B5 \6 w+ Q& L* e( ^
分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。
" g U$ x0 P X
6 J7 F8 k( n7 L! N) ]! D4 }9 T8 {
因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。
) Z; h2 j5 F5 P* G% B
- _6 W( ~' ?4 e4 w
（11×25）÷36=7……23，
1 t9 L4 u9 N# ~
* i Q B/ {0 m. d
即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。
; K+ ]: h$ y* C, t
+ {$ ` C: M' u" ^7 {7 n
由例6看出，将实际问题转化为我们熟悉的数学问题，有助于我们思考解题。
作者:
xyzabc
时间:
2010-11-29 17:26
新注册的人能够转这样的帖子是大师来点化大家的吗？
作者:
hippe
时间:
2010-11-29 17:37
我就是新人啊。一直用的方法是八分线和等周期线。因为只能看到短线。看不到时间和级别
. c/ [" A8 }4 Z* ?! G0 P% r4 M
于是开始学习江恩。在网上搜索相关信息。就来到了论坛。从注册的那天到现在一直在看各位学长的帖子。发觉之前的理解。不是江恩或者和江恩有很大的偏差。
+ E$ R( A* O @0 d
并受到论坛先辈的指点和启发。
' V- m; [, x; I! ]
觉得应该从基础来学习。然后加以扩展。
; t6 N4 i3 f3 I4 F# i
于是在网上寻找资料。
- `" c/ S v% w+ ?
找到这些觉得好像很有用。
" i' N- m3 E$ N0 S" _. ~& n2 V
发出来成贴
5 ~& [0 _3 M4 d0 l- y. x, s P
1.希望和大家共同学习。也希望已经通其理的人给指点迷津
2 g/ m6 l. c% z( f5 E% n6 g
2.希望这是个起点。能给比我还新的新人一些信息。
' a1 o. c' L, a' h- P3 w
如果有打扰到各位坛友。或者不符合论坛的规则和要求。
/ E/ L9 g( t) T, ?% j% J- t! J
请原谅
: m6 W0 g+ q1 k3 b% m: n
因之前没有在论坛中进行交流（不知者不怪嘛！！
）
; H" |% i% h- E6 s) @8 }' E# o# a
& }1 G& P7 O# y( X, H+ A g
xyzabc 谢谢您的关注。还谢谢你加的好多好多的分。
作者:
wuyin2025
时间:
2010-11-29 18:24
作者:
axcqy
时间:
2010-11-29 20:27
学习
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